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Dpto. Economía Financiera y Contabilidad
“MATEMATICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS”
TEMAS 4: “RENTAS DE TERMINOS CONSTANTES, ANUALES y FRACCIONADAS”
Prof. María Jesús Hernández García
4.0.-INTRODUCCION :
Generalmente, una renta, se entiende simplemente, como un conjunto
de capitales financieros, finito ó infinito numerable :
{ (C
1
, t
1
), (C
2
, t
2
),.., (C
j
, t
j
),..., (C
n
, t
n
)} , n € N (1)
Sin embargo, en Matemática Financiera, a estos conjuntos se le exigen,
una serie de propiedades, para poderlos considerar propiamente
“rentas financieras”.
4.1.-CONDICIONES,PROPIEDADESY ANOTACIONES :
1).-La existencia de una sucesión de capitales financieros.
2).- La existencia de un intervalo I = [ t o
, t
n
], particionado en
subintervalos I j
, (j=1,2,...,n), todos del mismo “tamaño” , de modo que
los vencimientos de los capitales financieros estén asociados a dichos
intervalos.
*Toda renta puede representarse en un esquema gráfico u horizonte
económico:
C
1
C
2
C
j-
C
j
C
j+1 …
C
n-
C
n
--------------------------------------------------------
t
0
t
1
t
2
... t
j-
t
j
t
j+
... t
n-
t
n
Siendo t j
εεεε I
j
, el vencimiento del capital de cuantía C
j
, (para todo j,
j=1,2,3…)
4.1.1.-DENOMINACION Y ANOTACIONES DE LOS COMPONENTES DE UNA
RENTA :
Término de la renta ó cuantía del capital financiero C
j
, (para
todo j, j=1,2,3,…)
Periodo de maduración: Cada uno de los subintervalos de tiempo
I
j
, (para todo j, j=1,2,3,…)
Origen de la renta: Extremo inferior del primer subintervalo I
1,
anotación, t
o
ó 0
Final de la renta: Extremo superior del intervalo I
n
, anotación
t
n
ó n
Duración: Tiempo que media entre el origen y el final : (n-0) = n.
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4.2.-VALORACION DE RENTAS
El problema más importante, a tratar, en la teoría de rentas es su
valoración, para ello, previamente hay que definir claramente sus
componentes y elegir una ley financiera de valoración.
4.2.1.-DEFINICIONES :
Se denomina valor actual de una renta, a la suma financiera del
valor de todos los capitales que la forman, referidos al momento
inicial t
o
y se anota, en principio, V
0
.
Se denomina valor final, si la valoración anterior, se realiza en t
n
,
es decir, en el momento final de la duración de la renta y se anota,
en principio, V
n
.
4.3.-CLASIFICACION DE LAS RENTAS
Las rentas se pueden clasificar atendiendo a distintos criterios, según
las características de los elementos que la integran :
1).- Según la naturaleza de los términos que definen la renta :
a) Rentas ciertas. Todos sus términos son capitales financieros ciertos
b) Rentas aleatorias. Cuando alguno de los términos (cuantía y/o
vencimiento), son aleatorios.
2).- Según la cuantía de los términos :
a) Rentas constantes: Todas las cuantías de los términos son iguales
entre sí C
1
= C
2
=...= C
n
= C. (Cuando, C = 1 u.m, es la renta
unitaria)
b) Rentas variables: Cuando las cuantías de sus términos no son
iguales, entre las más destacables :
La cuantía de los términos varía en progresión geométrica :
C
j
= q × C
j-
, para todo j, j = 1,2,3,...
La cuantía de los términos varía en progresión aritmética :
C
j
= p + C
j-
para todo j, j = 1,2,3,...
(Anotamos q y p las razones de la progresión geométrica y aritmética
respectivamente.
3).- Según el vencimiento de los términos:
a) Prepagables, los vencimientos de todos los términos, tienen lugar en
el extremo inferior, (inicio), del intervalo asociado.
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TEMAS 4: “RENTAS DE TERMINOS CONSTANTES, ANUALES y FRACCIONADAS”
Prof. María Jesús Hernández García
VALOR INICIAL : Suma Financiera de todos los términos de la
renta valorados en 0, con la ley financiera de capitalización
compuesta, a un tipo de interés efectivo anual i :
A
n i
= a(1+i)
+…+ a(1+i)
-j
+…+ a(1+i)
-n
= a [(1+i)
+…+(1+i)
-j
+…+(1+i)
-n
] =
= a (1+i)
[( 1 + (1+i)
+…+(1+i)
-j +
+…+(1+i)
-n+
) ] (1)
Sumando la progresión geométrica, que se encuentra entre los
corchetes, de n términos, el primero, c 1
=1 y de razón q = (1+i)
:
S
pg.
= c
1
[(1- ((1+i)
n
⁄ (1-(1+i)
) ] = [1- (1+i)
-n
/ 1-(1+i)
]
Sustituyendo este valor en (1) queda:
A
n i
= a (1+i)
[(1- (1+i)
-n
) /(1-(1+i)
)]= a [(1-(1+i )
-n
)/i ]
Expresión valor inicial: A
n i
= a [(1-(1+i )
-n
) /i ].
Valor inicial renta unitaria, cuando, a =1,
a
n i
= [(1- (1+i )
-n
) /i]
VALOR FINAL : Se obtiene capitalizando el valor inicial A
n i
desde 0, hasta n, es decir : S
n i
= A
n i
(1+i)
n
Esquema gráfico de la capitalización del valor inicial para obtener el
valor final de una renta :
(1+i)
n
A
n i
────────────► S
n i
0 1 2 ... j ... n
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Expresiónvalor final : S n i
= a [((1+i)
n
Valor final renta unitaria, siendo, a = 1:
s
n
i
= [(1- (1+i )
-n
) /i] (1+i)
n
= [((1+i)
n
4.4.1.-VALOR ACTUAL DE LA RENTA INMEDIATA, CONSTANTE,
PERPETUA, ANUAL Y POSPAGABLE
HORIZONTE ECONÓMICO:
a a ... a
T.A.E i ----- ---- ---- ---- --- ------------------→→→→
0 1 2 ... j ∞∞∞∞
EL VALOR INICIAL, es el paso al límite, cuando, n→∞, de A
n i
es decir, A
∞∞∞∞ i
= lim A
n i
n→→→→∞∞∞∞
Expresión valor inicial : A
∞∞∞∞ i
= lim A
n i
= a (1/ i).
n→→→→∞∞∞∞
Valor inicial renta unitaria: a = 1 y a
∞∞∞∞ i
= 1/ i.
4.5.-VALORACION RENTA, INMEDIATA, CONSTANTE, TEMPORAL Y
PREPAGABLE DE n TERMINOS ANUALES
HORIZONTE ECONÓMICO:
a a a ... a … a
T.A.E i
0 1 2 ... j … n-1 n
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4.5.1.-VALOR INICIAL, RENTA INMEDIATA, CONSTANTE, PERPETUA,
ANUAL Y PREPAGABLE
HORIZONTE ECONÓMICO :
a a a ... a
T.A.E i ---- ---- ---- ------------------→→→→
0 1 2 ... j ∞∞∞∞
VALOR INICIAL :
Ä
∞∞∞∞ i
= (1+i) A
∞∞∞∞ i
= a (1+i) (1/i) = a [1 + (1/ i)]
Expresión valor inicial : Ä
∞∞∞∞ I
= a [1 + (1/ i)]
Valor inicial renta unitaria , a = 1 y ä
∞∞∞∞ i
= 1 + (1/ i)
4.6.-RENTA DIFERIDA h PERIODOS ANUALES, CONSTANTE, TEMPORAL Y
POSPAGABLE DE n TERMINOS ANUALES”
HORIZONTE ECONÓMICO :
a a ... a ... a
T.A.E i ---------------->>>>------------------------
0 1 2 ... h h+1 h+2 ... h+j ... h+n
VALOR INICIAL:
1ª)Nos situamos en h y calculamos el valor inicial de la renta
inmediata constante, temporal y pospagable de n términos anuales,
A
ni
, este valor tiene vencimiento en h, con lo cuál hay que
actualizarlo hasta 0 multiplicándolo por (1+i)
-h
Esquema gráfico de la capitalización del valor inicial en h, para
obtener el valor inicial en 0 de una renta diferida:
(1+i)
-h
h/ A
n i
◄───── A
ni
a a ... a ... a
T.A.E i
0 1 2 ... h h+1 h+2 ... h+j ... h+n
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2ª) El valor inicial, es, el de la renta, resultante de transformar la
renta diferida, que estamos estudiando, en la renta financieramente
equivalente, inmediata, constante, temporal y pospagable, de n
términos anuales ä, siendo, ä = a (1+ i)
-h
.
HORIZONTE ECONÓMICO:
ä ä ... ä ä ä … ä
T.A.E i -------------->>>>-----------------------
0 1 2 ... h h+1 h+2 … h+j ... h+n
Es importante observar, que la relación entre h, (diferimiento) y n
(número de términos), puede ser cualquiera, n ≤ h ó n> h y que, en
ambos planteamientos, la expresión del valor inicial, evidentemente,
tiene que ser la misma:
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VALOR INICIAL :
1ª) Nos situamos en h y calculamos el valor inicial de la renta
inmediata constante, temporal y prepagable, de n términos anuales :
Ä n i ,
este valor tiene vencimiento en h, con lo cuál hay que actualizarlo
hasta 0 multiplicándolo por (1+ i)
-h
.
2ª) El valor inicial, es, el de la renta financieramente equivalente,
inmediata constante temporal y prepagable de término, a’ = a (1+ i)
-h
Expresión valor inicial:
h/ Ä
n i
= (1+i)
-h
Ä
n i
= (1+i)
-h
(1+i) a [ (1-(1+i)
-n
)/ i ] =
= (1+ i)
-h
(1+i) A
n i
VALOR FINAL: Lo obtenemos capitalizando el valor inicial, h/
Ä
n i
, desde 0, hasta h+n:
h/
S
n i
= (1+i)
h+n
( h/Ä
n i
=(1+i)
h+n
(1+i)
-h
(1+i) a [1- (1+i)
-n
/i]= (1+1)
n
Ä
n i
S
n i
“RENTA DIFERIDA h PERIODOS ANUALES, CONSTANTE,
PERPETUA, ANUAL Y PREPAGABLE”
Horizonte económico :
a a a ... a ...
T.A.E i ---------------->>>>------------------------>>>>
0 1 2 ... h h+1 h+2 ... h+j ... ∞∞∞∞
VALOR INICIAL:
h/ Ä
∞∞∞∞ i
= lim (h / Ä
n i
) = (1+ i)
-h
(1+i) a (1/i) =
n→ →→
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= (1+i)
-h
Ä
∞∞∞∞ i
= (1+i)
-h
a (1 + (1/i))
