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Evalúe las integrales en los problemas 1 a 100.

Capítulo 7 Problemas diversos 571

PROBLEMAS DIVERSOS

572 CAPÍTULO 7 Técnicas de integración

101. Encuentre el área de la superficie generada al rotar la curva

y
cosh x, 0 x 1, alrededor del eje x.

102. Encuentre la longitud de la curva y
     e −x , 0 x 1.
103. a) Encuentre el área de la superficie generada al rotar la

curva y
e −x , 0 x t, alrededor del eje x. b) Encuentre

104. a) Encuentre el área de la superficie generada al rotar la

curva y
1 yx, 1 x t, alrededor del eje x. b) Encuentre

105. Encuentre el área de la superficie generada al rotar la curva

y =

x^2 − 1, 1 x 2, xalrededor del eje x.

108. Use la fórmula de reducción del problema 107 aquí y del

problema 54 en la sección 7.3 para evaluar

109. Encuentre el área acotada por la curva y 2
     x 5 (2 − x), 0 x 2. [Sugerencia: sustituya x
     2 sen 2 θ; luego use el resultado del problema 58 de la sección 7.3.]

luego aplique los resultados del problema 110 para con- cluir que

Por lo tanto 3.1412 < π < 3.1421.

112. Encuentre la longitud de la curva y
     x 5 y 4 , 0 x 1.
113. Encuentre la longitud de la curva y
     x 3 y 4 , 1 x 4.
114. Un tanque inicialmente vacío, tiene la forma de un cono cuyo eje es vertical. Su vértice está abajo; el cono tiene 9 ft de hondo y radio superior mide 4.5 ft. Comenzando en el tiempo t
     0, se vierte agua en el tanque a razón de 50 ft 3 /min. Al mismo tiempo, sale el agua por un aguje- ro en el fondo del tanque a una tasa de 10 ft cúbicos por minuto, donde y es la profundidad de agua en el tan- que. (Esto es congruente con la ley de vaciado Torricelli.) ¿Cuanto tiempo tarda el tanque en llenarse?
115. a) Evaluar

b) Explique por qué la sustitución en el inciso a) basta para integrar cualquier función racional de e x .

116. a) La ecuación x 3
     • x + 1
       0 tiene al menos una raíz real r. Use el método de Newton para encontrarla con una precisión de dos decimales. b) Use la división larga para encontrar (aproximadamente) el factor cuadrático irreduci- ble de x 3

• x + 1. c) Use la factorización encontrada en el inciso b) para evaluar (aproximadamente)

117. Evaluar
118. La integral

requiere resolver 11 ecuaciones con 11 incógnitas si usa el método de fracciones parciales para evaluarla. Use la susti- tución u
x 4

• x 2 para una evaluación más sencilla.

119. Evaluar

[Sugerencia: primero sustituya u
tan θ. Luego sustituya u
x 2

. Por último, use el método de fracciones parciales; vea el problema 48 de la sección 7.7.]

120. Pruebe que si p(x) es un polinomio, entonces la sustitución u n
     (ax + b)y(cx + d) transforma la integral

p(x)

ax + b

cx + d

1 /n d x

en la integral de una función racional de u. (La sustitución indicada se llama sustitución de racionalización; su nom- bre viene del hecho de que convierte el integrando en una función racional de u.)

En los problemas 121 a 129, use la sustitución de racionaliza- ción indicada en el problema 120 para evaluar la integral.

121. x 3

3 x − 2 dx 122. x 3 3 x^2 + 1 dx