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T E M A 1 T R A C C I Ó N , C O MT E M A 1 T R A C C I Ó N , C O M P R E S I Ó N Y E S F U E R Z OP R E S I Ó N Y E S F U E R Z O
C O R T A N T E .C O R T A N T E.
INTRODUCCIÓN
La construcción de una nueva máquina se realiza bien por su necesidad actual bien por su necesidad futura.
El proceso de construcción de una máquina puede descomponerse en cuatro fases:
Diseño en el que se lleva a cabo la concepción de la máquina capaz de adaptarse en principio a las exigencias que se le plantean. Es una fase creativa en la que el ingenio y la experiencia son precisos. Es quizás la fase mas ilusionante del proceso pues el autor/es responden al reto que se les ha presentado.
Proyecto en el que se realizan los cálculos y dimensionamientos precisos que permiten el funcionamiento continuado y sin problemas de la máquina. Es la fase mas técnica ya que en ella se aplican un conjunto de normas y métodos, adquiridos mediante el estudio y la experiencia. En esta fase al autor/es se les exige una formación integral en los aspectos técnicos y agronómicos que deben caracterizarle.
Construcción en esta fase una vez terminado el diseño y realizados los cálculos necesarios para un funcionamiento racional de la máquina se procede a la construcción de la misma. Para que esta fase se desarrolle de forma adecuada es preciso que el autor tenga además de una buena formación en cuanto a materiales y a sus características de uso un elevado nivel de conocimientos de tecnología de taller, de las máquinas herramientas y de su utilización correcta.
Ensayo con el se hace una comprobación de los principios usados en la concepción de la máquina, de los materiales seleccionados en su construcción, de su funcionamiento y de las características de su funcionamiento.
Es interesante señalar que la idea concebida inicialmente en la mayoría de los casos es muy distinta del modelo construido pues al realizar el proyecto surgen condicionantes diversas que originan modificaciones y perfeccionamientos que hacen incluso aparecer varias soluciones. Imperativos normalmente económicos y de tiempo obligan a adoptar la solución que parezca mas preferible.
El diseño de una máquina consiste en la aplicación de una combinación de principios científicos y experimentales que rara vez aportan soluciones correctas al primer intento, lo que pone al proyectista en situaciones incomodas, y es que la concepción de una máquina al igual que puede ofrecer cotas de satisfacción inenarrables puede ser causa de profundas decepciones. Quizás es esta una de las causas del interés que los ingenieros muestran por este tipo de trabajos.
Para ser un buen proyectista de máquinas es preciso conocer:
- La resistencia de materiales para que sus análisis sean irreprochables.
- Las propiedades de los materiales empleados para la construcción de los elementos de las máquinas.
- Los procesos de fabricación.
- Las ofertas del mercado (catálogos, precios,....).
- Las condiciones de trabajo de las maquinas a diseñar.
Además es preciso tener :
- Sentido estético.
- Conocimientos de economía y de calculo de costes de funcionamiento de las máquinas.
- Capacidad inventiva.
- Intuición creadora.
- Juicio.
- Sensibilidad
- Capacidad de predicción.
En general la idea que se tiene de un inventor es la de que pone en juego su imaginación y crea un nuevo diseño. Esto es cierto pero es conveniente saber que para crear una máquina se hace uso de ideas ya conocidas a las que se saca provecho.
Es importante señalar antes de terminar este apartado de introducción que para llegar a una determinada máquina hay un autentico proceso de evolución en el que de forma paulatina y ordenada, respondiendo a las necesidades surgidas con el uso, se producen mejoras que constituyen avances.
A modo de consejo una referencia a una máxima muy antigua pero de gran valor para el ingeniero proyectista " si la teoría y la práctica no concuerdan, es que hay algún error "
Por último, una aclaración de gran interés profesional para el proyectista de máquinas: El proyecto de máquinas incumbe al Ingeniero ya que por sus principios, por sus aplicaciones y por su campo de trabajo es el profesional mas cualificado para un diseño adecuado. Este juicio, contrario a otros sesgados en sus principios, debe estar presente en cuantas personas cursen esta materia en una escuela de Ingeniería, para de esta forma impedir la invasión de profesionales advenedizos que existen en esta profesión.
ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACIÓN
Son ambos dos conceptos fundamentales que pueden entenderse con el siguiente ejemplo. Sea una barra prismática cargada con fuerzas axiales F en sus extremos según aparece en la figura siguiente.
Una barra prismática es un elemento con multitud de aplicaciones en máquinas que se caracteriza por presentar una sección transversal constante en toda su longitud.
L
m
n m
n
F
F
F
σ σ
Figura 1.- Barra prismática sometida a tensión
En el caso que nos ocupa dicha barra se dice que está sometida a una tensión por el hecho de que las fuerzas axiales producen en ella una deformación.
Para analizar las acciones internas que aparecen en la barra prismática originados por las fuerzas axiales se considera la sección que aparece al efectuar un corte imaginario en la sección mn perpendicular al eje longitudinal de la barra. A esta sección se le denomina sección transversal. Se separa la porción de la barra situada a la derecha del corte considerándola un cuerpo libre.
La carga F actúa en el extremo derecho, mientras que en el lado izquierdo se aparecen fuerzas que se distribuyen de manera continua sobre la sección transversal que sustituyen a la acción sobre el tramo izquierdo de la barra prismática.
La intensidad de la fuerza , o lo que es lo mismo la fuerza por unidad de superficie se denomina
esfuerzo, fatiga o tensión y se denota por la letra griega σ (sigma).
Si se supone, lo cual es lógico, que el esfuerzo tiene una distribución uniforme sobre la sección transversal, es evidente que si A es el área de la sección transversal se tendrá que :
A
F
σσ ==
Ecuación que representa el esfuerzo, fatiga o tensión uniforme en una barra prismática de sección transversal con forma cualquiera cargada axialmente.
Cuando la barra se tensa bajo la acción de las fuerzas F, los esfuerzos resultantes se denominan tensiones de tracción ; si el sentido de las fuerzas se invierte se origina una compresión de la barra apareciendo los denominados tensiones de compresión.
Dado que σ actúa en dirección perpendicular a la superficie de corte se le conoce también como esfuerzo normal o tensión normal. Mas adelante se encontrara otro tipo de esfuerzos que actúan paralelos a la superficie de corte que se denominaran esfuerzos cortantes.
Tradicionalmente a las tensiones de tracción se les da signo positivo y a las de compresión signo negativo.
Las unidades de tensión, esfuerzo o fatiga normal σ son unidades de fuerza divididas por unidades de superficie. En el S.I. vendrá dado por N/m^2 o Pascales. Sin embargo como el Pascal es una unidad tan pequeña se suele utilizar el Mpa (Megapascal) que equivale a 106 Pascales o 1 N/mm^2. Es frecuente medir el esfuerzo normal en Kp/cm^2 para ello F debe medirse en Kp y la superficie de la sección de corte en cm^2.
Para que la ecuación A
F
σσ = = sea correcta es
imprescindible que σ esté uniformemente distribuido en la sección transversal a la barra. Esta condición solo se cumple cuando F esta aplicada en el c. de g. de la sección Cuando esto no ocurre se originan flexiones en la barra y el cálculo es más complejo como se verá mas adelante. Por ahora se considerará que F está aplicada en el centro de gravedad de la sección transversal y es normal a ella.
Una barra axialmente cargada sufre una variación en su longitud alargándose o acortándose según esté sometida a tracción o a compresión. Sea δ la variación total de longitud y sea L la
representado por D en el diagrama. El valor de la tensión en este punto se denomina esfuerzo último.
A partir de D el alargamiento posterior de la barra se acompaña de una reducción en la carga hasta que se llega al punto E del diagrama denominado punto de fractura. En el punto E en la barra se aprecia una importante contracción lateral con notable disminución de la sección transversal. Este fenómeno se conoce con el nombre de estricción.
El área utilizada para la obtención del diagrama anterior es el de la sección nominal. A lo largo del ensayo las reducciones de sección que aparecen son tan pequeñas que apenas hay variación entre la tensión nominal y la tensión real. En la zona de endurecimiento por deformación ( CD en la figura ) y en la de estricción las variaciones de sección son mas acusadas y si se representa en el diagrama la curva real de esfuerzo deformación la forma es como la que se presenta en la línea trazos.
Como se observa en el diagrama real el material en si sigue soportando carga pero la importante disminución de la sección origina la forma de la curva que parece indicar que deja de soportar carga cuando realmente no es así.
La figura siguiente representa a escala el diagrama tensión - deformación de un acero.
El análisis de este gráfico ofrece la siguiente información:
MPa 560 420
280 140
0 0'05 (^) 0'1 0'15 0'2 0'25 0'
A,B
C
D E
Figura 3 .- Diagrama tensión - deformación a escala de un acero de bajo contenido en carbono.
Las deformaciones de O hasta A son tan pequeñas que resultan prácticamente inapreciables con lo que la línea de unión es vertical.
La zona de fluencia aparece de forma súbita, pues en la gráfica el punto A coincide con el B.
Desde B hasta C aparece claramente una zona plástica. Cuando esta zona se presenta se dice que los materiales son dúctiles.
Desde C hasta D se aprecia claramente la zona de endurecimiento por deformación.
Desde D hasta E se aprecia claramente la zona de estricción.
Pero no todos los materiales se comportan de forma similar al acero bajo en carbono. Así por ejemplo el aluminio presenta un diagrama como el que se ofrece en la figura siguiente. En el se observa, al no existir el tramo BC, que el aluminio es un material poco dúctil.
MPa 280
210
140
70
0 0'05 0'1 0'15 0'2 0'
A,B,C
Figura 4 .- Diagrama tensión - deformación del aluminio.
En el diagrama característico del caucho se observa que desaparecen en su totalidad todas las zonas que se definieron anteriormente.
σ σ
εε
MPa 21
14
7
0 2 4 6 8
caucho duro
caucho suave
Figura 5 .- Diagrama tensión - deformación de dos tipos de caucho.
Se define elongación como el porcentaje de variación de la longitud que permite un determinado material antes de su rotura.
Su cálculo se realiza mediante la expresión :
- 100 Longitudinicial
Longitudenrotura-longitudinicial Elongación=
Los materiales cuya elongación es reducida se denominan frágiles , algunos ejemplos los constituyen el vidrio, el hormigón, el hierro fundido, los materiales cerámicos... y aquellos en los que es alta se denominan dúctiles.
Los diagramas tensión deformación en compresión tienen formas diferentes a los de tracción. Los materiales dúctiles en la zona de comportamiento lineal poseen límites de compresión muy próximos a los de tracción.
σσ
ε ε
MPa 560
420
280
140
0 0'2 0'4 0'6 0' Figura 6 - Diagrama tensión - deformación del cobre a compresión.
Los materiales frágiles presentan un diagrama como el que se presenta en la figura siguiente:
MPa 1120 840
560 280
0 0'005 0'01 0'015 0'02 0'
Compresión
Tracción
Figura 7 .- Diagrama tensión deformación a compresión del hierro fundido.
Las tablas que se presentan al final del tema ofrecen algunas propiedades de materiales de interés para la construcción de máquinas.
ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD.
Los diagramas tensión deformación permiten estudiar el comportamiento de un determinado material cuando se somete a la acción de una carga estática es decir de una carga que aumenta de forma muy lenta. La pregunta que cabe hacerse es la de qué sucede cuando la carga se retira lentamente y el material se descarga.
Supongamos que al aplicar una carga a un material la curva tensión - deformación que sigue es la que se presenta en la zona (a) de la figura siguiente. El diagrama sigue durante la carga la línea O - A - B - C. Si en un determinado ensayo se considera el material en la posición A y se retira lentamente la carga y el material sigue exactamente la misma curva para regresar a O, se dice entonces que el material es elástico y a esta propiedad se llama elasticidad.
La curva tensión-deformación no tiene porque ser lineal para que un material pueda ser elástico.
Si se supone el material en el punto B de la zona (b) figura siguiente al descargarlo el material
sigue la línea BD. Cuando alcanza el punto D, la carga ha desaparecido por completo pero en el material persiste una deformación que se denomina alargamiento residual.
A B C A^ B^ C
D E (^0) elástico plástico (^) Deformación residual (^) Recuperación elástica
en carga
en descarga
en carga
en descarga
0
a b Figura 8 .- Comportamiento elástico (a). Comportamiento parcialmente elástico (b)
De la deformación total OE una parte la DE se recuperó elásticamente mientras que la OD persiste de forma permanente. Es por ello que se dice que el material es parcialmente elástico.
Cuando una barra se somete a una carga relativamente pequeña aparece en ella un alargamiento. Si se retira la carga y la barra vuelve a su longitud inicial, se dice que esta trabajando en la zona elástica. Si se repite la acción incrementado progresivamente el valor de la carga se observa que llega un valor de la tensión a partir del cual la barra no vuelve a su longitud inicial. La tensión o esfuerzo a partir del cual la barra pierde su elasticidad se conoce con el nombre de límite elástico del material.
El limite elástico suele ser ligeramente superior o muy cercano al limite de proporcionalidad. Hay casos como el acero, en los que ambos valores prácticamente coinciden y otros, como el caucho en los que el limite elástico es mucho mas elevado que el limite de proporcionalidad.
La característica de un material que le permite soportar deformaciones inelásticas superiores al limite elástico se denomina plasticidad y en la curva tensión-deformación se manifiesta porque aparece una región elástica seguida de una plástica.
Cuando se dan grandes deformaciones en un material dúctil cargado en la región plástica se dice que el material experimenta un flujo plástico.
Al obtener la curva tensión - deformación, no se consideró el tiempo de duración de la carga aplicada. Ocurre que si la duración de la carga aplicada es suficientemente grande, y aparecen deformaciones permanentes que se mantienen al eliminar la acción, se dice que el material fluye. Este proceso se denomina relajación del material y
V
∆∆V
e =
Por lo que :
.(1 - 2.)= (1-2. νν )
σσ εε νν E
e =
La magnitud e se denomina deformación volumétrica.
ESFUERZO CORTANTE Y DEFORMACIÓN
ANGULAR
Hasta ahora solo se han estudiado barras sometidas a esfuerzos axiales, los cuales actúan perpendicularmente a las secciones transversales a ellas. Otro tipo de esfuerzo o tensión se da cuando las cargas actúan paralelas a la superficie de la sección transversal y se denomina esfuerzo cortante.
Un claro ejemplo de elemento de máquina sometido a esfuerzo cortante es el que se presenta en el bulón de la figura siguiente:
m n
p (^) q
m p
n
q
m p
n q
V
V
F (^) F
(a) (b)
(c)
Figura 11 .- Elemento sometido a esfuerzo cortante.
Bajo la acción de las cargas F aparecen en el elemento tensiones o esfuerzos según se presenta en (b) de la figura anterior. Las tensiones o esfuerzos pueden ser sustituidos por cargas V de valor igual a F/2. Los esfuerzos o tensiones cortantes sobre la sección mn vienen dados por la fórmula :
A
V
ττ =
Siendo τ el denominado esfuerzo cortante , V = F/2 y A la superficie de la sección transversal. Como V es una fuerza y A una superficie las unidades de los esfuerzos o tensiones cortantes son las mismas que las de las tensiones o esfuerzos axiales es decir Pascales en el S.I..
Es importante destacar que los esfuerzos cortantes no solo aparecen en elementos de máquinas con montajes sólo como los anteriores,
también aparecen en piezas sometidas a tracción, flexión, torsión ..., como se verá mas adelante.
Para obtener una idea clara de este importante concepto considérese el elemento de material de dimensiones ∆X, ∆Y, ∆Z que se presenta en la figura siguiente.:
Z
Y
X
Y
Z
X
a
d c
b
c
a b
d
π/2−γ π/2−γ π/2+γπ/2+γ
τ τ ττ
ττ
ττ
Figura 12 .- Esfuerzo cortante y deformación angular.
Si en las caras perpendiculares a los ejes XX y
YY existe un esfuerzo cortante de valor τ, el equilibrio según el eje XX obliga a que exista en cada par de caras paralelas el mismo esfuerzo cortante.
El valor de la fuerza en la cara superior será τ.∆ X.∆Z que estará equilibrada en la cara inferior con una fuerza de igual módulo pero de sentido contrario.
Estas dos fuerzas generan un par respecto al eje ZZ de valor τ.∆X.∆Y.∆Z, por lo que la pieza no gire tiene que haber otro momento igual y de sentido contrario que evidentemente será el debido al esfuerzo cortante sobre las caras perpendiculares como las superficies son iguales los esfuerzos cortantes en caras perpendiculares son iguales.
Por ello se puede asegurar que los esfuerzos cortantes en caras paralelas y en caras perpendiculares son iguales.
Cuando en una sección solo actúan esfuerzos cortantes y no hay tensiones axiales se dice que se trata de un esfuerzo cortante puro.
Bajo la acción de esfuerzos cortantes los elementos se deforman dando lugar a deformaciones angulares o deformaciones por cortante como aparece en la figura anterior.
El ángulo en los vértices d y b toma por valor π/
- γ y en los vértices a y c toma por valor π/2 + γ. El ángulo γ se denomina deformación angular y se mide en radianes.
Igual que se obtienen los diagramas tensión - deformación en piezas sometidas a cargas axiales,
también se obtienen diagramas esfuerzo cortante - deformación. Para ello se someten las barras a torsión.
Los diagramas que se obtienen son semejantes a los ya presentados.
El tramo inicial del diagrama esfuerzo cortante - deformación es una línea recta análoga a la del esfuerzo axial - deformación, por lo que, de forma semejante, puede establecerse la ley de Hooke para esfuerzo cortante, cuya expresión tiene la forma :
ττ =G. γ γ
Expresión en la que τ es el esfuerzo cortante en Pascal, γ es la deformación angular en radianes y G es el denominado módulo de elasticidad a esfuerzo cortante también llamado módulo de rigidez.
Las unidades de G son las mismas que las de E.
Los valores característicos de G en materiales de interés en la construcción de máquinas para la agricultura se presentan en tablas anejas al final de este tema.
La relación entre E y G se obtiene mediante la ecuación :
E
G = ⇒
E
G ≈≈
Esta ecuación indica que los valores de E, G y ν no son independientes sino que en cada material están interrelacionados. La obtención de esta ecuación se hará en el tema correspondiente a torsión.
EFECTO COLUMNA
Cuando una barra prismática trabaja a tracción sometida a una carga axial la fatiga, tensión o esfuerzo que se produce en ella se calcula mediante la expresión:
A
P
σσ = =
Siendo:
σ = tensión. P = carga. A = sección transversal
Ocurre que, cuando la barra trabaja a compresión y es suficientemente esbelta, surgen tensiones mucho más elevadas y para su cálculo se utilizan ecuaciones empíricas como la de Euler, dada por:
2
2 max i
L
C• •E•A
F
ππ ==
Siendo:
Fmáx = carga crítica. C = constante función del empotramiento de los extremos. E = módulo de elasticidad. A = sección transversal. L = longitud de la barra. i = radio de giro IA
I = momento de inercia de la sección transversal respecto al eje de flexión.
- En secciones circulares: i == ∅∅ 4 (∅ es el diámetro de la sección transversal).
- En secciones rectangulares: 6
h• 3 i == (h es
el lado más pequeño del rectángulo).
Cuando la esbeltez de la barra es reducida se aplica la fórmula empírica de Johnson, dada por:
4 • C• •E
i
• L
F • A• 12
2 y max y ππ
σσ σσ
Siendo:
σy = límite de fluencia del material.
La constante C toma los valores que se presentan en la figura siguiente:
C = 1/4 C = 1 C = 2 C = 4
Figura 13.- Valor de C según características de montaje de las barras.
σσ == ππ 2
σσ == 2546 ' 48 Kp/cm^2 == 249 ' 55 Mpa
La carga crítica de la columna considerada es:
2
2 max i
L
C• •E•A
F
ππ ==
Sustituyendo se tiene:
( ( ))^2
2 2 2 2 max 160
(^14) • • 205800 N/mm • • (^54) cm F
ππ ππ = =
Cargacrítica: 38947 N
ESFUERZOS PERMISIBLES.
La capacidad de un elemento de una máquina para resistir o transmitir cargas es evidentemente necesario conocerla para poder hacer su diseño y proyecto.
Para evitar fallos de funcionamiento es preciso que las cargas que puede soportar sean mayor que las solicitaciones a las que se someta durante el funcionamiento de la máquina de la que forma parte.
La capacidad de un elemento para soportar cargas se denomina resistencia , y la relación entre la resistencia real y la resistencia requerida se denomina coeficiente de seguridad.
resist. requerida
resist.real γγ s=
Está claro que γs debe ser mayor que 1 si se
desea impedir roturas o fallos de funcionamiento de la máquina.
La determinación de factores de seguridad no es tarea fácil, y va unida a factores tales como:
- Probabilidad de sobrecarga accidental.
- Tipos de cargas (estáticas o dinámicas).
- Precisión con que se conocen las acciones.
- Inexactitudes en la construcción.
- Calidad de fabricación.
- Variaciones en las propiedades de los materiales. - Factores adversos a la máquina (corrosión, otros efectos ambientales).
Altos valores de γs implican mayores gastos de construcción y menores riesgos de rotura. Valores bajos indican lo contrario.
TABLAS ANEJAS
Material
Peso específico γγ kN/m^3
Densidad de masa ρρ Kg/m^3 Aluminio Aleaciones de aluminio Latón Ladrillo Bronce Hierro fundido Concreto Cobre Vidrio Aleaciones de magnesio Niquel Nylon Hule Acero Piedra Granito Piedra caliza Mármol Cuarzo Titanio Tungsteno Madera Hierro forjado
26' 26- 82- 17- 80- 68- 23 87 24- 17- 87 11 9- 77
26 20- 26- 26 44 190 5.5-7' 72-
2710 2600- 8400- 1800- 8200- 7000- 2300 8900 2400- 1760- 8800 1100 960- 7850
2600 2000- 2600- 2600 4500 1900 480- 7400-
Tabla 1.- Pesos específicos y densidades de materiales
Material
Módulo de elasticidad E GPa
Módulo de elasticidad a cortante G GPa
Módulo de Poisson v Aluminio Aleaciones de Al. Latón Ladrillo (comp.) Bronce Hierro fundido Hierro gris Cobre Aleaciones de Mg. Niquel Nylon Hule Acero Piedra (comp.) Granito Piedra caliza Mármol Titanio Tungsteno Madera Hierro forjado
70 70- 96- 10- 96- 83- 97 110- 45 210 2.1-2. 0.0007-0. 190-
40- 20- 50- 110 340- 10- 190
26 26- 36-
36- 32- 39 40- 17 80
0.0002-0. 75-
40 140-
75
0.2-0.
0.33-0.
0.45-0. 027-0.
0.2-0. 0.2-0. 0.2-0.
Tabla 2.- Módulos de elasticidad y módulos de Poisson
Material
Esfuerzo de fluencia σσ (^) y MPa
Esfuerzo último σσ (^) u MPa Alumino Aleación de aluminio Latón Bronce Hierro fundido (tracción) Hierro fundido (compresión) Cobre Aleaciones de magnesio Niquel Nylon Hule Acero Alta resistencia Máquina Resorte Inoxidable Herramientas Acero estructural Alambre de acero Piedra (compresión) Granito Piedra caliza Mármol Titanio (puro) Aleaciones de titanio Tungsteno Madera Hierro forjado
20 35- 70- 82- 120-
330 80- 140-
1-
340-1. 340- 400-1. 280- 520 200- 280-1.
400 760-
40- 210
70 100- 200- 200- 69- 340-1. 380 140- 310- 40- 7-
550-1. 550- 700-1. 400-1. 900 340- 550-1.
70- 20- 50- 500 900- 1.400-4. 50- 340 Tabla 3.- Propiedades mecánicas
Material
Coeficiente de dilatación térmica αα 10 -6/ºC Aluminio y sus aleaciones Latón Ladrillo Bronce Hierro fundido Cocreto Cobre Vidrio Aleaciones de magnesio Niquel Nylon Hule Acero Piedra Titanio Tungsteno Hierro forjado
23 19.1-21. 5- 18- 9.9-12. 7- 16.6-17. 5- 26.1-28. 13 75- 130- 10- 5- 8-
12 Tabla 4.- Coeficientes de dilatación térmica
Tabla 5.- Centros de gravedad y momentos de inercia Notación: A = área. xG, yG = distancias al centro de gravedad. Ix, Iy = momentos de inercia con respecto a los ejes x e y respectivamente. Ip = Ix + Iy = momento polar de inercia.
Rectángulo (Origen de los ejes en el centroide).
h y 2
b A ==b•h xG == G==
h•b I 12
b•h I
3 y
3 x == ==
- (^ (h^ b )) 12
b•h Ip ==^2 ++^2
Triángulo
h y 3
b c x 2
b•h A (^) G G==
y^ ((^2 ))^2
3 x • b b•c c 36
b•h I 36
b•h I == == −− ++
Triángulo isósceles
h y 2
b x 2
b•h A == G == G==
h•b I 36
b•h I
3 y
3 x == ==
- (^ ( 4 • h b )) 144
b•h I (^) p ==^2 ++^2
(Nota: para un triángulo equilátero, 2
b h == 3 • .)
Triángulo rectángulo
h y 3
b x 2
b•h A == G == G==
h•b I 36
b•h I
3 y
3 x == ==
- (^ (h^ b )) 36
b•h I (^) p ==^2 ++^2
Círculo
**- d 4
4 x y
2 == ππ^2 == ππ == == ππ == ππ
- d I
4 p
π π = =
y
x y
x h
b
C
h
y (^) c x y b
C x
y
x
b
h x y B B
C
y
h x
B (^) b B
y
x C
y
r x
B B
C
d = 2r
