Ejercicios de Resistencia de Materiales: Tracción, Compresión, Flexión y Torsión, Apuntes de Ingeniería de Materiales

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RESISTENCIA DE MATERALES

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MECÁNICA TÉCNICA

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AUTORES; LUIS DELGADO LALLEMAND JOSÉ M. QUINTANA SANTANA

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Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Departamento de Ingeniería Mecánica

ULPGC.Biblioteca Universitaria

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Resistencia de Materiales

Resistencia de Materiales

Luis Delgado Lallemand José Manuel Quintana Santana Son profesores del Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Las Palmas

Nuestro agradecimiento a los colaboradores:

Orlando Domínguez Marrero Germán López Molina Antonio Rodríguez Hernández Enrique Colas Rocha J. Carlos Hernández Navarro. Francisco José Rodríguez Díaz Francisco Javier García García Roberto Julián Hernández Medina

índice

• 1. TRACCIÓN ÍNDICE - 1.1. ELASTICIDAD - 1.2. TRACCIÓN - 1.3. ENSAYO DE TRACCIÓN - 1.4. TRABATO DE DEFORMACIÓN O TRABATO ELÁSTICO
  • PESO PROPIO 1.5. TENSIÓN Y DEFORMACIONES EN LAS BARRAS TENIENDO EN CUENTA SU
    • DENTRO DE LA ZONA ELÁSTICA 1.6. DEFORMACIONES POR TRACCIÓN CON UNA CARGA INSTANTÁNEA
      • 1.7. DEFORMACIONES TRANSVERSALES
      • 1.8. EFECTOS DE LA TEMPERATURA.
      • 1.9. SOLIDOS DE IGUAL RESISTENCIA A LA TRACCIÓN.
      • 1.10. PROBLEMAS DE TRACCIÓN
      • 1.11. LAS ÁREAS NETAS EN LA TRACCIÓN
      • 1.12. TRACCIÓN POR CHOQUE
    • 1.13. PROBLEMAS DE RECAPITULACIÓN
• 2. COMPRESIÓN
     • 2.1. COMPRESIÓN
     • 2.2. ESTUDIO DEL SOLIDO DE IGUAL RESISTENCIA A LA COMPRESIÓN
     • ROTURA : 2.3. DEFORMACIONES PROVOCADAS POR LA COMPRESIÓN. CAUSA DE LA
     • 2.4. PROBLEMAS
     • 2.5. COMPRESIÓN DIAMETRAL
       • 2.6. PROBLEMAS - 2.7. C A R A C T E R Í S T I C A S DE LA COMPRESIÓN PURA Reástencia de Materiales - 2.&. CARGA CONCENTRADA EN LAS SECCIONES EXTREMAS - 2.8. PROBLEMAS - 2.9. PILARES DE HORMIGÓN ARMADO. - 2.10. PROBLEMAS
  • 3. CORTADURA - 3.1. CORTADURA - 3.2. VALORES DE LA TENSIÓN TANGENCIAL DE CORTADURA - 3.3. PROBLEMAS. - 3.4. DEFORMACIONES PRODUCIDAS POR LA CORTADURA - 3.5. TRABAJO ELÁSTICO EN LA CORTADURA - 3.6. REMACHES Y TORNILLOS DE UNION. GENERALIDADES - 3.6.1. FORMA DE TRABAJO - 3.6.2.3.6.2.1 CALCULO DE LAS UNIONES CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE UNIÓN - 3.6.2.1.13.6.2.1.2 Elemento de unión sometido a simple cortaduraElemento de unión sometido a doble cortadura - 3.6.2.23.6.2.2.1 FORMAS DE APUCACION DE-LAS CARGAS Unión con cargas centradas - 3.6.2.2.2 Unión con cargas excéntricas
• 4. FLEXIÓN - 4.1. FLEXIÓN SIMÉTRICA. GENERALIDADES - 4.1.1. HIPÓTESIS EN LA FLEXIÓN - 4.2. ESTUDIO DE LA FLEXIÓN SIMÉTRICA - 4.2.1. MÓDULOS RESISTENTES DE ALGUNAS SECaONES - 4.3. FLEXIÓN ASIMÉTRICA - 4.3.1. PROBLEMA: :
     • 4.4. RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO FLECTOR Y EL ESFUERZO CORTANTE.
     • 4.5. TEOREMA DE LOS ESFUERZOS CORTANTES
     • 4.6. FUERZAS QUE ORIGINAN LA CORTADURA
     • 4.7. FUERZAS TANGENCIALES EN LA FLEXIÓN
     • 4.8. EXPRESIÓN DE LA CORTADURA PARA EL CASO DEL HORMIGÓN

Resistencia de Materiales REPARTIDA A LO LARGO DE TODA LA VIGA 100 VIGA CON DOS VOLADIZOS SOMETIDA A DOS CARGAS CONCENTRADAS EN LOS EXTREMOS DE LOS VOLADIZOS 103 6.5. VIGA CON DOS VOLADIZOS IGUALES (a), Y SOMETIDA A DOS CARGAS CONCENTRADAS IGUALES (P) EN LOS EXTREMOS DE LOS VOLADIZOS 104 6.6. VIGA CON DOS voladizos SOMETIDA A UNA CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA SOBRE LOS MISMOS 105

61. VIGA CON DOS VOLADIZOS IGUALES, SOMETIDA A UNA CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA SOBRE LOS MISMOS 106 6.8. VIGA CON DOS VOLADIZOS IGUALES Y UNA CARGA UNIFORMEMENTE REPARTID A A LO LARGO DE TODA LA VIGA..; ..... 6.9. VIGA CON DOS VOLADIZOS IGUALES CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA A LO LARGO DE TODA LA VIGA, Y DOS CARGAS CONCENTRADAS IGUALES EN LOS EXTREMOS DE LOS VOLADIZOS... 109 6.10. BARRA SOMETIDA A UNA FUERZA P PARALELA A SU EJE CON UNA EXCENTRICIDAD e 109 6.11. VIGA SOMETIDA A UN PAR DE FUERZAS DE MOMENTO "m" EN EL PUNTO "C" 110 6.12. VIGA SOMETIDA A UN MOMENTO DE VALOR "m" EN EL APOYO B 111 6.13. VIGA SOMETIDA A DOS MOMENTOS mi Y mj EN LOS APOYOS A Y B (mi>m2) 111 6.14. PROBLEMAS 112

7. MÉNSULAS.. 119 7.1. MÉNSULA CON UNA CARGA CONCENTRADA EN SU EXTREMO 119 7.2. MÉNSULA CON DOS CARGAS CONCENTRADAS 120 7.3. MÉNSULA CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA 121 7.4. MÉNSULA CON CARGA SEGÚN UNA LEY TRIANGULAR 123 7.5. MÉNSULA CON UNA CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA Y UNA CARGA CONCENTRADA EN EL EXTREMO 125 7.6. PROBLEMAS 126 8. CARGAS MÓVILES SOBRE LAS VIGAS. 129

IV

^ índice VIGA APOYADA EN LOS EXTREMOS CON UNA CARGA MÓVIL 129 8.2. TREN DE CARGAS MÓVILES 132 8.3. SOLIDOS DE IGUAL RESISTENCIA A LA FLEXIÓN 137

9. DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN: " ELÁSTICA Y FLECHA" ....... 139 9.1. LINEAELASTICA 139 9.2. CALCULO DE LA ELÁSTICA Y FLECHA PARA UNA MÉNSULA CON CARGA CONCENTRADA EN EL EXTREMO 140 9.3. CALCULO DE LA ELÁSTICA Y LA FLECHA EN UNA MÉNSULA CON UNA CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA 141 9.4. CALCULO DE LA ELÁSTICA Y LA FLECHA PARA UNA VIGA APOYADA EN LOS DOS EXTREMOS CON CARGA conCENTRADA EN EL PUNTO CENTRAL.. 143 9.5. CALCULO DE LA ELÁSTICA Y LA FLECHA PARA UNA VIGA APOYADA EN LOS EXTREMOS CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTID A 144 9.6. CALCULO DE LA ELÁSTICA Y LA FLECHA PARA UNA MÉNSULA CON UNA CARGA SEGÚN UNA LEY TRIANGULAR 146 9.7. CALCULO DE LAS VIGAS EN FLEXIÓN ATENDIENDO A LA DEFORMACIÓN MÁXIMA .. **9.7.1. PROBLEMAS: „ 147

10. PANDEO**.. 155

10.1. PANDEO 155 10.2. VALORES ADMISIBLES DE LAS ESBELTECES DE LAS PIEZAS COMPRIMIDAS 157 10.3. MÉTODO DE CALCULO DE PIEZAS SOMETIDAS A PANDEO * 157 10.3.1. MÉTODO DE LOS COEnCIENTESu) 157 10.3.2. 10.3.2.1 ESTUDIO PARA PERFILES SIMPLES -l^'CASO.- (^161) 161 10.3.3. 10.3.2.2 ESTUDIO PARA PERFILES COMPUESTOS^ -2"'CASO.-^^161 163 10.3.3.1 - l ' C A S O 163 10.3.4. 10.3.3.Í2 UTILIZACIÓN DEL MÉTODO PARA BARRAS FORMADAS POR PERFILES SIMPLES^ -2''CASO:^^165 165 10.3.5. CALCULO DE BARRAS FORMADAS POR PERFE^S COMPUESTOS 166 10.4. FORMULAS DE EULER 167 10.4.1. LIMITES DE LA FÓRMULA DE EULER 169 ' 10.5. FORMULAS DE TEJMAJER Y ENGESSER 171 V

Capítulo 1

Resistencia de Materiales

Tracción

Tracción o Extensión Pues bien, se define como tensión específica de tracción la resultante de la fuerza de cohesión entre las moléculas dividido por el área de la sección de corte y se representa por a:

cr^E^L M. A • A (^) .cm

La tensión específica de tracción es una característica propia de cada material, y en los aceros de construcción españoles que se designan por A-37, A-42b y A-52.

Los valores son:

A-37 a«im= 1730 Kg/cm^

A-42b a«,™= 2600 Kg/cm^

A-52 a«i„= 3600 Kg/cm^

1.3. ENSAYO DE TRACCIÓN. Cuando realizamos con una probeta el ensayo de tracción en la máquina universal, obtenemos un diagrama de tal forma que en el eje de las abasas llevamos las deformaciones unitarias y en el eje de las ordenadas los valores, de las cargas P, que son directamente proporcionales a las tensiones, de acuerdo con la definición de o=P/A.

Tracción o Extensión Se verifica en la figura que: tag a = Pi/ei = P2/S2 = P3/S3 = ...= P/e tag a = ai/ei = 02/82 = 03/83 = ...= 0/ Por tanto: o = taga. y el valor de taga=Cte y o=Cte.8 y se define:

'ad E e Esta expresión constituye la Ley de Hooke, que es solamente válida hasta alcanzar el punto A de la gráfica y que llamamos límite de la zona OA, o zona elástica.

Tabla: Valores de E para distintos materiales MATERIAL E (Kg/cm^) Acero (0,15 - 0,30 % C)Acero (3-3.5% Ni) Hormigón (1:2:3,5)..;Fundición gris Madera pinoMadera de roble Aluminio, fundición (99 % Al).Latón (60 % Cu; 40 % Zn) Bronce (90 % Cu; 10 % Sn)Cobre

2,1 2. 1,051, 1,271. 0,70. 0.80.

1010 10^10* 10'10' 1010 1010

La L ^ de Hooke, se puede expresar de otras formas y por supuesto cada autor despeja cualquiera de los valores de la misma.

—^ p A = E-^

A I

En la fórmula de Hooke observamos que al ser E adimensional, la ecuación de dimensión de E, llamada Módulo de Young, o Módulo de elasticidad longitudinal es un valor propio de cada material, y su ecuación de dimensión es la misma que la de la tensión específica y por tanto se expresa en Kg/cm^, o en Cálculo de Máquinas en Kg/mm^. En la tabla anterior damos valores de E para distintos materiales. Por tanto, en la L ^ de Hooke, que solamente es aplicable en la citada zona elástica, o también llamada zona de proporcionalidad, las tensiones y deformaciones están ligadas proporcionalmente.

Tracción o Extensión

' /

-L A

/ / / / / /

1^ O-P^1 J

1

Al .

Para hacer el cálculo del trabajo de deformación consideremos una barra prismática, a la que se le coloca una carga de O a P Kgs en su ectremo libre y se tracciona, y se alarga Al. Considerando para una posición intermedia en la que se estire 2^ aplicando la ley de Hooke que:

P =

A 1 ^ 1

A E x

A- E A 1 = X

1 Si para dicha posición la tenemos que alargar dx, el trabajo realizado seria: d T = • • dx

e integrando „^ A i i fEAx,^ EA r Al. EA 1 = dx = X • dx = —

• ' 1 1 "' 1

X 2

EA A l '. E A

siendo P la fuerza extensora máxima tenemos: P - 1

T = EA 21 E^ • A^^ P^ A^P^ •

E - A

Al o^ — = — • V portanto ^ 2 • E • V

El trab^o o la energía elástica de deformación a la tracción por unidad de volumen es:

Tracción o Extensión Por tanto esta expresión nos indica que en cada unidad de volumen hay almacenada una energía elástica de valor o^/2E, que tiene una interpretación geométrica, observando el diagrama de tracción Considerando el área del.triángulo rayado de la figura, siendo A el límite de la zona elástica: S = — 1 .a.—= 2 B — 2

pero como s=a/E tenemos:

s=Al/l (^) E 2 2E Por tanto el área de dicho triángulo representa la energía elástica a la tracción por unidad de volumen. 1.5. TENSIÓN Y DEFORMACIONES EN LAS BARRAS TENIENDO EN CUENTA SU PESO PROPIO. Al estudiar el caso de la tracción de una barra, hemos considerado solamente el efecto producido por la carga extema gradual que colocamos de valor O a P. Si la longitud de la barra es importante, su propio peso puede producir una tensión adicional, a tener en cuenta. Consideremos la barra anterior, cortada por el plano mm', siendo y el peso específico del material tendremos:

W/ / / // /

r o - p

N' = P + A.x.Y

Por tanto la tensión es, por definición, en este caso: N' P + Axy

que es una fíinción lineal, por tanto haciendo x=l:

o =P + A.1.Y Naturalmente el valor mayor de la tensión a que trabíya dicha barra será en la sección más alta, es decir cuando x=l.

Basándonos en esta fórmula, y conocidos los valores de P, a, I y y podremos determinar la sección de seguridad: a A = P + A l - y ; A ( a - 1 - y) = P