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Asignatura: Estadistica I, Profesor: anonimo anonimo, Carrera: Administración y Dirección de Empresas, Universidad: UAH
Tipo: Apuntes
1 / 16
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¡No te pierdas las partes importantes!
Tema 5: Regresión y Correlación^ ^ Dependencia funcional y dependencia estadística^ ^ Línea General de Regresión^ ^ Regresión mínimo-cuadrática y correlación lineal simple^ ^ Predicción
x^ x^^34
x^5
y^5 y^4 y^3 y^2 y^1
y^ bx =
y
x
Se representa la nube de puntos dada por los valores observados y se elige una formafuncional compatible con la forma de dicha nubePara cada observación (
de sus cuadrados.
(^
*^2 ) 2
ii^
i i
i^ i i
i residuo
e^
y^ y S^
e
y^ y
∑^
∑
Se obtiene la combinación de valores de los parámetros de la función elegida que hacemínima esta suma de errores.
y^ i^ * y^ i
e^ i x i
Y
X
3. Regresión mínimo-cuadrática
Características:
a) Una sola variable explicativa.b) La función a estimar es lineal RECTA DE REGRESIÓN de
Pasos:Se representa la nube de puntos dada por las observaciones.Se ajusta la recta de regresión de forma que se minimicen los errores al cuadrado:Desarrollando se obtiene el sistema de
ecuaciones normales mínimo cuadráticas
bx= +^ (^
)^
2
2
2
1
1
1
N
N
N
i
i^ i
i
i
i
i
i
S^
e
y^ y
y^ a^
bx
=^
=^
=
=^
=^
−^
=^
−^ −
∑^
∑^
∑
1
1
2
1
1
1
N
N i
i
i
i N
N
N i^ i
i
i
i
i
i
y^ Na
b^
x x y^
a^ x b^
x
=^
= =^
=^
=
∑^
∑ ∑^
∑^
(^ ∑
:)
3. Regresión mínimo-cuadrática
Los errores al cuadrado a minimizar son:Las ecuaciones normales son:La recta de regresión y los coeficientes serán:
(^
)
−^ =
1 −
1
2
1
1
1
N
N i
i
i
i N
N
N
i^ i
i
i
i
i
i
x^ Na
b^
y x y^
a^ y
b^
y
=^
= =^
=^
=
∑^
∑ ∑^
∑^
∑ (^
)^
(^
)
2
2
2
1
1
1
N
N
N
i
ii
i
i
i
i
i
S^
e
x^ x
x^ a
b y
=^
=^
=
∑^
∑^
∑ *^
´^ ´ x^
a^ b y= +
(^22)
x y X^ Y^
(^
: X Y )
3. Regresión mínimo-cuadrática
EJEMPLO 1
: En 10 familias se han observado sus ingresos (
x) y sus gastos (
y) anuales expresados en millones
de pesetas dando lugar a las siguientes cantidades (
x; 2,3,4,5,6,7,8,8,9,10) e (
y; 2,3,3,4,4,5,6,5,7,9). Obtener la
recta de regresión del gasto en función de los ingresos e interpretar los valores estimados del coeficiente deregresión y de la ordenada en el origen.
108 6 4 2 0 0
5
10
15
gastos
ingresos
b= 0.745,
a= 0.179,
3. Regresión mínimo-cuadrática^ y=0.179 + 0.745x
EJEMPLO 2
:^ Utilizando los datos del ejemplo 1 obtener la descomposición de la varianza. SOLUCIÓN: De los datos del ejemplo 1 se puede deducir:A partir de estos datos:
e y^
y^ e
3. Correlación lineal
Varianza Explicada Dos casos extremos:a) La variación total de la variable dependiente es explicada totalmente por la variableindependiente.b) La varianza total de la variable
modelo, (incorrelación)En cualquier otro caso, la variación total de la variable dependiente es explicada sólo enparte por la variación de la variable independiente. Por ello, dos conceptos importantes:
(^2 0) S =^ e
2 t y
y S^
(^2) S=
*^
2
2
xy^2
y
y
e^ S x
S^
S^
S^
S
3. Correlación lineal
Coeficiente de correlación lineal (aplicable sólo al caso de relación lineal entre variables):
2 2 1
´ xy e y
= ±^
−^
=^
= ±^
⋅ ⋅
Este coeficiente mide el grado de dependencia lineal de la variable
variable
entre las variables hay una dependencia lineal exacta y directa.
entre las variables hay una dependencia lineal exacta e inversa.
no hay relación lineal aunque si puede haberla de otro tipo.
(^11) ≤≤ −^ r
21 0,^
0 e
xy r^
S^
S =^ ⇒^
=^
^ ⇒ 21 0,^
0 e
xy r
S^
S = −^ ⇒ =^
<^ ⇒
3. Correlación lineal
Podemos ver rectas de regresión para distintos valores de
r :
En este gráfico se observa qué recta está por encima en cada cuadrante.
´b (^1) b >
3. Correlación lineal
EJEMPLO 3
:^ Utilizando los datos del ejemplo 1, predecir el gasto para una familia con unos ingresos de 7 millones anuales y comentar la fiabilidad de dicha predicción. SOLUCIÓN
Del ejemplo 1 sabemos que:
y=0,179+0,745x Por lo que sustituyendo en la recta de regresión estimada tenemos que:
y=0,179+0,745*7=5, Para una familia con esos ingresos el consumo esperado es de 5,394 millones anuales.Para ver la fiabilidad de la regresión hemos de calcular el coeficiente de determinación:Al ser el coeficiente de determinación mayor que 0,75 y estar el valor de prediccióncerca de la media consideramos que la predicción es fiable.
2
2
4. Predicción
