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E) MATEMÁTICAS EMPRESARIALES Relación de Ejercicios 2 TI-ADE y TE-ADE Curso 2014/18 1. Calcula todas las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones: Ray) = 2; Aloy 2 f(x, y) == sen(x) sen(»); fly) =5 y 4 2 — 5 Y La LA): Aa) La (A) a toy) = 2%, An 2) = 0 fals, tw) =5w-1+7w%; fuloyz) =Ia 043742 falso =sériá; fis(y) =20. Solución: (Aparece el resultado final, simplificado cuando es posible) ia 9% ACM 22.2 a As y TA rl y ÓN dB 22 . da . da a A NS 2 CV ay LA Oe EN Y VAR ay ent cost); EN 10xy+2y"=13 , e y 3x1” + 6xy% oy il 1 añ dx ye y dx dfo _ aa. 1 E Ed Aa ¿Y TAZ df ÓN EN df _1 Nas. OL. ,. Ar de 212; 5 =Ln(2)2; da Pr Oña = 350 ul; Oña = aser, ds dr Jn ds yt Ox 2. Determina las derivadas parciales que se indican: 900), siendo lu) mac + ZA), siendo n= ZE Solución: tra Y 2 Y, y +3, 00% y 4 Una empresa produce pañuelos según la siguiente función de producción: Q(Mi Ma, Ly = MP4 21M E, donde M| es el tiempo que se utiliza la máquilia*I; Mes el tiempo ús se-utiliza la máquina 2 y L es el número de horas de mano de obra. Calcula la productividad marginal respecto de las horas empleadas en las máquinas 1 y 2, y respecto de L. Mal MiL 9Q MM: am aL 2 ap A, op Mi 200 Ma 7 200” AL 200 Las produetividades marginales son las derivadas parciales de la función de producción. Solución: + Se considera la función de producción de Cobb-Douglas P(X,L) = - 3K 515, (donde K representa la can- tidad de capital, £ las horas de trabajo y P es la cantidad producida). Calcula las funciones de productividad marginales, e, - mginales, == == tes Y aL 0 3 oa15 815 e Rias js _ 12 KU5 S : == >= KC LA o Solución SE =K 5 35 € Dada una función de producción de tipo Cobb-Douglas, es decir, de la forma P = AL9KÚ (donde A, O. y B son constantes positivas y a+ B = 1), demuestra que: A Solución: (a) E = AQ! Eb, az O art aa Ll (b) - =ABLERB-, Pe = pa pag = e o 15 ms =L (27) + K (sz) - =aP+BP=(a+B)P=P % Calcula los vectores gradientes de las siguientes funciones: fix y) = A lx y) = VE flan = Lal ay). Solución: o (E) Vil(xy) (ue —2x + yz XZ EN da a? a q eS da _ dz dx 0 dy _ $ ) ri E (4) + => (213). Por tanto, EE TE ( (213). Portant Z O sea, ELA di FO dio Y5x+2y b) Expresamos z como función de £: 2= Y r2y= (54147) 420-3144) = V2014-354 2126148 = 1/22 + 144443 Es decir, z = Y2f + 141 +43. Derivando con respecto a: da 41414 de 2147 A == di 2/24 141443 d y224 141443 ¿Sale lo mismo que antes? Sí, Basta observar que, como se vió antes, SF 2y = 428 4 141 4-43. y] 2047 _2 Alia VÍFIARAS 439 . Para la función z = f(x, y) = 124 5y, siendo ( y=h)=6-2* x= (1) = 8r ES pa dz utiliza la regla de la cadena para calcular la derivada Se d Solución: Haciendo los cálculos pertinentes, A = l6x+1SP. d d: (O, si se prefiere, > = 12814 151). Sea f la función real de dos variables definida como f(u,v) = e*”, donde las funciones u y v se expresan : =>. af of como t(x,y) =x+y y v(x, y) = 2x — y, Calcula 3 Y dy Solución: El esquema ahora es: _ E YI AN Y AT (ven) (nena) => 570 (v+2u) YAA Y y 7 a a a ay => y 7 Ve (Dl > Sy 7 e e 4) . Sea la función w=38x2y 4 7y% 4 3x24-2, donde x ae $) =3r4s, y =y(2,5) =e" —senís),2=2(1,8) = E 715 4-3r. Calcula las derivadas parciales ez 3 Y evalíalas en el punto (r,s) = (0,0). r Solución: El esquema es A! Y dw dw dx 0dw dy 0w dz dw ata > lar = (161y+32)(3) + (8x7 4-21y%)(c") + (3x)(1475 +3) dw dw dx dw dy 0w dz dw _ 2 osos 2 aaa ts 7 la = (16xy +32)(1) + (8x*+21y%)Gcos(s)) + (3)(777) En el punto (+, 5) = (0,0), los valores correspondientes de x, y, z son: x=3r49=0, y=e"-sen(s) =e%—sen(0)=1, ¿=7s4+3r=0. Es decir, x=0,y=1,2=0, Entonces, e = (0)(3) + (21)(e%) + (0)(3) = 21. * 1,=0,5=0 Y ed = 04 (21) cos(0)) +0 =21(=1) == 5 [72:0,5:50 Hacemos los cálculos: 9=lny — fo=! > [0-1 Xx cn Pu > Palx) = (11) (b) El valor aproximado pedido es Pa(0,9) = (0,91) —3(0,9—1)? = 0,1 — 0,005. Es decir, (A título de curiosidad, el valor exacto de f(0,9) es Ln (0,9) = --0,1053605...) Calcula el desarrollo de Taylor de primer orden de las siguientes funciones en torno a los puntos que se indican: a fay) = 4 —La(1+y?) en un entorno del punto (—1, 1), D) h(x,y) = eb), para a € R,a 72 0, en un entorno del punto (0,0). Solución: El desarrollo de Taylor de primer orden de una función f en torno a un punto (xo, Yo) es Poy) = £Qto:do) + VÍ (ordo)* ( a a) En nuestro caso, (Xo,Yo) = (—1,1). El desarrollo de Taylor es entonces no =p (37) La función es f(x, y) = x? —Ln(14-y?). Necesitamos calcular f(—1, 1) y VI(-1,D. Hacemos las cuentas: O E a o) Vx, y) = ES 2) > El polinomio de Taylor es: Plry)=-1-2n2)+ (3, 1 MOE ) Es decir, [P,(x,y) = 1 —Ln(2) + 364) 0-0] b) Ahora la función es h(x,y) == ee) y el punto es (xo,Y0) == (0,0). El polinomio de Taylor de orden uno es Pi(x,y) = h(0, 0) + Vh(O, 0)- ( s ) 7 Hacemos los cálculos: hay) e y Oe ss [(0,0)=1) Vh(x,y) = (act, aten) => [vA(00) El polinomio de Taylor es: ni=reta 0) (3) Es decir, Play) =1+ ax +ay . Calcula el desarrollo de Taylor de segundo orden en torno al punto (0,0) de las siguientes funciones: =yd2+y +1 () f0y) = 4-24 31y, (db) elx Solución: El desarrollo de Taylor de segundo orden de una función f en torno a un punto (Xp, Yo) es . - 1 q Pal) = Sonya) + Vo) (FI) a gt 009= 30) Henley 730) En nuestro caso, (Xp, Yo) = (0,0), y el polinomio queda como: 7 1 Pa) 10.0) +950,0)-( 3 ) + 5099-1609) (5) a) La función es f(x, y) = 29 -—-2x? 4 3xy?. Debemos calcular /(0,0), Vf(0,0), Hess f(0,0). ES Vf(x,y) = (3 -4x+3y,6xy) — [Vf(0,0) =(0,0)| Hess f(xy) = ( PS ) Hess f(0,0) = ( A El polinomio de Taylor es: x 1 24.0 x Pa) =0+ (o, 0) (3) 4308 “$ 0) (5) Palx,y) = 202 Es decir, b) Ahora la función es g(x, y) = VEL érny= Vert > [g(0,0)=1l e aria) > [Vg(0,0) = (0,0). IS 8 20 Calcula el desarrollo de Taylor de segundo orden de fa función g(x,y) = y? +12y en torno al punto (0,0) y úsalo para estimar g(—0,1,0,1) y g(0,2;0,4). Solución: gu) = y > Velx,y) = (21y, 29427) Hessg(x,y) = ( x 2 El polinomio de Taylor es: Palx,y) =0+ (0, 93) >» 2) (5) Es decir, |Pa(x,y) = y? Calculamos los valores aproximados buscados: g(--0,1;0,1) 22 Pa(0,1:0,1) = (0,19? = 0,01. > [g(-0,130,1) 0,011 £(0,2;0,4) = Pa(0,2:0,4) = (0,4? =0,16 > 24 Sabiendo que /(0,0) =7, Vf(0,0) = (3,2) y que Hessf(0,0) = Y Al ) calcula la aproximación de Taylor de segundo orden (polinomio de Taylor) de f en un entomo de (0,0) y úsala para estimar el valor de f(0.2,--0.1) Solución: Palx.3) =/(0,0) + VA(0,0)- ( ; ) +3 (3 y) Hessfi0,0)- ( ; ) Osea, Pol) 74 (3, 2 (3)+ a $ Sy) Es decir, ni y 1 Pala, y) =7 4 3x4 2y + 3 (a? —2xy + 6y?) O sea, Play) = TA Ba 2 4 2 ay y? F(0,2;-0,1) = Pa(0,2; 0,1) = 74 3(0,2) -+ 2(--0,1) +2(0,2)? — (0,2)(-0,1) +3(-0,1)? = 7,53, Es decir, |, Calcula el polinomio de Taylor de orden uno de la función f(x,y) = (3x-+-y)e* centrado en el punto (0,0). Solución: P¡(x,y) = 3x4 y * Calcula el polinomio de Taylor de orden dos de la función f(x,y) = Ln (3x + 5y) centrado en el punto 2-1). Solución: Pa(x,y) = 32) +5 +1) 4,5215 2) l(y+ 2) - 12,5) + 1)? 10 
