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Matem´aticas. G.F.I.C.O.
Ejercicios resueltos de integrales
- Ejemplos de c´alculo de integrales indefinidas que se resuelven utilizando la tabla de integrales simples.
6 x^3
dx.
Observamos que
6 x^3 =
6 ·^
x^3 =
6 ·^ x
Esto nos permitir´a sacar fuera de la integral el factor constante 16 y luego usar la f´ormula para la integral de una potencia. La integral entonces se calcula as´ı: ∫ (^1) 6 x^3 dx^ =
∫ x−^3 dx =
6 ·^
x−3+ −3 + 1 +^ C^ =
6 ·^
x−^2 − 2 +^ C^ =^
x−^2 − 12 +^ C^ =^
12 x^2 +^ C
Los ´ultimos pasos han sido para dejar el resultado de la integral en la mejor forma posible.
∫ ( 7 x − 3 5
ex
) dx
Observamos que se trata de la integral de una resta, que sabemos que es la resta de las integrales. ∫ ( 7 x − 3 5
ex
) dx =
∫ 7 x dx −
ex^ dx = 7
∫ x dx − 3 5
∫ ex^ dx = 7 x
2 2
ex^ + C
∫ (^2) z − 5 7
dz
Observamos que el integrando es 2 z^ −^5 7
· (2z − 5). Eso nos permite darnos cuenta del factor constante 17 que multiplica en el integrando y que podemos sacar fuera de la integral. ∫ (^2) z − 5 7
dz =^1 7
∫ (2z − 5) dz =^1 7
( 2 z^2 2
− 5 z
)
( z^2 − 5 z
)
(^2) − 5 z 7
+ C
∫ (x^2 + 5)(x − 3) dx No hay ninguna regla para la integral de un producto. Pero podemos operar en el integrando y se tiene que: (x^2 + 5)(x − 3) = x^3 − 3 x^2 + 5x − 15. Entonces calculamos nuestra integral as´ı: ∫ (x^2 + 5)(x − 3) dx =
∫ (x^3 − 3 x^2 + 5x − 15) dx = x
4 4
− x^3 +^5 x
2 2
− 15 x + C
∫ (^ x (^3) − 3 x (^2) + 5x − 2 x
) dx
Tampoco hay regla para la integral de un cociente. Pero podemos separar en fracciones el integrando de la siguiente manera: x^3 − 3 x^2 + 5x − 2 x =^
x^3 x −^
3 x^2 x +
5 x x −^
x =^ x
(^2) − 3 x + 5 − 2 x Entonces nuestra integral se calcula as´ı: ∫ (^ x (^3) − 3 x (^2) + 5x − 2 x
) dx =
∫ ( x^2 − 3 x + 5 −
x
) dx =
x^3 3 −^
3 x^2 2 + 5x^ −^ 2 Ln^ |x|^ +^ C
(Hemos hecho directamente la integral y hemos tenido en cuenta que
x dx^ = 2
x dx^ = 2 Ln^ |x|.)
∫ 7 x^ dx Se trata de la integral de una exponencial de base 7. Se hace con la f´ormula
∫ ax^ dx = a
x Ln (a)
∫ 7 x^ dx = 7
x Ln (7)
+ C
- Ejemplos de c´alculo de integrales indefinidas que se resuelven mediante un cambio de variable
y la f´ormula
∫ un^ du = u
n+ n + 1
- C o, en algunos casos, mediante la f´ormula espec´ıfica
∫ (ax + b)n^ dx =^1 a
· (ax^ +^ b)
n+ n + 1
+ C
∫ 2 x (x^2 + 3)^5 dx
Llamamos u = x^2 + 3. Entonces du dx
= 2x, de donde du = 2x dx. Vemos que podemos escribir nuestra integral en t´erminos de u y du. Lo hacemos y la calculamos. ∫ 2 x (x^2 + 3)^5 dx =
∫ ( ︸x 2 ︷︷+ 3) 5 ︸ u^5
(^2) ︸ ︷︷ ︸x dx du
∫ u^5 du =
u^6 6 +^ C^ =^
(x^2 + 3)^6 6 +^ C
En el ´ultimo paso hemos expresado el resultado en t´erminos de la variable original.
∫ (x^3 + 7)^4 x^2 dx.
Si llamamos u = x^3 + 5, entonces
du dx = 3x
(^2) , y du = 3x (^2) dx. Vemos que podemos expresar la integral dada en t´erminos de u y du pero antes debemos ajustar constantes para obtener el factor 3 que nos falta. El proceso es el siguiente. ∫ (x^3 + 7)^4 x^2 dx =
∫ (x^3 + 7)^4 · 3 3
· x^2 dx =^1 3
∫ (x^3 + 7)^4 (3x^2 dx) =^1 3
∫ u^4 du =^1 3
· u
5 5
+ C =
= u
5 15
+ C.
∫ (5x + 6)^8 dx.
Llamamos u = 5x + 6. Entonces du dx
= 5, y du = 5 dx. Ajustamos constantes y calculamos la integral. ∫ (5x + 6)^8 dx =^1 5
∫ (5x + 6)^8 (5 dx) =^1 5
∫ u^8 du =^1 5
· u
9 9
9 45
+ C.
Alternativamente, podemos calcular esta integral mediante la f´ormula espec´ıfica mencionada, con 5 en el papel de a. O sea, que calculamos la integral directamente as´ı:
∫ (^2) x x^2 + 1 dx Vemos que esta integral responde exactamente al modelo de la f´ormula. La funci´on del denominador, u(x) = x^2 + 1 tiene como derivada justamente el numerador, u′(x) = 2x. Por tanto, aplicamos la f´ormula directamente y el resultado es el logaritmo del denominador. ∫ (^2) x x^2 + 1
dx = Ln (x^2 + 1) + C
∫ (^3) x x^2 − 1 dx. La derivada del denominador es 2x. La x la tenemos, pero nos falta un 2 (ajustaremos constantes para arreglarlo) y nos sobra un 3, que es una constante multiplicando y por tanto, la sacamos fuera de la integral. La calculamos. ∫ (^3) x x^2 − 1 dx^ = 3
2 ·^
x x^2 − 1 dx^ = 3^ ·^
∫ (^2) x x^2 − 1 dx^ =^
2 Ln^ |x
2 − 1 | + C
5 x − 2 dx. La derivada del denominador es 5. No la tenemos. Ajustamos constantes. ∫ (^1) 5 x − 2
dx =
5 x − 2
dx =^1 5
5 x − 2
dx = 1 5
Ln | 5 x − 2 | + C
Existe la opci´on alternativa de hallar la integral por la f´ormula espec´ıfica con a = 5. Entonces la calculamos directamente as´ ∫ ı: 1 5 x − 2 dx^ =
5 Ln^ |^5 x^ −^2 |^ +^ C
- Ejemplos de c´alculo de integrales indefinidas que se resuelven mediante la f´ormula ∫ eu(x)u′(x) dx = eu(x)^ + C o, en algunos casos, mediante la f´ormula espec´ıfica ∫ eax+b^ dx =
a ·^ e
ax+b (^) + C
∫ e^3 x
(^2) +5x− 1 (6x + 5) dx Observamos que dentro de la integral aparece la exponencial de base e con un exponente u(x) = 3 x^2 + 5x + 1 cuya derivada, que es u′(x) = 6x + 5 aparece tal cual multiplicando dentro de la integral. Por tanto, el aspecto de nuestra integral es exactamente el de la f´ormula generalizada. Calculamos la integral: ∫ e^3 x^2 +5x−^1 (6x + 5) dx = e^3 x^2 +5x−^1 + C
∫ x^3 e−x^4 dx
El exponente es −x^4 y su derivada es − 4 x^3. Aparece dentro de la integral el x^3 pero falta el −4. Ajustamos constantes y hallamos la integral. ∫ x^3 e−x^4 dx =
− 4 ·^ x
(^3) · e−x^4 dx = 1 − 4
∫ (− 4 x^3 ) e−x^4 dx =
4 e
−x^4 + C
En el ´ultimo paso, hemos hecho la integral observando que tiene el aspecto exacto de la f´ormula generalizada.
∫ e^5 x−^2 dx. Para ajustarse exactamente a la f´ormula falta la derivada del exponente, 5. Procedemos como siempre y calculamos la integral. ∫ e^5 x−^2 dx =
5 ·^ e
5 x− (^2) dx =^1 5
∫ 5 e^5 x−^2 dx =
5 e
5 x− (^2) + C.
En el ´ultimo paso hemos calculado la integral, que ya ten´ıa el aspecto exacto que permite aplicar la f´ormula generalizada.
Alternativamente, para calcular la integral se puede usar la f´ormula espec´ıfica citada, con a = 5. Entonces se calcula directamente as´ı: ∫ e^5 x−^2 dx = 1 5
e^5 x−^2 + C.
∫ e3+8x^ dx =
8 e
3+8x (^) + C.
Esta integral se ha calculado con la f´ormula espec´ıfica con a = 8.
∫ 1000 e−^0 ,^8 x^ dx = 1000
∫ e−^0 ,^8 x^ dx = 1000 · (^) −^10 , 8 · e−^0 ,^8 x^ + C = − 1250 e−^0 ,^8 x^ + C.
En el pen´ultimo paso se ha calculado la integral mediante la f´ormula espec´ıfica siendo a = − 0 ,8.
- Ejemplo de c´alculo de una funci´on a partir de su derivada, con el dato adicional de una condici´on inicial.
Dada la funci´on de coste marginal de la producci´on de x unidades de un bien, C′(x) = 0, 2 x + 3, calcule la funci´on de coste total sabiendo que el coste de producir 10 unidades es 90 euros.
La funci´on de coste total se halla integrando su derivada, que es el coste marginal dado.
C(x) =
∫ C′(x) dx =
∫ (0, 2 x + 3) dx = 0 ,^2 x
2 2
O sea, la funci´on de coste total es C(x) = 0, 1 x^2 + 3x + K Determinamos el valor de la constante K usando la condici´on de que el coste de producir 10 unidades es de 90 euros. Para x = 10 tenemos que C(10) = 0,1(10)^2 + 3(10) + K = 90. Es decir, 10 + 30 + K = 90, de donde K = 50. La funci´on de coste total es: C(x) = 0, 1 x^2 + 3x + 50
- Ejemplos de integrales que se calculan usando el m´etodo de integraci´on por partes.
La f´ormula de integraci´on por partes es
∫ u dv = u v −
∫ v du
- Queremos calcular la integral
∫ x · sen (x) dx. Usaremos el m´etodo de integraci´on por partes tomando u = x, dv = sen (x) [ u = x → du = dx dv = sen (x) dx → v =
∫ sen (x) dx = − cos(x)
]
Calculamos la integral. ∫ x·sen (x) dx = x·(− cos(x)) −
∫ − cos(x) dx = −x·cos(x)+
∫ cos(x) dx = −x · cos(x) + sen (x) + C
∫ (^3)
0
(2x + 1)^4 dx =
[ 1 2 ·^
(2x + 1)^5 5
] 3
0
[ (2x + 1)^5 10
] 3
0
=^7
5 10 −^
10 =^
10 = 1680,^6
∫ (^4)
2
(x − 3)^6 dx =
[ (x − 3)^7 7
] 4
2
= (4^ −^ 3)
7 7
− (2^ −^ 3)
7 7
=^1
− −^1
∫ (^9) 5
(x − 7)^3 dx =
[ (x − 7)^4 4
] 9
5
= (9^ −^ 7)
4 4
− (5^ −^ 7)
4 4
=^16
∫ (^3)
2
4 x − 7 dx^ = 5
∫ (^3)
2
4 x − 7 dx^ = 5·
[ 1
4 ·^ Ln^ |^4 x^ −^7 |
] 3
2
4 Ln (5)^ −^
4 Ln (1)
)
4 Ln (5)^ '^2 ,^012 Hemos tenido en cuenta que Ln (1) = 0
∫ (^1) 0
e−^0 ,^5 x^ dx =
[ 1
e−^0 ,^5 x
] 1
0
[ − 2 e−^0 ,^5 x
] 1 0 =^ −^2 e
− 0 , (^5) − (− 2 e (^0) ) = − 2 e− 0 , (^5) + 2 ' 0 , 787
- Ejemplo de integral de una funci´on a trozos.
Se considera la funci´on f : [1, 5] −→ IR, definida por:
f (x) =
{ x^2 si 1 ≤ x ≤ 3 x + 6 si 3 < x ≤ 5
Calcule las integrales: a)
∫ (^2)
1
f (x) dx b)
∫ (^5)
1
f (x) dx Soluci´on:
a)
∫ (^2)
1
f (x) dx =
∫ (^2)
1
x^2 dx =
[ x^3 3
] 2
1
3 −^
3 = 2,^33
b)
∫ (^5) 1
f (x) dx =
∫ (^3) 1
f (x) dx +
∫ (^5) 3
f (x) dx =
∫ (^3) 1
x^2 dx +
∫ (^5) 3
(x + 6) dx =
[ x^3 3
] 3
1
[ x^2 2 + 6x
] 5
3
)
) −
) =^26 3
+ 20 =^86
- Ejemplo de c´alculo de ´area.
Calcule el ´area del recinto determinado por la curva y = x^2 + 2, las rectas verticales x = − 2 , x = 2 y el eje de abscisas. Soluci´on: Observamos que la funci´on es positiva, ya que x^2 + 2 > 0. Por tanto, el ´area es: ∫ (^2) − 2
(x^2 + 2) dx =
[ x^3 3
] 2
− 2
( 23 3
) −
( (−2)^3 3
)
) −
) =^8 3
+ 4 +^8
+ 4 =^16
+ 8 =^40
= 13,33 unidades cuadradas.
