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PRUEBAS DE HIPOTESIS
L. Act. Ma. Auxilio Chan García (E. Est.) 1
4.3. PRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE LA IGUALDAD DE DOS MEDIAS
Supóngase que se tienen dos poblaciones de interés. La primera tiene una media desconocida 𝜇 1
y varianza conocida 𝜎 1
2
, mientras que la segunda tiene una media desconocida 𝜇
2
y varianza
conocida 𝜎
2
2
. El interés recae en probar la hipótesis de que las dos medias poblacionales son
iguales.
Suponiendo que las dos poblaciones son normales, de lo contrario se debe contar con una muestra
aleatoria grande (n≥30), las hipótesis se plantean de la siguiente manera:
0
1
2
1
1
2
Si la hipótesis nula es verdadera, el estadístico de prueba:
0
1
2
1
2
1
2
2
2
Tiene una distribución Normal estándar, por lo que se rechaza la hipótesis nula si 𝑧
0
𝛼/ 2
o
0
𝛼/ 2
. Estos son los valores críticos correspondientes cuando la hipótesis alternativa es
unilateral.
Ejemplo:
Un diseñador de productos está interesado en reducir el tiempo de secado de una pintura
tapaporos. Se prueban dos fórmulas de pintura; la fórmula 1 tiene el contenido químico estándar
y la fórmula 2 tiene un nuevo ingrediente secante que debe reducir el tiempo de secado. De la
experiencia se sabe que la desviación estándar del tiempo de secado es ocho minutos y se
considera que no cambia con el nuevo ingrediente. Se pintan 10 especímenes con la fórmula 1 y
otros 10 con la fórmula 2. Los dos tiempos promedio de secado muestrales son 121 minutos y
112 minutos, respectivamente. Se realiza el siguiente procedimiento de hipótesis con α=0.05:
- La cantidad de interés es la diferencia entre los tiempos promedio de secado 𝜇
1
2
- La hipótesis nula es 𝐻
0
1
2
- La hipótesis alternativa es 𝐻
1
1
2
, ya que se desea rechazar la hipótesis nula si el
nuevo ingrediente disminuye el tiempo promedio de secado.
- α=0.05.
- El estadístico de prueba es:
UNIDAD IV
2 NOTAS DE CURSO
0
1
2
1
2
1
2
2
2
- Se rechaza 𝐻
0
si 𝑧
0
- Se calcula 𝑧
0
- Dado que 2.52>1.65, con un nivel de significancia del 5 %, se rechaza la hipótesis nula.
Por lo que se concluye que la adición del nuevo ingrediente sí disminuye de manera
significativa el tiempo de secado.
Para el caso en el que las varianzas son desconocidas, para probar la hipótesis se tienen los
siguientes casos:
CASO 1
Se supone que las varianzas desconocidas son iguales. Para probar:
0
1
2
1
1
2
Si la hipótesis nula es verdadera, el estadístico de prueba:
0
1
2
𝑝
1
2
Si la hipótesis nula es cierta, 𝑇
0
tendrá una distribución 𝑡
𝑛
1
+𝑛
2
− 2
. Debe rechazarse 𝐻
0
si 𝑡
0
𝛼
2
,𝑛
1
+𝑛
2
− 2
ó 𝑡
0
𝛼
2
,𝑛
1
+𝑛
2
− 2
CASO 2
Se supone que las varianzas desconocidas son diferentes. Para probar:
0
1
2
1
1
2
Si la hipótesis nula es verdadera, el estadístico de prueba:
UNIDAD IV
4 NOTAS DE CURSO
Las observaciones obtenidas de la máquina 2 son las siguientes:
Considerando α=0.05, ¿se encuentra el ingeniero en lo correcto? ¿Cuál es el valor P de la prueba?
- Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si producen
un flujo de corriente equivalente. El departamento de ingeniería ha obtenido los datos siguientes:
Diseño 1 𝑛
1
1
1
2
Diseño 2 𝑛
2
2
2
2
Con α=0.1, se desea determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de corriente
promedio entre los dos diseños suponiendo que las dos poblaciones son normales, pero no es
posible suponer que las varianzas desconocidas sean iguales.
- Dos compañías de compuestos químicos pueden surtir materia prima. La concentración de un
elemento en particular en este material es importante. La concentración promedio de ambos
proveedores es la misma, pero se sospecha que la variabilidad en la concentración puede diferir
entre las dos compañías. La desviación estándar de la concentración en una muestra aleatoria de
tamaño 15 de lotes producidos por la compañía 1 es igual a 4.7 g/l, mientras que una muestra
aleatoria de tamaño 20 de lotes producidos por la compañía 2 es igual a 5.8 g/l. ¿Existe
evidencia suficiente para concluir que las varianzas de las dos poblaciones son diferentes? Utilice
α=0.05.
