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14. Teoría especial de la relatividad
El concepto de movimiento es fundamental en la física, no obstante es poco evidente lo que queremos decir al hablar del movimiento. Desde la época de Galileo se han estudiado los movimientos de los cuerpos., Newton definió sus leyes de movimiento en términos de “movimiento absoluto”, lo cual significa el cambio de posición con respecto a algún sistema de coordenadas fijo. Sin embargo esta no es la idea central de Newton en sus leyes de movimiento, que son válidas en cualquier sistema inercial de referencia es decir en un sistema de reposo o movimiento rectilíneo uniforme. Podemos definir un sistema inercial como un sistema que se esta moviendo a velocidad constante respecto a un sistema fijo “absoluto”, pero si se tiene una clase de sistemas inerciales de referencia, basado en las leyes de Newton, no es necesario particularizar un sistema y llamarlo sistema fijo.
En mecánica, lo que siempre se observa es el cambio de posición de un cuerpo con respecto a otro cuerpo, donde no existe forma de observar directamente el movimiento de un cuerpo con respecto a un sistema “absoluto” inmaterial de referencia. Sin embargo el estudio de la luz parece sugerir un posible sistema de referencia. Los físicos del siglo XIX, al descubrir que la luz se comporta como una onda y sabiendo que todas las demás ondas son perturbadas por algún medio material en el que viaja la onda, se preguntaron cual es la naturaleza del medio en el que la luz viaja a través del espacio aparente vacío. El medio fue denominado éter lumnífero y obviamente debía tener propiedades extraordinarias. Para entender la idea de estos científicos es necesario entender el siguiente ejemplo: el sonido es el resultado de un perturbación mecánica la cual necesita de un medio para propagarse, como puede ser el aire, el agua o incluso un sólido como puede ser un metal, sin estos medios el sonido no puede percibirse de ninguna otra forma.
Pues bien, el éter del que se hablaba como medio para poder propagarse la luz, no debía tener masa y no ofrecería resistencia a los cuerpos materiales, si además; el éter en sí no debía ser afectado al pasar por el los cuerpos materiales, tendría entonces todas las propiedades del sistema de referencia absoluto de Newton. La velocidad de una onda respecto a un medio dado depende solamente de las propiedades del medio y es independiente del movimiento de la fuente. Esto se supuso cierto también para una onda de luz, y a la velocidad de la luz en el espacio libre se asignó un valor constante c respecto al éter. Si la velocidad de la luz fuera medida con respecto a un cuerpo como la tierra, que se estaría moviendo a través del éter, el resultado debía diferir de c. Al medir la velocidad, respecto a la tierra, los rayos de luz moviéndose en diferentes direcciones, se podría en principio encontrar la “verdadera” velocidad de la tierra.
Estas teorías eran muy importantes ya consolidaban firmemente las teorías “absolutistas” de Newton; entonces la clave estaba en medir aquellas variaciones de velocidad de la luz con respecto al “éter”. Se hicieron diferentes tipos de mediciones con diferentes instrumentos sin llegar a un resultado satisfactorio. No fue hasta que en 1887, Albert Michelson y Edward Morley diseñaron un experimento para medir la velocidad de la Tierra con respecto al éter, una sustancia que se suponía que era el medio en que se propagaba la luz. Para ello dividieron un haz de luz en dos haces que se propagaban formando un ángulo recto y los hicieron interferir, formando un diagrama característico de franjas claras y oscuras. Si la Tierra (y por tanto el aparato) se moviera respecto al éter, la velocidad de los haces sería distinta, igual que la velocidad de un barco que va río arriba y después río abajo difiere de la de un barco que cruza el río. La diferencia de velocidades de los haces modificaría el diagrama de interferencia. Sin embargo, no se halló ninguna modificación.
Éste y otros fracasos en la detección del movimiento de la Tierra en el éter llevaron 18 años a mejorar y cambiar totalmente las teorías absolutistas de Newton con lo que se abandonaría la teoría del éter.
14.1 Teoría especial de la relatividad de Albert Einstein
La primera persona que entendió la relación entre el espacio y el tiempo fue Albert Einstein, desafió al sentido común al afirmar en 1905 que al movernos en el espacio también alteramos la razón con la que avanzamos hacia el futuro; es decir alteramos el propio tiempo. Esta idea fue presentada por Einsten en su teoría especial de la relatividad , esta teoría describe la manera en que el tiempo se ve afectado por el movimiento en el espacio a velocidad constante y también describe la relación entre masa y energía. Debemos tomar en cuenta que estas ideas fueron revolucionarias en su tiempo y abordarlas necesita un estudio previo de conceptos como la electrodinámica y un conocimiento de cálculo. Sin embargo estudiaremos los conceptos más básicos para poder comprender la relación intrínseca de espacio-tiempo con algunos ejercicios algebraicos muy simples, el postulado básico de la teoría de relatividad la cual sustenta todas las bases de esta se puede enunciar de la siguiente manera: Todas las leyes de la naturaleza son las mismas para todos los observadores, en el movimiento relativo rectilíneo uniforme; que mantienen las transformaciones que mantienen constante la velocidad de la luz. Podemos entender esto como el hecho de que la velocidad de la luz es invariante del sistema de referencia, es decir, las leyes físicas son invariantes, sin embargo los marcos de referencia cambian y eso los hace relativos, en función de la velocidad de uno con respecto a otro.
14.1.1 Espacio-Tiempo
Einstein concluyó que el espacio y el tiempo son las partes de un todo llamado espacio-tiempo. Para ello es necesario quitar el concepto de desplazarse por el “ tiempo”, por el concepto de desplazarse por el “espacio-tiempo”. Cuando estamos parados o sentados en la plaza tapatía estamos desplazándonos en el tiempo solamente(aparentemente), pero si empezamos a caminar es en el espacio., pero en todo momento es el tiempo, es decir espacio-tiempo. Hagamos la siguiente pregunta para entender esto ¿Qué le ocurriría al tiempo si viajáramos por el espacio a la rapidez de la luz?. La respuesta es que nuestro desplazamiento se llevaría a cabo totalmente en el espacio, sin avanzar...¡imagínate! en el tiempo, es decir seríamos tan eternos como la luz ya que viaja en el espacio y no en el tiempo y por tanto es eterna( Donde ¡únicamente! La luz tiene esta propiedad, de ahí el postulado de la relatividad).
14.1.4 Dilatación del tiempo
Uno de los principales motivos por el cual la relatividad es tan famosa es porque muy poca gente es capaz de comprender sus postulados, sobre todo a aquello que se refiere al tiempo, para medir el tiempo utilizamos relojes que pueden estar hechos con péndulos periódicos, con cuarzo o algún dispositivo electrónico capaz de medir intervalos. Supongamos que tenemos un reloj de luz, un tuvo con dos espejos en los extremos y un orificio en la parte central, si mandamos un rayo de luz por el orificio esta rebota infinitamente verticalmente, si el tubo tuviera una longitud de 300 000 Km la luz tardaría un segundo de un punto a otro.(Ver figura)
Espejo
Punto luminoso
Espejo
Ahora supongamos que este espejo vertical se encuentra en una nave espacial que viaja con una rapidez muy grande, nosotros vemos que el pulso luminoso viaja de un punto a otro no en forma vertical sino que en forma diagonal mas larga. Pero debemos recordar que según el postulado de Einstein la luz no puede viajar más rápido. Por lo tanto debe haber una transformación y no en la velocidad, sino en el tiempo para el observador, es decir ocurrió una dilatación en el tiempo del observador, recordemos que el tripulante de la nave no observa ningún cambio y su reloj de luz sigue viajando en línea vertical.
Tripulante(no hay cambio, lo observa en forma vertical)
Observador(Ve pasar la nave y observa un pulso en forma diagonal)
La dilatación del tiempo no es un fenómeno exclusivo del reloj de luz que supusimos, estos cambios se dan en cualquier otro caso. El tiempo es el mismo en el marco de referencia del movimiento, visto desde nuestro marco de referencia que transcurre más lentamente. Es decir, si podemos observar a los tripulantes de una nave veremos que su corazón late más lentamente y así también su reloj dentro de la nave. Sin embargo para ellos el tiempo es igual que si estuvieran en reposo, recordemos en el postulado que las leyes de la naturaleza son siempre las mismas. Analicemos esta dilatación poniendo la siguiente figura según el reloj de luz que se observa fuera de la nave:
ct Trayectoria de la luz ct 0 vista del observador fuera de la nave.
Espejos vt Espejos Espejos En pocisión 1 En posición 2 En pocisión 3
En la figura anterior se muestra como cambia el pulso luminoso de 1 a 2 y a 3, en trayectoria diagonal, observamos que t es el tiempo que tarda en ir de un pulso luminoso de un espejo a otro, v es la velocidad de la nave c es la velocidad de la luz y t 0 es el tiempo que tarda en ir de un punto luminoso de un espejo a otro medido desde un marco de referencia fijo al reloj de luz. Recordemos que vt, ct, y ct 0 son distancias(velocidad por tiempo). Si observamos la figura geométrica es un triángulo rectángulo, utilizando un “poquitín” de álgebra y trigonometría (teorema de Pitágoras) podemos deducir el tiempo que se dilata. Veamos: La hipotenusa es (ct), y los catetos son (vt y ct 0 ), recordemos el teorema de Pitágoras(“La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”) sustituimos con cuidado:
(ct)^2 =(vt)^2 +(ct 0 )^2 desarrollamos
c^2 t^2 = v^2 t^2 + c^2 t 02 Agrupamos (t^2 )
c^2 t^2 - v^2 t^2 = c^2 t 02 Factorizamos ( t^2 )
t^2 (c^2 – v^2 ) = c^2 t 02 quitamos(c^2 ) de (t 02 )
2 2 0
t
c
t c v
simplificamos la fracción
Es necesario mencionar que la velocidad de la luz es el límite de velocidad en el universo ya que no existe situación alguna donde las rapideces relativas de los objetos sean iguales o mayores a la de la luz. No es posible que ningún objeto viaje a la velocidad de la luz. Veremos por que esta limitación en la naturaleza. Digamos que tenemos un observador y mide la longitud de una nave espacial de alguna forma exacta, para ello ya había medido la longitud en reposo. Los objetos se contraen en la dirección de su desplazamiento, para ello tomemos la siguiente ecuación:
2
2
c
v
L =L −
La longitud inicial (izq.) difiere de la longitud que mide el observador a mayor velocidad(der.) Los objetos dentro de la nave permanecen invariantes, es decir no percibe que exista una diferencia que el observador si puede medir, al contraerse los objetos se contrae el espacio mismo, cuanto mayor sea la velocidad mayor es la contracción para el observador. Pongamos un ejemplo. Una nave espacial que lleva una regla de un metro en su interior, y un observador toma mediciones del metro que está en la nave(recordemos que el metro para el astronauta no sufre ningún cambio). Digamos que la nave viaja a una rapidez del 50% de la velocidad de la luz. Hacemos las sustituciones correspondientes para conocer la longitud que obtiene el observador; en nuestra ecuación. Sabemos que viaja a 0.5 c.
2
( 0. 5 )^2
c
c
L = m − 2
c
c
L = m − simplificamos c^2 L = 1 m 1 − 0. 25 L = 1 m 0. 75
L = 1 m( 0. 866 ) finalmente L = 0. 866 m= 86. 6 cm, es decir la contracción fue de alrededor de
13.4 cm. Hagamos el cálculo pero ahora a una velocidad del 99.5% de la rapidez de la luz. Tenemos el siguiente ¡resultado!:
L = 0. 099 m= 9. 98 cmes decir el aproximadamente el 10% de la longitud real.
14.1.7 Relación entre masa y energía
Para finalizar con el breve estudio de la relatividad restringida veremos ahora una de sus revelaciones más notables. Donde Einstein propone que la masa no es otra cosa que una forma de “energía condensada”. La energía de existencia se denomina energía en reposo y se denota con el símbolo E 0 , el símbolo E se utiliza generalmente para denotar la energía total de un sistema, como puede ser el caso de la suma de la energía potencial, energía calorífica, cinética, etc. La Cantidad de energía en reposo E 0 se relaciona con la masa a través de la ecuación más famosa de
este siglo. E 0 = mc^2 , donde m es masa del objeto también podemos llamarla masa en reposo o
m 0 y c es la velocidada de la luz. La energía en reposo también puede transformarse en cualquier otro tipo de energía como las demás. Un ejemplo es el caso cuando convertimos la energía en reposo de un cerillo en energía cinética de las moléculas de este cuando lo encendemos. En todas las reacciones químicas que ceden energía hay una pérdida notable de masa. Sólo en el caso de las reacciones nucleares como en la bomba atómica o en las reacciones termonucleares como es el caso de las que ocurren dentro del sol, la conversión de energía en reposo en energía cinética es considerablemente superior a la de las reacciones químicas, la disminución de la masa es alrededor de una diezmilésima parte. Esta disminución de la masa se lleva a cabo en el sol y otras estrellas en el proceso de fusión termonuclear que baña de energía al sistema solar y mantiene la vida en este planeta. La etapa actual de fusión termonuclear data de aproximadamente 5000 millones de años, y quedan reservas de otros 5000 millones de años. En nuestra vida diaria también es evidente el hecho de que la masa es energía y viceversa, por ejemplo un foco que
utilizamos diariamente, tiene mayor masa cuando está encendido que cuando está apagado, lo mismo una taza de café con agua caliente tiene mayor masa que una taza con agua fría, sólo que estos cambios son imperceptibles. La ecuación de Einstein da por resultado, que si una pequeñita cantidad de materia se convierte en energía, esta sería enorme, por ello el gran tiempo de vida de nuestro sol, que gracias a esta teoría se pudo coincidir con los cálculos geológicos de la tierra, ya que según las teorías de energía antiguas, ha estas fechas no tendríamos sol y la tierra resultaría más vieja que este. La relación entre masa y energía es un hecho, podemos mencionar la histórica carta que Einstein envío al presidente de estados unidos, advirtiéndole la terrible posibilidad de que los alemanes estaban por fabricar un arma de dimensiones catastróficas para la humanidad, según sus resultados. Y que irónicamente y tristemente Estados Unidos la utilizó contra Japón( La bomba atómica).
Para concluir; cabe mencionar que la teoría de la relatividad restringida imposibilita que un cuerpo pueda viajar a la velocidad de la luz. Para poder entender esto, podemos hacer como ejercicio en los ejemplos anteriores de dilatación del tiempo y de contracción de la longitud respectivamente sustituir el valor de v por el de c es decir que la velocidad v = c (que tenga una rapidez igual que la
luz) , por un lado tendremos en el radical: 1
2
2
2
c
c
c
v
es decir para la
dilatación del tiempo un denominador cero, lo cual la hace indeterminada o también infinita la expresión es decir un tiempo infinito o eterno lo cual sólo la luz tiene esa propiedad.
Si usamos este valor en la contracción de la longitud, veremos que será un producto con cero, el cual nos da cero, y esto quiere decir que la longitud del objeto o la contracción del espacio sería cero, ¡desaparecería su longitud!. Por otro lado la ecuación de Einstein también puede utilizarse en el cálculo de la energía cinética de un objeto, veamos:
2
2
2
2
mc
c
v
mc
Ec −
Tenemos el mismo factor como cociente, lo cual indica que si v =c la masa del objeto sería infinita. Estos resultados son sólo algunas de la teoría de la relatividad restringida de Einstein. Puedes consultar otras fuentes si este tema se te hizo interesante y conocer con más detalle esta interesantísima teoría física.
