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COMBINATORIA
La Combinatoria estudia las diferentes formas en que se pueden realizar la ordenación o
agrupamiento de objetos siguiendo determinadas reglas.
Lo primero que hemos de tener claro son las respuestas a las siguientes preguntas:
- ¿Intervienen en los agrupamientos todos los elementos?
- ¿Se pueden repetir los elementos en las distintas agrupaciones?
- ¿Interviene el orden en las distintas agrupaciones?
Según sean las respuestas a las anteriores preguntas clasificaremos las agrupaciones en: VARIACIONES ORDINARIAS VARIACIONES CON REPETICIÓN PERMUTACIONES PERMUTACIONES CON REPETICIÓN COMBINACIONES
VARIACIONES ORDINARIAS de m elementos tomados de n en n. (^) V
n m Son las distintas ordenaciones que se pueden formar con m elementos de modo que: Cada agrupación sea de n elementos distintos Dos sean distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de los mismos.
V =^ m ·( m^ −^1 )·( m −^2 ).........( m − n +^1 )
n m
Ejemplo: En una final olímpica en la que participan 8 atletas, de cuántas maneras se pueden repartir el primer, segundo y tercer puesto.
8 · 7 · 6
3
V 8 = =^336
VARIACIONES CON REPETICIÓN de m elementos tomados de n en n. (^) VR
n m Son las distintas ordenaciones que se pueden formar con m elementos de modo que: Cada agrupación sea de n elementos repetidos o no Dos sean distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de los mismos.
VR m
n n m =
Ejemplo: Combinaciones distintas (de 1-X-2) que pueden resultar en una quiniela de 15 partidos.
15 15
VR 3 = = 14.348.
PERMUTACIONES de n elementos. (^) Pn
Son las distintas ordenaciones de un conjunto de n elementos; siendo los n elementos distintos.
Pn = n^!
Ejemplo: Vocablos de 11 letras que pueden formarse con las letras de la palabra PERMUTACIÓN.
P 11 =^11 !=^11 ·^10 ·9·8·7·6·5·^ 4·3·2·1 =^39916800
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN de n elementos de los cuales algunos se repiten.
PR
abc n
, ,
Son las distintas ordenaciones de un conjunto de n elementos; de los cuales hay a , b y c
elementos iguales.
a b c
n
PR
abc n =
Ejemplo: Vocablos de 11 letras que pueden formarse con las letras de la palabra MATEMÁTICAS.
1663200 2 !·3!·2!
PR 11 = =
COMBINACIONES de m elementos tomados de n en n. (^) C
n m Son las agrupaciones de n elementos tomados de un conjunto de m elementos; todos distintos y sin tener en cuenta el orden.
n!·(m-n)!
m! n
m
C
n m =
Ejemplo: En un equipo de baloncesto de 9 jugadores en plantilla. ¿Cuántos equipos titulares distintos podrían salir a jugar?
C^ = =^126
PROBLEMAS
1) Maneras de sentarse 3 personas en una fila de 6 asientos.
2) Maneras de sentarse 6 personas en una fila de 6 asientos.
3) Maneras distintas de ponerse en fila 9 personas.
4) Maneras distintas de ponerse en fila 9 personas atendiendo únicamente a la edad y teniendo en cuenta
que son 2 niños, 3 adultos y 4 ancianos.
5) Palabras de 6 signos que pueden formarse con el alfabeto Morse.
6) De cuántas maneras podemos elegir 2 asignaturas optativas de entre 5.
7) Con las letras de la palabra SANTANDER. ¿Cuántas palabras de 4 letras distintas se pueden
formar? ¿Y con las 9 letras?
8) De las palabras del ejercicio anterior cuántas empiezan y terminan en vocal.
9) Luis no recuerda el teléfono de Ana, sólo sabe que tiene un 1, un 3, un 5, un 7, un 8 y un 9. ¿Cuántas
llamadas tendría que hacer para localizar a Ana con toda seguridad?
10) A una reunión asisten 17 personas y se intercambian saludos estrechándose las manos entre todos.
¿Cuántos saludos se intercambiarán?
11) En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por 3 alumnos. ¿Cuántos comités
diferentes se pueden elegir?
12) Una heladería tiene helados de 15 sabores. ¿Cuántos cucuruchos de 3 sabores diferentes se pueden
hacer?
¿Se consideran en todas las agrupaciones
todos los elementos de que disponemos?
¿Pueden repetirse
los elementos?
¿Pueden repetirse
los elementos?
PERMUTACIONES VARIACIONES
VARIACIONES
CON REPETICIÓN
PERMUTACIONES
CON REPETICIÓN
RESUMEN
SI INTERVIENE EL ORDEN:
ALGUNOS (o todos los)
ELEMENTOS
TODOS LOS ELEMENTOS
Sin Repetir Variaciones Permutaciones
Repetidos (o
no)
Variaciones con Repetición
Permutaciones con
Repetición
NO INTERVIENE EL ORDEN: Combinaciones.
PROCEDIMIENTO
¿Interviene el Orden?
COMBINACIONES
