Psicobiologia Redolar, Apuntes de Estadística

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VARIABLES ALEATORIAS

PROCESOS ESTOCÁSTICOS

INTRODUCCIÓN 1/

• (^) La realidad empírica no siempre se nos presenta como un conjunto de eventos o sucesos deterministas. Aunque podemos realizar predicciones, dados unos antecedentes, las consecuencias no siempre ocurren exactamente como habíamos previsto.
• (^) Con frecuencia la realidad muestra una componente sorpresiva que, por calificarlo de alguna forma, podemos denominarla aleatoria o estocástica. Por tanto, el azar, aquello que es impredecible, por expresarlo en términos coloquiales, forma parte de nuestra experiencia cotidiana y, por supuesto, también se encuentra en las investigaciones teóricas y aplicadas.
• (^) El azar no sólo se encuentra al lanzar un dado, pues basta pensar que difícilmente podemos estar seguros del comportamiento que realizará una persona.
• (^) Las variables aleatorias son un intento por formalizar y describir matemáticamente aquello que denominamos aleatorio.

DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA 2/

• (^) Pero al lanzar la moneda 10 veces pueden ocurrir muchos resultados distintos, si atendemos al número de caras que podemos obtener. De hecho, es posible que el resultado esté comprendido entre 0 y 10 caras. Por tanto, podemos asociar a cada experiencia aleatoria un número de la recta real, que en este ejemplo podrá ser el 0, 1, 2, ..., 9 o 10. O sea, para cada experiencia aleatoria podemos poner en correspondencia el resultado de la misma con un número de la recta real; es decir, una aplicación entre el conjunto de resultados posibles y la recta real.
• (^) Esta aplicación, en general, no será biyectiva. Dicho de otra forma, no será habitual que a cada resultado distinto de la experiencia aleatoria le corresponda un número diferente de la recta real. Por ejemplo, podemos obtener 7 caras en diversas secuencias al lanzar 10 veces consecutivas una moneda.

DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA 3/

• (^) Muy frecuentemente esa aplicación será no inyectiva. O sea, a distintos resultados de la experiencia aleatoria asociaremos o pondremos en correspondencia un mismo valor de la recta real. Por ejemplo, sólo existe una secuencia de resultados al lanzar la moneda que nos conduce a obtener 0 caras, pero existen muchas secuencias distintas para que el resultado de la experiencia aleatoria sea 5 caras.
• (^) Visto de otra forma, no será igualmente frecuente obtener 0 caras que 5 caras al lanzar 10 veces consecutivas una moneda. Y aquí radica que esta variable aleatoria, como es el número de caras obtenidas, cuyo resultado no es predecible a priori, necesite una cuantificación de la mayor o menor certidumbre que tenemos al esperar que se produzcan los distintos resultados.

VARIABLES ALEATORIAS: CLASIFICACIÓN 1/

• (^) Atendiendo a una única v.a., pueden clasificarse como:
  • (^) Discretas (es posible establecer una aplicación biyectiva con el conjunto de los números naturales) - (^) Finitas (pueden tomar un número finito de valores) - (^) Infinitas numerables (toman un número infinito de valores)
  • (^) Continuas (no se puede establecer una aplicación biyectiva con el conjunto de los números naturales) - (^) Infinitas absolutamente continuas (no existe ninguna discontinuidad en la función de distribución) - (^) Infinitas parcialmente continuas (existe al menos una discontinuidad en la función de distribución)
• (^) Si se considera el número de variables aleatorias:
  • (^) Unidimensionales (una sola variable aleatoria)
  • (^) Bidimensionales (distribución conjunta de dos v.a)
  • (^) n-Dimensionales (distribución conjunta de más de dos v.a)

FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD 1/

• (^) La función de masa de probabilidad para una variable aleatoria discreta X , sea finita o infinita, proporciona la probabilidad asociada a la ocurrencia de cada valor k de la variable aleatoria cuando se realiza un ensayo.
• (^) La función de masa de probabilidad es igual a 0 para cualquier k no perteneciente al conjunto de valores que puede tomar la variable aleatoria.
• (^) Sumando todos los valores de probabilidad proporcionados por la función de masa de probabilidad se obtiene 1.
• (^) En la siguiente expresión se halla la notación para referirse en general a una función de masa de probabilidad p k ( )  Pr ob X (  k )

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DISCRETA 1/

• (^) La función de distribución de una variable aleatoria discreta, ya sea finita o infinita, proporciona el siguiente valor de probabilidad
• (^) En el caso de que k sea inferior al mínimo valor admisible de la variable aleatoria, F(k) = 0, mientras que si k es igual o superior al máximo valor que puede tomar la variable aleatoria F(k) = 1.
• (^) Si se representa gráficamente una función de distribución de una variable aleatoria discreta, se observa una función discontinua y escalonada, lo cual se debe a que la variable es discreta y se observan saltos en la función de distribución.

F k ( )  Pr ob X (  k )

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DISCRETA 2/

Event prob.,Trials 0,1, Binomial Distribution x cumulative probability 0 2 4 6 8 10 0 0, 0, 0, 0, 1 Event prob. 0, Geometric Distribution x cumulative probability 0 20 40 60 80 0 0, 0, 0, 0, 1 Event prob.,Successes 0,1, Negative Binomial Distribution x cumulative probability 0 50 100 150 200 250 0 0, 0, 0, 0, 1 Lower limit,Upper limit 0, Discrete Uniform Distribution x cumulative probability 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 0 0, 0, 0, 0, 1

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONTINUA 2/

• (^) La integral, para que F(x) sea una función de distribución, entre - e  o entre a y b , siempre que sean el valor mínimo y máximo que puede tomar la variable aleatoria, es igual a 1.
• (^) Para obtener la probabilidad de que un valor de la variable aleatoria esté comprendido en x 1 y x 2 debe resolverse el siguiente cálculo ( ) ( ) 1

b

a

F x  f x dx   2 1 ( ) ( ) x F x f x dx x  

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONTINUA 3/

Mean,Std. dev. 0, Normal Distribution -5 -3 -1 1 3 5 x 0 0, 0, 0, 0, 1 cumulative probability Mean 10 Exponential Distribution x cumulative probability 0 10 20 30 40 50 60 0 0, 0, 0, 0, 1 Lower limit,Upper limit 0, Uniform Distribution x cumulative probability 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 0 0, 0, 0, 0, 1 Shape 10 Pareto Distribution x cumulative probability 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 0, 0, 0, 0, 1

FUNCIÓN DE DENSIDAD 2/

Mean,Std. dev. 0, Normal Distribution -5 -3 -1 1 3 5 x 0 0, 0, 0, 0, density Mean 10 Exponential Distribution x density 0 10 20 30 40 50 60 0 0, 0, 0, 0, 0, Lower limit,Upper limit 0, Uniform Distribution x density 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 0 0, 0, 0, 0, 0,5 Shape 10 Pareto Distribution x density 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 2 4 6 8 10

MOMENTOS DE VARIABLES ALEATORIAS 1/

• (^) Los momentos de una variable aleatoria son indicadores globales de alguna característica de la misma, como puede ser su mayor o menor dispersión, la forma de la función de probabilidad, qué valor puede ser representativo del conjunto de valores, entre otros.
• (^) Existen muchos tipos de momentos que pueden definirse sobre una variable aleatoria, entre los cuales destacan: - (^) Momentos respecto al origen o momento no centrado - Momentos centrados respecto a un punto arbitrario - (^) Momentos absolutos - (^) Momentos factoriales
• (^) En la literatura se halla con mayor frecuencia los momentos respecto al origen y los centrados respecto a un punto arbitrario.

MOMENTOS DE VARIABLES ALEATORIAS 3/

• (^) Si la variable aleatoria es continua, el momento de orden k respecto al origen se define como
• (^) En cuanto al momento de orden k respecto a un punto arbitrario se define según la siguiente expresión
• (^) Mediante a y b se denotan el mínimo y máximo valor de la variable aleatoria.   ( )

b

k k

k

a

m ^^ E^ X ^ f^ x x dx   ^   ^ 

( )

k b k

k

a

  E X  c  f x x  c dx 

ESPERANZA MATEMÁTICA 1/

• (^) La esperanza matemática no es más que el momento de primer orden respecto al origen.
• (^) En variables aleatorias discretas se define como
• (^) La definición de la esperanza matemática para variables aleatorias continuas es
• (^) Se interpreta la esperanza matemática como valor esperado al realizar un ensayo de la variable aleatoria. En teoría de juegos tiene la interpretación de ganancia esperada.    

Pr

i n

i i

i

 m^ E^ X^ ob X^ x^ x

 ^ ^    

( )

b

a

  m ^^ E^ X^  f^ x x dx 