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En este documento se presentan ejercicios resueltos sobre derivadas parciales, derivadas direccionales y la ecuación del plano tangente. Se utiliza la regla de la cadena para calcular derivadas compuestas y se determina el crecimiento máximo en un punto específico. Además, se encuentra la ecuación del plano tangente a una función en un punto dado.
Tipo: Apuntes
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En los siguientes ejercicios debe justificar paso a paso cómo usa la r egla de la
cadena para calcular
df
du
df
dv
Donde f es una función cualquiera y las variables x, y son
x=v cos
u
3
, y=−ln
uv
Entones, tenemos que
∂ f
∂u
∂ f
∂ x
∂ x
∂ u
∂ f
∂ y
∂ y
∂ u
Hallamos las derivadas
∂ x
∂ u
=− 3 u
2
v sin(u
3
∂ y
∂u
u
∂ f
∂u
=− 3 u
2
v sin(u
3
u
∂ f
∂ v
∂ f
∂ x
∂ x
∂ v
∂ f
∂ y
∂ y
∂ v
∂ x
∂ v
3
∂ y
∂ v
v
∂ f
∂ v
3
v
Grupo de ejercicios 3 – Ecuación del plano tangente y Diferenciación.
En los siguientes ejercicios explique detalladamente cómo encuentra una
ecuación del plano tangente a la función 𝑓 (𝑥, 𝑦) dada en el punto
0
(
x
0
,
y
0
)
indicado. Escriba un análisis de comparando el resultado obtenido con el dibujo
del plano en GeoGebra.
f
x , y
= y x
2
−x+ y en P
0
L ( x , y )=f
x
0
, y
0
x
x
0
, y
0
x−x
0
y
x
0
, y
0
y− y
0
Hallamos el valor de la función en el punto dado
f
2
f ( 3 , 2 )= 17
Hallamos las derivadas parciales y las evaluamos en el punto dado
f
x
= 2 yx− 1
f
x
f
y
=x
2
f
y
2
Remplazando en la ecuación de linealización
L ( x , y )= 17 + 11 ( x− 3 )+ 10 ( y − 2 )
L ( x , y )= 17 + 11 x− 33 + 10 y− 20
L ( x , y )= 11 x+ 10 y − 36
Se puede apreciar como la ecuación del plano queda tanto tangente con la
función como con el punto dado.
