UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, Decana de América)
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
Estudios Generales
ASIGNATURA: Cálculo I
CICLO: 2025-I
GUÍA DE PRÁCTICA N° 03
1. Sea la función 𝑓:[2,4]⟶[𝑎,𝑏] talque 𝑓(𝑥)=𝑥2− 2𝑥 + 3, demuestre que 𝑓 es inyectiva y halle los
valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea biyectiva.
2. Si 𝑓,𝑔 y ℎ son funciones reales de variable real definidas por:
𝑓(𝑥)=2|𝑥|−𝑥, 𝑔(𝑥)=𝑥+1
𝑥−2, ℎ(𝑥)=3−2𝑥
Determine el valor de verdad de cada afirmación
a) 𝑓 es inyectiva b) 𝑔 es sobreyectiva c) ℎ es biyectiva
3. Sea 𝑓:ℝ−{0}⟶ℝ−{1} dada por 𝑓(𝑥)=𝑥−1
𝑥, determine si 𝑓 es biyectiva.
4. En cada caso, determine si la función dada es inyectiva
i) 𝑓(𝑥)=3𝑥−2,𝑥≥0
ii) 𝑓(𝑥)=(𝑥−2)2+3,𝑥≥2
iii) 𝑓(𝑥)=√9+𝑥2,𝑥≥1
iv) 𝑓(𝑥)=1−√𝑥2−4𝑥−5,𝑥≤−1
5. Sean las funciones 𝑓:𝐴⟶𝐵,𝑔:𝐵⟶𝐶, demuestre que:
a) Si 𝑔𝑜𝑓 es suryectiva entonces 𝑔 es suryectiva.
b) Si 𝑔𝑜𝑓 es inyectiva entonces 𝑓 es inyectiva.
6. Demuestre que la función 𝑓:ℝ⟶〈−1,1〉 𝑓(𝑥)=𝑥
1+|𝑥|
⁄
es biyectiva
7. En cada caso pruebe que las funciones dadas son inyectivas
𝑎) 𝑓(𝑥)={𝑥2− 2𝑥 + 2, 𝑥≤0
−3𝑥2− 6𝑥 + 2, 𝑥>0 𝑏) 𝑔(𝑥)={1
2𝑥2+1, −4≤𝑥<−2
√𝑥 + 2 , − 2 ≤ 𝑥≤2
8. Las funciones 𝑓:𝐴⟶𝐵,𝑔:𝐵⟶𝐶,ℎ:𝐶⟶𝐷 son tales que 𝑔𝑜𝑓 y ℎ𝑜𝑓 son biyectivas, demuestre que
𝑓,𝑔 y ℎ son biyectivas.
9. Sean 𝑓:𝐴⟶𝐵,𝑔:𝐵⟶𝐶 dos funciones, pruebe que
a) Si 𝑓 y 𝑔 son inyectivas entonces 𝑔𝑜𝑓 es inyectiva.
b) Si 𝑓 y 𝑔 son sobreyectivas entonces 𝑔𝑜𝑓 es sobreyectiva.
10. Dada la función 𝑓(𝑥)={1 − 𝑥, 𝑠𝑖−2≤𝑥≤0
2+√𝑥, 𝑠𝑖 0< 𝑥≤2
Determine un subconjunto 𝐵 de los números reales talque 𝑓:𝐷𝑜𝑚(𝑓)⟶𝐵 sea biyectiva
11. Determine si la función dada es par, impar o ninguna de las dos.
𝑎) 𝑓(𝑥)=2𝑥2−3𝑥4+ 5 𝑏) 𝑓(𝑥)=√𝑥3−𝑥
