¡Descarga Regla de la cadena y teorema del valor medio en cálculo diferencial - Prof. Galvis y más Apuntes en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity!
Tema 4
Regla de la cadena
Motivaci´o del tema:
a) Siga T (x, y, z) la temperatura en el punt de coordenades (x, y, z). La posici´o
d’una part´ıcula en l’instant t ve donada per x = cos t, y = sin t, z = t. Aleshores, la
temperatura de la part´ıcula a l’instant t ser`a h(t) = T (cos t, sin t, t). Volem aprendre
a calcular h ′ (t) a partir del coneixement del vector gradient de T encara que no
tinguem una expressi´o expl´ıcita per la temperatura.
b) Siga f : R 2 → R una funci´o diferenciable i fem un canvi a coordenades polars
x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, obtenint una nova funci´o h(ρ, θ) := f (ρ cos θ, ρ sin θ). Volem
calcular les derivades parcials de h conegudes les derivades parcials de f encara que
no tinguem una expressi´o expl´ıcita per a f.
Per poder provar el teorema que permet contestar les preguntes anteriors necessitem
alguns resultats auxiliars.
Lema 4.1. Siga L : R n → R p una aplicaci´o lineal. Aleshores existeix una constant
K > 0 tal que
‖L(x)‖ ≤ K‖x‖ ∀x ∈ R n .
Demostraci´o. Per ser L lineal obtenim
L(x) = L
∑n
j=
xj · ej
∑^ n
j=
xj · L(ej ).
Per tant
‖L(x)‖ ≤
∑^ n
j=
|xj | · ‖L(ej )‖ ≤ ‖x‖ ·
∑^ n
j=
‖L(ej )‖.
La constant K m´es xicoteta que podem agafar en el lema s’anomena norma de
l’aplicaci´o lineal L i es representa ‖L‖. Amb aquesta notaci´o tenim
‖L(x)‖ ≤ ‖L‖ · ‖x‖ ∀x ∈ R n .
De la prova del lema obtenim que
‖L‖ ≤
∑^ n
j=
‖L(ej )‖.
Notem que de la linealitat de L s’obt´e
‖L(x) − L(y)‖ = ‖L(x − y)‖ ≤ ‖L‖ · ‖x − y‖ ∀x, y ∈ R n .
Es immediat deduir que totes les aplicacions lineals son funcions continues.^ ´
Lema 4.2. Siga f : A ⊂ Rn^ → Rp^ diferenciable en a ∈
◦ A. Per a cada ε > 0 existeix
δ > 0 tal que ‖h‖ < δ implica
‖f (a + h) − f (a)‖ ≤ (‖Df (a)‖ + ε) ‖h‖.
Demostraci´o. Notem que
‖f (a + h) − f (a)‖
‖h‖
‖f (a + h) − f (a) − Df (a) (h) ‖
‖h‖
‖Df (a) (h) ‖
‖h‖
El primer terme de la dreta t´e l´ımit zero quan h → 0 i el segon est`a fitat per
‖Df (a)‖.
Teorema 4.3 (Regla de la cadena). Siguen f : A ⊂ R n → R p , g : B ⊂ R m → R n ,
g(B) ⊂ A. Suposem que A i B son conjunts oberts, g ´es diferenciable en b ∈ B i f
´es diferenciable en a = g(b). Aleshores f ◦ g : B ⊂ R m → R p ´es diferenciable en b i
D(f ◦ g)(b) = Df (a) ◦ Dg(b).
Demostraci´o. Observem que L := Df (a) ◦ Dg(b) : R m → R p ´es una aplicaci´o lineal.
Hem de provar que
lim k→ 0
(f ◦ g)(b + k) − (f ◦ g)(b) − L(k)
‖k‖
Per ser f diferenciable en a existeix ε > 0 tal que B(a, ε) ⊂ A i ‖h‖ < ε implica
f (a + h) = f (a) + Df (a) (h) + ‖h‖E 1 (h) (4.0.1)
on
lim h→ 0
E 1 (h) = E 1 (0) = 0.
Tamb´e, per ser g diferenciable en b existeix δ > 0 tal que B(b, δ) ⊂ B i ‖k‖ < δ
implica
g(b + k) = g(b) + Dg(b) (k) + ‖k‖E 2 (k) (4.0.2)
on
lim k→ 0
E 2 (k) = E 2 (0) = 0.
A m´es, g ´es cont´ınua en b (per ser diferenciable) i per tant podem suposar que δ ´es
lo suficientment xicotet per a que
‖k‖ < δ ⇒ ‖g(b + k) − g(b)‖ < ε.
Ara fixem k ∈ Rp^ amb ‖k‖ < δ i calculem
(f ◦ g)(b + k) = f
g(b) + g(b + k) − g(b)
= f (a + h)
on
h = g(b + k) − g(b).
Al substituir en la expressi´o per a f obtenim una funci´o dels par`ametres
h(y 1 ,... , ym) = f
g 1 (y 1 ,... , ym),... , gn(y 1 ,... , ym)
Si anomenem
g = (g 1 ,... , gn) : B ⊂ R m → R n , g(B) ⊂ A,
resulta que
h = f ◦ g.
Siga b ∈ B i a = g(b) ∈ A. Aleshores, la relaci´o
(f ◦ g) ′ (b) = f ′(a) · g′(b)
vol dir que
( (^) ∂h
∂y 1
(b),... ,
∂h
∂ym
(b)
( (^) ∂f
∂x 1
(a),... ,
∂f
∂xn
(a)
∂g 1 ∂y 1 (b)^...^
∂g 1 ∂ym (b)
......... ∂gn ∂y 1 (b)^...^
∂gn ∂ym (b)
En particular, per a cada 1 ≤ k ≤ m,
∂h
∂yk
(b) =
∑^ n
j=
∂f
∂xj
(a) ·
∂gj
∂yk
(b).
Aquesta ´es la regla de la cadena per al c`alcul de derivades parcials.
En el cas en que g : I ⊂ R → Rn, g = (g 1 ,... , gn), ´es una funci´o d’una variable
(que anomenem t) obtenim que
f ◦ g
(t) =
∑^ n
j=
∂f
∂xj
(g(t)) · g ′ j (t) =^
∇f
g(t)
, g ′ (t)
Acabem amb una nova interpretaci´o geom`etrica del vector gradient.
Siga f : A ⊂ R^2 → R una funci´o de dos variables diferenciable en el conjunto obert
A. Considerem g : I ⊂ R → R^2 una parametritzaci´o diferenciable d’una corba de
nivell de la funci´o f. Aix`o vol dir que g(I) ⊂ A i la funci´o f ´es constant sobre els
punts de la corba g(I), ´es a dir,
f
g(t)
= C ∀t ∈ I.
Al derivar respecte de la variable t la identitat anterior obtenim
〈 ∇f
g(t)
, g ′ (t)
Com g′(t) ´es un vector tangent a la corba en el punt g(t) resulta que ∇f
g(t)
´es
ortogonal a dita corba. Es a dir,´ el vector gradient ´es ortogonal a les corbes de nivell.
4.1 Teorema del valor mitj`a
Comencem amb un exemple que prova que el teorema del valor mitj`a per a fun-
cions escalars d’una variable no es pot estendre directament a funcions amb valors
vectorials.
Exemple 16. Siga f : R → R^2 , f (t) = (cos t, sin t). Aleshores no existeix ξ ∈ R tal
que
f (2π) − f (0) = 2π · f ′ (ξ).
En efecte, f ′ (ξ) = (− sin ξ, cos ξ) 6 = (0, 0) per a tot ξ ∈ R, mentre que f (2π)−f (0) =
(0, 0).
Teorema 4.4 (Valor mitj`a). Siguen f : A ⊂ Rn^ → R diferenciable en el conjunt
obert A, i [a, b] ⊂ A. Aleshores existeix ξ ∈ [a, b] tal que
f (b) − f (a) = 〈∇f (ξ), b − a〉.
Demostraci´o. Considerem la funci´o escalar d’una variable
g : [0, 1] → R, g(t) := f (a + t(b − a)).
La funci´o g ´es cont´ınua en [0, 1] i derivable en (0, 1) per la regla de la cadena (per
a funcions d’una variable, derivable i diferenciable signifiquen el mateix). Per tant
existeix 0 < θ < 1 tal que
f (b) − f (a) = g(1) − g(0) = g ′ (θ)
∇f
ξ
, b − a
on ξ = a + θ(b − a) ∈ [a, b].
Obtenim ara una condici´o suficient per tal que una funci´o escalar siga Lipschitz.
Corolari 4.5. Siga A ⊂ Rn^ un conjunto convex i f : A ⊂ Rn^ → R. Si totes les
derivades parcials de f son continues i acotades en A aleshores existeix K > 0 tal
que
|f (b) − f (a)| ≤ K · ‖b − a‖ ∀a, b ∈ A.
Demostraci´o. Sabem que f ´es diferenciable en tots els punts del conjunt A. A m´es,
per a cada a, b ∈ A es compleix [a, b] ⊂ A perqu`e A ´es convex i, pel teorema anterior,
existeix ξ ∈ A tal que
f (b) − f (a) = 〈∇f (ξ), b − a〉.
Per tant
|f (b) − f (a)| ≤ ‖∇f (ξ)‖ · ‖b − a‖.
Per acabar, observem que
‖∇f (ξ)‖ =
∑n
j=
∂f
∂xj
(ξ)
) 2 )^12
≤ K
per alguna constant K que ´es independent del punt ξ.
