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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE CIUDAD JUAREZ

MATEMATICAS DISCRETAS

Proyecto

Circuito

Programa:

Ingeniería en Software

Docente:

Dr. Juan Eduardo González Ramírez

Alumno:

Linda Carolina Pérez Rincón

Introducción Es una rama especial del álgebra que se usa principalmente en electrónica digital. El álgebra booleana fue inventada en el año 1854 por el matemático inglés George Boole. El álgebra de Boole es un método para simplificar los circuitos lógicos (o a veces llamados circuitos de conmutación lógica) en electrónica digital. Por lo tanto, también se llama como "Cambio de álgebra". Podemos representar el funcionamiento de los circuitos lógicos utilizando números, siguiendo algunas reglas, que son bien conocidas como "Leyes del álgebra de Boole". También podemos hacer los cálculos y las operaciones lógicas de los circuitos aún más rápido siguiendo algunos teoremas, que se conocen como "Teoremas del álgebra de Boole". Una función booleana es una función que representa la relación entre la entrada y la salida de un circuito lógico. La lógica booleana solo permite dos estados del circuito, como True y False. Estos dos estados están representados por 1 y 0, donde 1 representa el estado "Verdadero" y 0 representa el estado "Falso". Se denomina así en honor a George Boole (1815-1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic, publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde como un libro más importante: The Laws of Thought, publicado en 1854. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:

• Al análisis, porque es una forma concreta de describir cómo funcionan los circuitos.
• Al diseño, ya que teniendo una función lógica aplicamos dicha álgebra para poder desarrollar una implementación de la función. El uso del álgebra de Boole en la Automática se debe a que buena parte de los automatismos responden a la lógica binaria. Las variables binarias de entrada son leídas y producen variaciones en las señales binarias de salidas. Leyes e identidades del álgebra booleana Al formular expresiones matemáticas para circuitos lógicos es importante tener conocimiento del álgebra booleana, que define las reglas para expresar y simplificar

Un Circuito Lógico es aquel que maneja la información en forma de “1” y “0”, dos niveles lógicos de voltaje fijos. “1” nivel alto o “high” y “0” nivel bajo o “low”. Puede ser cualquier circuito que se comporte de acuerdo con un conjunto de reglas lógicas. Son estructuras formales (sistemas abstractos) que representan sistemas para la transmisión de información de toda índole (desde la electricidad hasta datos informáticos) simulando el comportamiento real de un circuito eléctrico. De forma relacionada con esto los circuitos lógicos tienen la ventaja clave de que proporcionan exactamente el resultado que se hubiera planteado en la previsión. Salvo muy pequeños errores u obstáculos que puedan surgir en el proceso nunca hay diferencias respecto a la previsión, y esto es algo que los convierte en un recurso muy valioso a la hora de aportar dinamismo a los procesos. Además, con los circuitos lógicos se comparten las técnicas de programación que ya conocemos y que hemos ido estudiando en nuestro camino para convertirnos en expertos informáticos. Esto significa que podemos aplicar nuestros conocimientos y experiencia para crear circuitos de una mayor efectividad. Un Circuito eléctrico es toda de transmisión de impulsos eléctricos. Los circuitos eléctricos reales tienen los siguientes elementos:  Fuente de energía (batería, pila, tomacorriente)  Cable de transmisión  Interruptores (llamados así porque interrumpen o permiten el flujo de electricidad)  Resistencia o receptor de información (foco, lámpara) La energía parte del polo negativo de la fuente y se transmite por el cable llega hasta el foco (que se prende) y viaja por el cable hasta llegar al polo positivo de la fuente. Aunque los circuitos electrónicos podrían parecer muy complejos, en realidad se construyen de un número muy grande de circuitos muy simples. En un circuito lógico digital se transmite información binaria (ceros y unos) entre estos circuitos y se consigue un circuito complejo con la combinación de bloques de circuitos simples. Los circuitos lógicos se pueden representar de muchas maneras. En los circuitos representados con gráficos la lámpara puede estar encendida o apagada ("on" o "off"), dependiendo de la posición del interruptor (apagado o encendido), los posibles estados del interruptor o interruptores que afectan un circuito se pueden representar en una tabla de verdad.

Compuertas Básicas Los circuitos lógicos se construyen a partir de ciertos circuitos elementales denominados compuertas lógicas, entre las cuales diferenciaremos:

• Compuertas lógicas básicas: OR, AND, NOT.
• Compuertas lógicas derivadas: NOR, NAND. Compuerta And: La operación And requiere que todas las señales sean simultáneamente verdaderas para que la salida sea verdadera. Así, el circuito de la figura necesita que ambos interruptores estén cerrados para que la luz encienda. En una compuerta AND con entradas A y B, la salida Y resulta: Y = A*B Los estados posibles del circuito se pueden modelar en la Tabla de Verdad que tiene asociada. Sabemos que los interruptores sólo pueden tener dos estados, abiertos o cerrados, si el interruptor abierto se representa mediante el cero (0 o falso) y el cerrado mediante el valor uno (1 o verdadero) entonces en la tabla de verdad asociada se puede ver la situación que se describía en el párrafo anterior, cuando se decía que la luz sólo prende cuando ambos interruptores están cerrados, es decir, si A=1 y B=1 entonces L = 1. Compuerta Or: La operación Or tiene similares características a la operación And, con la diferencia que basta que una señal sea verdadera para que la señal resultante sea verdadera. En una compuerta OR con entradas A y B, la salida Y resulta: Y = A+ B La operación Or también tiene una representación funcional como Or ( A, B) donde A y B serían los parámetros de entrada (los mismos valores de A y B en el circuito) y L = Or( A, B ), correspondería a la forma de asignación de valor a L. En este caso, el parámetro de salida es la misma función Or. Compuerta Not: La última de las tres operaciones fundamentales, la cual también se conoce como negación, complemento o inversión, es mucho más simple que las anteriores, que en este caso tiene la particularidad

Se puede observar que cada mintermino solo devuelve 'verdadero' con una sola entrada de las posibles. Por ejemplo, el minterm 5, a b' c, es verdadero solo cuando a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da resultado 1. Bien ahora de acuerdo a esta pequeña explicación aplicada en nuestro segmento nos apoyamos de acuerdo a nuestra tabla de verdad Tabla de verdad, de la cual nos apoyamos para realizar los Minterminos y así poder desarrollar nuestro circuito

Realmente las tablas recién presentadas es un procedimiento que podemos omitir, pero en lo personal he decidido hacerlas para que así su metodología pudiera ser mucho más claro, entendible y verlo de una manera más ordenada.

2. Circuito extenso Dicho lo anterior seguimos con los circuitos que, gracias a su simplificación, nos llegara a ser mucho más fácil interpretarlo

3. Usando mapas de Karnaugh Los mapas de Karnaugh. son una representación gráfica de una tabla de verdad, y por lo tanto existe una asociación unívoca entre ambas. La tabla de verdad tiene una fila por cada mintérmino, mientras que el mapa de Karnaugh tiene una celda por cada mintérmino.y en lo que nos ayudara a poder simplificar nuestro circuito

4. Circuito simplificado

• Conclusiones Mediante el proceso de este proyecto debo decir que fue algo tedioso, por el echo de que había pequeños obstáculos con los circuitos y un poco largo el procedimiento, pero aun así debo admitir que me ha gustado mucho, aparte de que aprendemos como es que funcionan este tipo de temas y todo lo que hay detrás como por ejemplo las tablas de Karnaugh que fueron de gran ayudar a simplificar nuestro circuito ya que sin ellos podrían llegar a ser circuitos muy complejos y podríamos a llegar a invertir mucho tiempo.