Análisis de Regresión Lineal Múltiple: Ejercicios y Aplicaciones, Ejercicios de Estadística

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ESTADISTICA INFERENCIAL

REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

SEMANA 15

SESIÓN N° 2

ANALISIS DE REGRESION MULTIPLE

1. Que es un Modelo de Análisis de Regresión Lineal

Múltiple?

2. Para que sirve un Modelo de Análisis de Regresión Lineal

Múltiple?

SABERES PREVIOS

El objetivo básico del Análisis de Regresión Lineal Múltiple es el de construir un modelo que permita

predecir o estimar el valor de una variable Y, en base a un conjunto de variables X 1 , X 2 ,....,Xk

▪A la variable Y se le llama variable dependiente, y es la que se quiere estimar o predecir.

▪Las variables X 1 , X 2 ,....,Xk son las variables independientes o variables predictoras.

𝑌 𝑖 = 𝛽 0

• 𝛽 1 𝑋 1
• 𝛽 2 𝑋 2 +𝜀 𝑖 ✓ Los residuos tienen media 0. ✓ La varianza de los residuos no depende de xi (homocedasticidad) ✓ Los residuos son normales. ✓ Los residuos son aleatorios. ✓ Las variables x 1 , x 2 , etc. no están linealmente correlacionadas entre sí

Supuestos:

REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

Aficion_lectura Num_hijos Aficion_cine Aficion_musica renta_mens Nivel_estudios Aficion_TV Satisfaccion 4 0 3 5 1200 4 4 4 3 0 3 4 1500 5 4 3 5 1 4 1 1800 3 5 5 2 2 1 3 1000 2 2 3 4 1 5 3 1300 3 4 4 3 1 3 4 1900 1 4 3 5 3 4 5 1300 4 5 5 3 0 2 3 1200 4 4 3 3 1 4 1 1600 2 5 4 1 3 2 1 1400 2 1 2 4 0 5 4 1700 3 4 4 5 0 5 5 2500 4 5 5 5 2 4 4 1100 5 3 5 5 2 5 3 1400 3 4 5 2 1 1 4 1800 4 3 3 4 2 5 4 2000 4 5 5 3 3 2 4 1500 4 3 3 1 1 2 3 1000 2 2 2 2 1 2 2 1300 3 3 3 1 0 2 5 1600 4 4 2 5 1 4 4 1800 3 4 4 2 2 3 3 1200 4 4 4 4 1 5 5 1700 2 5 4 4 1 4 3 1500 5 4 4 5 2 4 5 1100 5 5 5 Satisfacción de usuarios REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

Resolución de Regresión Lineal Múltiple: Notación Matricial

Para determinar la ecuación de regresión lineal múltiple muestral, debemos primero identificar la variable

dependiente y luego las variables independientes, una vez identificados, formaremos nuestro sistema de

matrices para cada uno de ellos, formando el siguiente sistema de ecuación de regresión múltiple, y

ubicándolos de esta forma:

Quedando el sistema de Matrices definida de la siguiente manera: 𝒀 𝒊 = 𝜷 𝐤 𝑿 𝐢𝐤 + 𝒆 𝒊

Donde: Yi: es la Matriz de la Variable Dependiente

Xi: es la Matriz de la Variable Independiente

Bi: es la Matriz de los coeficientes predictores

ei : es la matriz del error de estimación

REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

𝒀 𝒊 = 𝜷 𝐤 𝑿 𝐢𝐤 + 𝜺 𝒊 NOTA: En la primera columna de la matriz de la variable independiente se pone 1, que corresponde al valor de la constante Notación Matricial REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

2

2

Coeficiente de regresión en el caso de dos variables independientes: Sistema de ecuaciones

REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

Coeficiente de regresión en el caso de dos variables independientes: Matrices

𝑇

𝑖= 1 𝑛

𝑖= 1 𝑛

𝑖= 1 𝑛

𝑖= 1 𝑛

2

𝑖= 1 𝑛

𝑖= 1 𝑛

𝑖= 1 𝑛

𝑖= 1 𝑛

2

𝑇

𝑖= 1 𝑛

𝑖= 1 𝑛

𝑖= 1 𝑛

𝜷 = 𝑨

𝑮 = 𝛽

𝛽 1 𝛽

REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

De acuerdo con esta interpretación, ŷ es una estimación, y cuando se utiliza para este propósito, a la

ecuación se le llama ecuación de estimación.

Cuando ŷ se interpreta como, una estimación de la media de la población, al intervalo se le llama intervalo

de confianza.

𝑰𝑪 𝝁𝒚|𝒙 𝟎 = ෝ𝒚𝟎 ± 𝒕 𝟏−

𝑪𝑴𝑬 𝒙 𝟎

𝑿

𝑿

𝒙𝟎

Donde:

• La distribución t con 𝑛 – 𝑘– 1 grados de libertad (k: número de variables independientes)
• 𝑥𝑜 es el vector que contiene los valores de las variables independientes para los cuales se desea

hacer el pronóstico.

• CME es: 𝑺 = σ 𝒚 − 𝒚ෝ

𝒏 − 𝒌 − 𝟏

𝒚

𝒚 − 𝜷

𝑿

𝒚 𝒏 − 𝒌 − 𝟏 = 𝑪𝑴𝑬 𝑪𝑴𝑬 = 𝑺𝑪𝑬 𝒏 − 𝒌 − 𝟏 INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA

En este caso, ŷ es el valor pronosticado o valor de predicción de y, y a la ecuación se le llama ecuación de

predicción.

Cuando ŷ se interpreta como un valor de predicción de y, al intervalo se le llama intervalo de predicción.

𝑰𝑷 𝒀 = 𝒚ෝ𝟎 ± 𝒕 𝟏−

𝑪𝑴𝑬 𝟏 + 𝒙 𝟎

𝑿

𝑿

𝒙𝟎

Donde:

La distribución t con 𝑛 – 𝑘– 1 grados de libertad y CME es:

𝑺 = σ 𝒚 − 𝒚ෝ

𝒏 − 𝒌 − 𝟏

𝒚

𝒚 − 𝜷

𝑿

𝒚 𝒏 − 𝒌 − 𝟏 = 𝑪𝑴𝑬 𝑪𝑴𝑬 = 𝑺𝑪𝑬 𝒏 − 𝒌 − 𝟏 INTERVALO DE PREDICCIÓN PARA 𝒀 𝟎

La ecuación de Regresión a encontrar será: 𝑌෠ = 𝛽 0 +^ 𝛽 1 𝑋 1 +^ 𝛽 2 𝑋 2 N° 𝒀^ 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟏𝒀^ 𝑿𝟐𝒀^ 𝑿𝟏𝑿𝟐 𝑿𝟏 𝟐 𝑿𝟐 𝟐 Y^2 1 360 2 1 720 360 2 4 1 129600 2 1000 6 1 6000 1000 6 36 1 1000000 3 450 3 2 1350 900 6 9 4 202500 4 525 4 3 2100 1575 12 16 9 275625 5 350 2 10 700 3500 20 4 100 122500 6 300 1 4 300 1200 4 1 16 90000 Total σ𝑌 = 2985 σ𝑋 1 = 18 σ𝑋 2 = 21 σ𝑋 1 𝑌 = 11170 σ𝑋 2 𝑌 = 8535 σ𝑋 1 𝑋 2 = 50 σ𝑋 1 2 = 70 σ𝑋 2 2 = 131 σ𝑌 2 = 1820225

Solución a.

EJERCICIO EXPLICATIVO 1

Reemplazando en las ecuaciones normales Resolviendo el sistema de Ecuaciones ෎ 𝑌 = 𝑛𝛽 0 + 𝛽 1 ෍ 𝑋 1 + 𝛽 2 ෍ 𝑋 2 ෎ 𝑋 1 𝑌 = 𝛽 0 ෍ 𝑋 1 + 𝛽 1 ෍ 𝑋 1 2

• 𝛽 2 ෍ 𝑋 1 𝑋 2 ෎ 𝑋 2 𝑌 = 𝛽 0 ෍ 𝑋 2 + 𝛽 1 ෍ 𝑋 1 𝑋 2 + 𝛽 2 ෍ 𝑋 2 2 𝜷 = 𝛽

𝛽 1 𝛽

=

1. 458
2. 485 − 2. 403 2985 = 6 𝛽 0 + 18 𝛽 1 + 21 𝛽 2 11170 = 18 𝛽 0 + 70 𝛽 1 + 50 𝛽 2 8535 = 21 𝛽 0 + 50 𝛽 1 + 131 𝛽 2 6 18 21 18 70 50 21 50 131

EJERCICIO EXPLICATIVO 1

CALCULO DE COEFICIENTES 𝛽 =

− 1 𝐺 =

𝑌^ ෠ = 96. 458 + 136 .485𝑁º ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡 − 2 .403𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐 𝑌^ ෠ = 96. 458 + 136. 485 𝑋 1 −^2.^403 𝑋 2 𝜷𝟎 : La renta esperada(promedio), cuando el tamaño del departamento y la distancia al centro de la ciudad toman el valor de cero será de 96.458$ 𝜷𝟏 : Por cada incremento de una habitación, la renta esperada(promedio) se incrementará en 136.485$ manteniendo constante la distancia al centro de la ciudad. 𝜷𝟐: Por cada incremento de una unidad de distancia al centro de la ciudad, la renta esperada (promedio) disminuirá en - 2,403$ manteniendo constante el número de habitación

Solución.

MATRIZ DE VARIANZA COVARIANZA N° 𝒀^ 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟏𝒀^ 𝑿𝟐𝒀^ 𝑿𝟏𝑿𝟐 𝑿𝟏 𝟐 𝑿𝟐 𝟐 Y^2 1 360 2 1 720 360 2 4 1 129600 2 1000 6 1 6000 1000 6 36 1 1000000 3 450 3 2 1350 900 6 9 4 202500 4 525 4 3 2100 1575 12 16 9 275625 5 350 2 10 700 3500 20 4 100 122500 6 300 1 4 300 1200 4 1 16 90000 Total σ𝑌 = 2985 σ𝑋 1 = 18 σ𝑋 2 = 21 σ𝑋 1 𝑌 = 11170 σ𝑋 2 𝑌 = 8535 σ𝑋 1 𝑋 2 = 50 σ𝑋 1 2 = 70 σ𝑋 2 2 = 131 σ𝑌 2 = 1820225 𝑉𝐶 =

2 𝑆𝑌𝑋 1

2 𝑆𝑋 1 𝑌^

1 2 𝑆𝑋 1 𝑋 2 𝑆𝑋 2 𝑌^

2 𝑋 1

2 2 𝜎𝑌 2 = σ𝑌 2 𝑁 − 𝑌 2 = 1820225 6 − 2985 6 2 = 55864. 58333 𝜎𝑋 1 2 = σ𝑋 1 2 𝑁 − 𝑋 1 2 = 70 6 − 18 6 2 = 2. 6667 𝜎𝑋 2 2 = σ𝑋 2 2 𝑁 − 𝑋 2 2 = 131 6 − 21 6 2 = 9. 5833 𝑆𝑌𝑋 1 = σ𝑌𝑋 1 𝑁 − 𝑌 𝑋 1 = 11170 6 − 2985 6 18 6 = 369. 1667 𝑆𝑌𝑋 2 = σ𝑌𝑋 2 𝑁 − 𝑌 𝑋 2 = 8535 6 − 2985 6 21 6 = − 318. 75 𝑆𝑋 2 𝑋 1 = σ𝑋 2 𝑋 1 𝑁 − 𝑋 2 𝑋 1 = 50 6 − 21 6 18 6 = − 2. 1667