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PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE
Estas pruebas permiten verificar que la población de la cual proviene una muestra tiene una distribución especificada o supuesta.
Sea X: variable aleatoria poblacional f 0 (x) la distribución (o densidad) de probabilidad especificada o supuesta para X
Se desea probar la hipótesis: Ho: f(x) = f 0 (x)
En contraste con la hipótesis alterna: Ha: f(x) no= f 0 (x) (negación de Ho)
PRUEBA JI-CUADRADO
Esta prueba es aplicable para variables aleatorias discretas o continuas.
Sea una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población con una distribución especificada f 0 (x) que es de interés verificar.
Suponer que las observaciones de la muestra están agrupadas en k clases, siendo oi la cantidad de observaciones en cada clase i = 1, 2, ..., k
Con el modelo especificado f 0 (x) se puede calcular la probabilidad pi que un dato cualquiera pertenezca a una clase i.
Con este valor de probabilidad se puede encontrar la frecuencia esperada ei para la clase i, es decir, la cantidad de datos que según el modelo especificado deberían estar incluidos en la clase i:
ei = pi n, i = 1, 2, ..., k
Tenemos entonces dos valores de frecuencia para cada clase i oi: frecuencia observada (corresponde a los datos de la muestra) ei: frecuencia esperada (corresponde al modelo propuesto)
La teoría estadística demuestra que la siguiente variable es apropiada para realizar una prueba de bondad de ajuste:
Definición Estadístico para la prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrado
χχχχ^2 = ∑
=
k −
i 1 i
2 i i e
( o e ) , distribución Ji-cuadrado con νννν =k–r–1 grados de libertad
donde r es la cantidad de parámetros de la distribución que deben estimarse a partir de la muestra
Es una condición necesaria para aplicar esta prueba que ∀∀∀∀ i, ei ≥≥≥≥ 5.
Dado un nivel de significancia αααα se define un valor crítico χχχχ^2 αααα para el rechazo de la hipótesis
propuesta Ho: f(x) = f 0 (x).
Si las frecuencias observadas no difieren significativamente de las frecuencias esperadas calculadas con el modelo propuesto, entonces el valor de estadístico de prueba χχχχ^2 será cercano a cero, pero si estas diferencias son significativas, entonces el valor del estadístico χχχχ^2 estará en la región de rechazo
de Ho rechazoH 0 ⇔ χ 2 >χ α^2 :
Región de rechazo de Ho
Ejemplo
Se ha tomado una muestra aleatoria de 40 baterías y se ha registrado su duración en años. Estos resultados se los ha agrupado en 7 clases en el siguiente cuadro i clase (duración) frecuencia observada (oi) 1 1.45 – 1.95 2 2 1.95 – 2.45 1 3 2.45 – 2.95 4 4 2.95 – 3.45 15 5 3.45 – 3.95 10 6 3.95 – 4.45 5 7 4.45 – 4.95 3
Verificar con 5% de significancia que la duración en años de las baterías producidas por este fabricante tiene duración distribuida normalmente con media 3.5 y desviación estándar 0.
Solución Sea X: duración en años (variable aleatoria contínua)
1) Ho: X ~ N ( 3****. 5 , 0****. 7 ) (distribución normal, μ=3.5, σ=0.7) 2) Ha: no H 0 3) αααα = 0.
Cálculo de la probabilidad correspondiente a cada intervalo p 1 = P(X≤1.95) = P(Z≤(1.95 – 3.5)/0.7) = 0. p 2 = P(1.95≤X≤2.45) = P((1.95 – 3.5)/0.7 ≤Z≤ (2.45 – 3.5)/0.7) = 0. p 3 = P(2.45≤X≤2.95) = P((2.45 – 3.5)/0.7 ≤Z≤ (2.95 – 3.5)/0.7) = 0. ... (etc)
Ejemplo 2
La siguiente tabla presenta información de cantidades sobre el número de plantas Larrea divaricata halladas en cada uno de los 48 cuadrantes de nuestro, como se publica en el el artículo “Some Sampling Characteristics of Plants and Arthropods of the Arizona Desert” (Ecology,1962: 567-571)
i Nro. De plantas frecuencia observada (oi) 1 0 9 2 1 9 3 2 10 4 3 14 5 4 2 6 5 2 7 6 2
¿Podrían estos datos ajustarse a una distribución de Poissón? Utilice un nivel 0,05 de significancia.
Solución El valor deλλ λλ en este caso debe estimarse
210 48
n
x (^) i oi ,
1) Ho: X ~ Poisson ( 2 , 10 ) (distribución de Poisson con λ = 2 , 10 )
2) Ha: no H 0 3) αααα = 0.
Cálculo de la probabilidad correspondiente a cada intervalo
p 1 = P(X=0) =^21
21 0 e 0
e , (^21) , !
= p 2 = P(X=1)= 025725 1
e 21211 , !
−
p 3 = P(X=2)= !
e −^21212
... (etc)
Cálculo de las frecuencias esperadas e 1 = p 1 n = e −^2 ,^1^ ( 48 )= 5 , 88 e 2 = p 2 n = ( 0 , 25725 )( 48 )= 12 , 34 e 3 = p 3 n = 12 , 96 ... (etc)
Resumen de resultados i Nro. De plantas frecuencia observada (oi) frecuencia esperada (ei) 1 0 9 5, 2 1 9 12, 3 2 10 12, 4 3 14 9, 5 >= 4 6 7, Es necesario que se cumpla la condición ∀∀∀∀ i, ei ≥≥≥≥ 5 por lo que se deben agrupar clases adyacentes. Como resultado se tienen cinco clases k=
Ahora se puede definir la región de rechazo de Ho
Observemos que en este ejemplo se estimó el parámetro de la distribución, de donde r = 1
αααα = 0.05, νννν = 5 – 1 - 1 = 3, ⇒⇒⇒⇒ χχχχ^20 (^). 05 = 7.815 (Tabla χ^2 )
Rechazar Ho si χχχχ^2 > 7.
5) Cálculo del estadístico de prueba
χχχχ^2 = ∑
=
k −
i 1 i
2 i i e
( o e ) = 631 775
6) Decisión Como 6,31 no es mayor a 7.815, se dice que no hay evidencia suficiente para rechazar el modelo propuesto para la población, de modo que al nivel de 5%, la distribución de Poisson da un ajuste razonable a los datos.
