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Este documento analiza la aplicabilidad de los límites en la determinación del interés compuesto continuo y su relación con el interés simple y el interés compuesto en matemáticas financieras. Se incluyen demostraciones y ejemplos para ilustrar las diferencias entre los distintos tipos de intereses.
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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de su respectiva demostración y aplicación respecto a un ejemplo real. Para esto se consideran los tres modelos matemáticos expuestos en base a los tres tipos de intereses a desarrollar. La primera fórmula que se utilizará será 𝐼 = 𝐶 × 𝑅 × 𝑇 de acuerdo al cálculo del interés simple (Finanzas y contabilidad, 2020), seguido del uso de 𝐶𝑛 = 𝐶( 1 + 𝑟)𝑛^ de acuerdo al cálculo del
interés compuesto, en conjunto a 𝑀 = 𝐶( 1 + 𝑟 𝑘)𝑘×𝑡^ de acuerdo al cálculo del interés
compuesto en base a la fórmula por periodos de capitalización (Pedrosa, 2020), y finalmente se llevará a cabo el uso de la fórmula 𝐶 = 𝑀𝑒−(𝑟∗𝑡)^ en base a la inferencia que se desarrollará mediante el uso de los límites al infinito para demostrar su uso en aplicaciones reales, en este caso, dentro de la matemática financiera en lo que respecta al interés compuesto continuo donde la resolución de este tipo de límites deben resolverse mediante la división del numerador y denominador por la mayor potencia del denominador contando con las propiedades de los límites (BlogsPot, 2019), iniciando a partir de la fórmula del interés compuesto con respecto a su periodo de capitalización.
Por ende, el análisis demostrará la aplicación de los límites respecto a la demostración del modelo matemático acorde al cálculo del interés compuesto continuo, además de dar un análisis en base a la aplicación del mismo, en conjunto a la explicación de los modelos del interés simple y compuesto de la mano con aplicaciones reales de los mismos, de acuerdo a responder la pregunta de investigación planteada: ¿Puede aplicarse los límites en la determinación del interés compuesto continuo, y en qué medida puede analizarse dicho interés respecto al interés simple e interés compuesto en base a las matemáticas financieras?
Se pretende finalmente, identificar las diferencias existentes entre los diversos tipos de intereses tras desarrollar un análisis de los mismos dentro de un ejemplo de datos en común. Además, pretende demostrarse la fórmula o modelo matemático del interés compuesto continuo de acuerdo al uso de los límites al infinito contando que es un valor extremadamente
grande y se lo sitúa de dicha manera dentro del cálculo acorde a su capitalización inmediata. Asimismo, busca demostrarse los diversos tipos de tipos de interés expuestos de acuerdo al uso de gráficas desarrolladas en hojas de cálculo dado que permiten llevar a cabo distintas actividades respecto al área matemática, en conjunto a tablas en base a la demostración y aplicación de los mismos, respecto a una síntesis.
INFORMACIÓN Y MEDICIONES Interés Simple Acorde al interés simple se destaca que, es aquel que se genera respecto a la inversión de determinada cantidad de capital referente a un periodo de tiempo establecido. Dado que en sus operaciones, el valor inicial invertido permanece constante respecto a todo el tiempo que estipula la duración de la inversión o préstamo realizado (Finanzas y contabilidad, 2020). Donde se genera y retribuye al interés por igual durante todos los periodos de pago establecidos en un lapso de tiempo determinado; los periodos de pago y tasa de interés no varíen (Westreicher, 2021).
Normalmente se ve aplicado en los préstamos a corto plazo administrados por empresas financieras (Finanzas y contabilidad, 2020).
Fórmula: 𝐼 = 𝐶 × 𝑅 × 𝑇 Demostración: Supongamos que se posee un capital que se presta o deposita durante una determinada cantidad de periodos con un tanto porciento llamado razón y que se obtiene una ganancia llamada interés con una capitalización simple. Para ello haremos el siguiente razonamiento para un periodo.
El capital equivale al 100% evidentemente el interés equivale a la razón, por ende:
r=16% -> 0.16% t=5 meses
𝑟 = 0.16 12 = 0.013 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝐼 = 𝐶 × 𝑅 × 𝑇 𝐼 = 2500 × 0.013 × 5 𝐼 = 166. Valor final a pagar
𝑉𝑓 = 𝐶 + 𝐼 𝑉𝑓 = 2500 + 166. 𝑉𝑓 = 2666. Valor mensual a pagar
𝑉𝑚 = 𝑉𝑓𝑇 𝑉𝑚 = 2666.666667 5 𝑉𝑚 = 533. Variación del monto de interés con respecto al tiempo:
Gráfica N°
Fuente: Autoría Propia Análisis: De acuerdo a los cálculos realizados, en conjunto a la gráfica 1, puede evidenciarse respecto al interés simple que el interés generado no se incrementa con respecto al tiempo, se mantiene constante y mantiene la misma cantidad de pago para los meses estipulados en base al pago o cancelación de determinada inversión.
Interés compuesto Respecto al interés compuesto, se conoce que los intereses desarrollados se acumulan en una sumatoria periodo a periodo de acuerdo al capital inicial en conjunto a los intereses desarrollados previamente (Valencia, Omar, Valencia, & Alirio, 2017), generándose así un nuevo valor sobre el capital inicial e intereses generados previamente los mismos que dan origen nuevos intereses que incrementan el valor inicial del interés a cancelar. Es decir que, los intereses acumulados se capitalizan para desatar nuevos intereses de pago (BlogsPot, 2019).
Fórmula: 𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑟𝑘)^ 𝑘×𝑡
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6
Cantidad de pago
Mes
El interés compuesto del primer año es igual al capital inicial por la tasa de interés 𝐼1 = 𝐶 × 𝑟 El segundo interés compuesto es igual al capital del primer año por la tasa de interés 𝐼2 = 𝐶1 × 𝑟 Se dice Capital 1 porque después del primer año el capital que se tendrá será igual al capital inicial más la tasa de interés, pues el interés del año dos será igual al valor del capital del año anterior respecto al interés que se genere ese año
𝐶1 = 𝐶 + 𝐼 Año 1: 𝐶1 = 𝐶 + 𝐼 𝐶1 = 𝐶 + (𝐶 × 𝑟) 𝐶1 = 𝐶(1 + 𝑟) Año 2: 𝐶2 = 𝐶 + 𝐼 𝐶2 = 𝐶 + 𝐶1 × 𝑟 𝐶2 = 𝐶(1 + 𝑟) 𝐶2 = 𝐶(1 + 𝑟)(1 + 𝑟) 𝐶2 = 𝐶(1 + 𝑟)^2 Año 3: 𝐶 3 = 𝐶 2 + 𝑇 3 𝐶 3 = 𝐶 2 + 𝐶 2 × 𝑟 𝐶 3 = 𝐶 2 ( 1 + 𝑟)
Año 6: 𝐶 6 = 𝐶( 1 + 𝑟)^6 Año n: 𝐶𝑛 = 𝐶(1 + 𝑟)𝑛 Inferencia de la fórmula acorde a los periodos de capitalización “K”: Se toma la fórmula inicial, para continuamente ser reemplazada por el valor de “K” 𝐶𝑛 = 𝐶(1 + 𝑟)𝑛 “K” resuelve de manera simplificada el proceso que se desarrolla por montos, evidente en la demostración, por ende puede ser usado para comprobar los valores obtenidos respecto a la aplicación de la fórmula, respecto a lo siguiente:
𝑀 = 𝐶 ( 1 + (^) 𝐾𝑟)^ 𝐾∗𝑡 Se divide al valor de la tasa de interés “r” respecto al número de periodos de capitalización por año dado que el valor total de dicha división se basa en el interés generado de acuerdo a los periodos capitalizables estipulados. Además, se multiplica “K” por “t” con respecto a dar pie a un valor con respecto al tiempo, es decir, en conjunto forman un único valor que simplifica los cálculos por monto de acuerdo a diferentes etapas de periodos capitalizables a realizarse en base a un mismo periodo de tiempo general.
Aplicación: Ejemplo N° Para este ejemplo se presentan los siguientes datos:
Variación del monto de interés en el interés compuesto: Gráfico N°
Fuente: Autoría Propia Interés Compuesto Devengado, Ejercicio N° Con los datos del ejercicio N°1, se realizará el ejercicio N°2 mediante el uso del número de periodos de capitalización durante un año “K”, comprobando el resultado obtenido respecto al monto de acuerdo a K, además de tomar más valores de K a fin de demostrar el interés devengado que se produce respecto al mismo, en el ejercicio mencionado
K=2 (Monto Semestral)
𝑀 = 𝐶 (1 + 𝐾𝑟)^ 𝐾∗𝑡
𝑀 = 2500 (1 + 0.16 2 ) 2(2)
𝑀 = 3401. K=12 (Monto Anual)
𝑀 = 2500 (1 + 𝐾𝑟)^ 𝐾∗𝑡
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
MONTOS A PAGAR
VALOR INICIAL-CAPITAL DE ENTRADA
12(2)
𝑀 = 3435. K=365 (Monto a Diario)
𝑀 = 2500 (1 + 𝐾𝑟)^ 𝐾∗𝑡
𝑀 = 2500 (1 + 0.16 365 )
365(2)
𝑀 = 3442. K=8760 (Monto por Hora)
𝑀 = 2500 (1 + 𝐾𝑟)^ 𝐾∗𝑡
𝑀 = 2500 (1 + 8760 0.16)
8760(2)
𝑀 = 3442. K=31536000 (Monto por segundo)
𝑀 = 2500 (1 + 𝐾𝑟)^ 𝐾∗𝑡
𝑀 = 2500 (1 + 31536000 0.16 )
31536000(2)
𝑀 = 3442.
Tabla 2. Comparación del interés acorde al periodo de capitalización
K Monto obtenido Semestral → 2 3401. Anual → 12 3435.
𝑀 = (^) 𝑘lim→∞ ( 1 + 𝑟 𝑘)^ 𝑘×𝑡
Para esto se considera que, el valor de “K” de acuerdo al interés compuesto continuo presenta valores bastante amplios, es decir indefinidos, por ende, citamos la fórmula:
M. cont = lim 𝑘→∞ ( 1 + (^) ∞𝑟)^ ∞×𝑡
M. cont = C (^) 𝑘lim→∞ ( 1 + (^) 𝑘𝑟)^ 𝑘×𝑡
𝑥 = (^) 𝑘𝑟 = 0 𝐾 = 0 𝑀, 𝑐𝑜𝑛𝑡 = 𝐶 (^) 𝑘lim→ 0 ( 1 + 𝑥)^1 𝑥𝑡
𝑀. 𝑐𝑜𝑛𝑡 = 𝐶 (^) 𝑛lim→∞[( 1 + 𝑥)^1 𝑥]𝑟×𝑡 𝑀. 𝑐𝑜𝑛𝑡 = 𝐶𝑒𝑟×𝑡 Aplicación: Determine el valor actual de 2500$ a los 2 años de inversión, sabiendo que el interés se capitaliza continuamente respecto a la tasa anual es de 16%
𝑀. 𝑐𝑜𝑛𝑡 = 𝐶𝑒𝑟×𝑡 𝑀. 𝑐𝑜𝑛𝑡 = 2500 × 𝑒0.16× 𝐶 = 3442. Análisis: La capitalización ocurre cada instante, asemejándose a las cantidades obtenidas en los casos posteriores de acuerdo a la alta cantidad de valores usados dando como similitud un valor
infinito, concordando con el interés compuesto continuo en base a que se consideran periodos capitalizables muy grandes, es decir considerándose valores infinitos.
ANÁLISIS Y DISCUSIÓN Debe mencionarse que tras realizar varios cálculos y direccionar fórmulas respecto a estos se destacan las diferencias entre los intereses simples y compuestos, principalmente acorde a las gráficas realizadas^1 es posible determinar que en el interés simple los intereses se mantienen constantes a lo largo del periodo estipulado de pago, mientras que en el interés compuesto los intereses generan nuevos intereses, que crecen de acuerdo al tiempo de pago establecido dando origen a un crecimiento veloz respecto al tiempo y periodo de pago.
Acorde al uso de los límites se destacó su mayor uso para la inferencia a la demostración de la fórmula del interés compuesto continuo dado que allí se aplica la constante 𝑒 como se mencionó previamente con respecto al uso de límites al infinito y la aplicación de sus propiedades. Por otro lado, cabe destacar que mediante el análisis de cada objeto de estudio en las fórmulas principales se llevó a cabo su demostración, respecto al interés simple e interés compuesto continuo, sin embargo, la fórmula respecto al interés compuesto se dio mediante la simple deducción respecto a ejemplos observados previamente al desarrollo del presente estudio.
Mediante el trabajo realizado se obtuvo principalmente la importancia respecto a la distinción entre el interés simple y el interés compuesto debido al incremento de la cantidad de pago en base al tiempo y la tasa de interés dispuesta por el acreditador del préstamo como un ejemplo. Por ende, contamos con que al trabajar con el interés simple se presenta un monto total de pagos, que no variará de acuerdo al tiempo, se mantendrá constante a lo largo del tiempo de pago estipulad, en contraste al cálculo del interés compuesto, dado que sus intereses
(^1) Véase Gráfico N°1 y Gráfica N°
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