Función Gamma en Cálculo Integral, Apuntes de Redes de Computadoras

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Función Gamma

SEMANA 02 SESIÓN 01

Matemática para

Ingenieros 2

ESQUEMA DE LA UNIDAD INTEGRALES IMPROPIAS FUNCIÓN GAMMA ÁREAS EN COORDENADAS POLARES FUNCIÓN BETA (^) COORDENADAS POLARES GRÁFICAS DE CURVAS POLARES

0 +∞ 𝑒 −𝑢^2 𝑑𝑢 =

න 𝒖𝒅𝒗 = 𝐮. 𝐯 − න 𝒗. 𝒅𝒖 Integral difícil (^) Integral fácil

INTEGRACIÓN POR PARTES

INTEGRAL DE POISSON

𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − න 𝑏 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

FUNCIÓN GAMMA

DEFINICIÓN

Siendo 𝑥 > 0 se define: Γ 𝑥 = ׬

0 +∞

−𝑡

𝑥− 1

FUNCIÓN GAMMA PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN GAMMA

2 = π

3. Γ x+ 1 = xΓ x ; ∀x > 0

4. Si: n ∈ ℤ
   • , se tendrá: Γ (^) n+ 1 = n! Demostración ❑ Γ 1 = (^) ׬ 0 +∞ 𝑒 −𝑡 . 𝑡 0 𝑑𝑡 = (^) ׬ 0 +∞ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 Γ 1 = lim 𝑎→∞

0 𝑎 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 = lim 𝑎→∞

−𝑡 /

Γ 1 = lim 𝑎→∞

−𝑎

• 𝑒 0 = 1

2

0 +∞ 𝑒 −𝑡

. 𝑡 − 1 / 2 𝑑𝑡 Sea: 𝑡 = 𝑢 2 Derivando 1 =

2 ) 𝑑𝑡 1 = 2𝑢.

2

0 +∞ 𝑒 −𝑡

. 𝑡 − 1 / 2 𝑑𝑡 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑢^2 . 𝑢 2 − 1 (^2) (2𝑢. 𝑑𝑢) Γ (^1) 2

0 +∞ 𝑒 −𝑢 2

. 𝑑𝑢 = 2 (

𝒕 0 ∞ 𝑢 0 ∞

Ejercicio explicativo 1 Determine la siguiente integral. න 0 ∞ 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥

0 ∞ 𝑥 − 1 (^2). 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 Determine la siguiente integral. Ejercicio explicativo 2

Determine la siguiente integral. ׬ 0 ∞ 𝑥 4 𝑒 −𝑥 2 dx Ejercicio explicativo 4

Determine la siguiente integral. න 0 1 𝑙𝑛𝑥 4 𝑑𝑥 Ejercicio explicativo 5

Ejercicio reto Calcule la siguiente integral: (^) ׬ 0 ∞ 𝑥 3 Τ 2 𝑒 − 9 𝑥 𝑑𝑥

CONCLUSIONES Definición Teoremas Siendo x > 0 se define: Γ (^) 𝑥 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑡

. 𝑡 𝑥− 1 𝑑𝑡

2

❑ Siendo x > 0 : Γ (^) 𝑥+ 1 = ❑ Si: n ∈ ℤ

, se tendrá: Γ (^) n+ 1 = n!