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A
Respuestas a los ejercicios
con numeración impar
Capítulo 1
Sección 1.1, página 10
1. La solución es ( x 1, x 2 ) (8, 3), o simplemente, (8, 3). 3. (2, 1) 5. Remplazar la Fila 2 por su suma con (^) 4 por la Fila 3, y después sustituya la Fila 1 por su suma con 3 por la Fila 3. 7. El conjunto solución es vacío. 9. (16, 21, 14, 4) 11. Inconsistente 13. (5, 3, (^) 1) 15. Inconsistente 17. Los cálculos indican que el sistema es inconsistente, de manera que las tres rectas no tienen punto en común. 19. h 2 21. Para toda h. 23. Sugerencia: Marque un enunciado como verdadero solamente si siempre es verdadero. Dar aquí las respuestas sería frustrar la finalidad de las preguntas falso-verdadero, las cuales pretenden ayudarle a leer con cuidado el libro. 25. k (^) 2 g h 0 27. La reducción por filas de a b f c d g
a
a b f 0 d b. ca / g f. ca /
indica que d b. ca / debe ser diferente de cero, ya que f y g son arbitrarias. De otra forma, para algunas elecciones de f y g la segunda fila podría corresponder a una ecuación de la forma 0 q , donde q es diferente de cero. Por lo tanto, ad bc.
29. Intercambie las Filas 1 y 3; intercambie las Filas 1 y 3. 31. Remplace la Fila 3 por la Fila 3 (4)Fila 1; remplace la Fila 3 por la Fila 3 (4)Fila 1. 33. Sugerencia: Revise el problema de práctica 1 y después escriba una solución.
Sección 1.2, página 21
1. Forma escalonada reducida: a y b. Forma escalonada: d. No está en forma escalonada: c.
Columnas pivote 1 y 3:
x 1 D 5 3x (^2) x 2 #, + x 3 D 3
x 1 D 3 C 2x (^3) x 2 D 3 C 2x (^3) x 3 #, +
x 1 D 23 x 2 43 x (^3) x 2 #, + x 3 #, +
x 1 D 5 C 3x (^5) x 2 D 1 C 4x (^5) x 3 #, + x 4 D 4 9x (^5) x 5 #, +
15. a ) Consistente, con muchas soluciones. b ) Consistente, con muchas soluciones. 17. Para toda h. 19. a ) Inconsistente cuando h 2 y k 8. b ) Solución única cuando h 2. c ) Muchas soluciones cuando h 2 y k 8. 21. Sugerencia: Lea el texto con cuidado y escriba las respuestas. Recuerde, un enunciado es verdadero solo si es cierto en todos los casos. 23. Como hay cuatro pivotes (uno en cada columna de la matriz de coeficientes), la matriz aumentada se debe reducir a la forma 2 6 (^64)
1 0 0 0 a 0 1 0 0 b 0 0 1 0 c 0 0 0 1 d
y así,
x 1 D a x 2 D b x 3 D c x 4 D d
es libre. es libre.
es libre. es libre.
es libre.
es libre.
A18 Respuestas a los ejercicios con numeración impar
Sin importar los valores de a , b , c y d , la solución existe y es única.
25. Si la matriz de coeficientes tiene una posición pivote en cada fila, entonces existe una posición pivote en la fila inferior, y no hay lugar para un pivote en la columna aumentada. Así, de acuerdo con el teorema 2, el sistema es consistente. 27. Si un sistema lineal es consistente, entonces la solución es única si y solo si cada columna de la matriz de coeficientes es una columna pivote; de lo contrario, existe una infinidad de soluciones. 29. Un sistema subdeterminado siempre tiene más variables que ecuaciones. No pueden existir más variables básicas que ecua- ciones, así que al menos una variable es libre. A tal variable se le puede asignar una infinidad de valores distintos. Si el sistema es consistente, entonces cada valor diferente de una variable libre producirá una solución distinta. 31. Sí, un sistema de ecuaciones lineales con más ecuaciones que incógnitas puede ser consistente. El siguiente sistema tiene una solución ( x 1 x 2 1): x 1 C x 2 D 2 x 1 x 2 D 0 3x 1 C 2x 2 D 5 33. p ( t ) 1 3 t 2 t^2
Sección 1.3, página 32
9. x 1
(^5) C x 2
(^5) C x (^3)
5 D
11. No, b no es una combinación lineal de a 1 , a 2 y a 3. 13. No, b no es una combinación lineal de las columnas de A. 15. h 3. 17. Desde luego, son aceptables los pesos que no son enteros, pero algunas elecciones sencillas son 0 v 1 0 v 2 0 , y
1 1 C 0 2 D
5 ; 0 1 C 1 2 D
1 1 C 1 2 D
5 ; 1 1 1 2 D
19. Gen { v 1, v 2 } es el conjunto de puntos sobre la recta que pasa por v 1 y 0 , ya que v 2 es un múltiplo de v 1. 21. Sugerencia: Demuestre que
2 2 h 1 1 k
es consistente
para toda h y k. Explique qué indica este cálculo acerca de Gen { u , v }.
23. Sugerencia: Lea con cuidado toda la sección. Ponga especial atención a las definiciones y los enunciados de teoremas, y también a cualquier observación que aparezca antes o después de ellos. 25. a ) No, tres. b ) Sí, un número infinito c ) a 1 1 a 1 0 a 2 0 a 3 27. a ) 5 v 1 es la salida de 5 días de operación de la mina #1. b ) La salida total es x 1 v 1 x 2 v 2 , así que x 1 y x 2 deberían
satisfacer x 1 1 C x 2 2 D
c ) [ M ] 1.73 días para la mina #1 y 4.70 días para la mina #2.
29. (1714, (^) 34 14, 1614) (1714, (^) 17 7, 87) 31. a )
b ) Sume 3.5 g en (0, 1), sume 0.5 g en (8, 1), y sume 2 g en (2, 4).
33. Sugerencia: Revise el problema de práctica 1 y después escriba una solución.
Sección 1.4, página 40
1. El producto no está definido porque el número de columnas (2) en la matriz de 3 2 no concuerda con el número de entradas (3) en el vector. 3. a ) A D
D 2
5 C 3
D
5 C
5 D
5. x 1
(^5) C x 2
5 D
3x 1 2x 1 8x 1
5 C
5x 2 0 9x 2
5 D
3x 1 C 5x (^2) 2x 1 8x 1 9x 2
5 D
3x 1 C 5x 2 D 2 2x 1 D 3 8x 1 9x 2 D 8 En general, no se muestran los pasos intermedios.
7. D 2 D 2 2 D 2 3:5 D 3 4 Sí, cada vector en ^2 es una combinación lineal de u y v.
x 2
x 1
u – 2 v
–2 v
u – v
v
u u + v
A20 Respuestas a los ejercicios con numeración impar
15. Sean D
5 ; D
5 ; D
(^5). La solución de la
ecuación homogénea es x x 2 u x 3 v , el plano que pasa por el origen generado por u y v. El conjunto solución del sistema no homogéneo es x p x 2 u x 3 v , el plano que pasa por p paralelo al conjunto solución de la ecuación homogénea.
17. D
x 1 x 2 x 3
5 D
(^5) C x (^3)
(^5). El conjunto solución es la
recta que pasa por
(^5) , paralela a la recta que es el conjunto
solución del sistema homogéneo del ejercicio 5.
19. x a t b , donde t representa un parámetro, o
D
x 1 x 2
D
C t
o
x 1 D 2 5t x 2 D 3t
21. D C t. / D
C t
25. a ) A D A. C h / D A C A h D C D
b ) A h D A. / D A A D D
27. ( Argumento geométrico con base en el teorema 6 ) Como la ecuación A x b es consistente, entonces, de acuerdo con el teorema 6, su conjunto solución se obtiene trasladando el conjunto solución de A x 0. Así, el conjunto solución de A x b es un solo vector si y solo si el conjunto solución de A x 0 es un solo vector, y eso ocurre si y solo si A x 0 solamente tiene la solución trivial.
( Demostración con variables libres ) Si A x b tiene una solución, entonces la solución es única si y solo si no hay variables libres en el sistema de ecuaciones correspondiente, es decir, si y solo si toda columna de A es una columna pivote. Esto ocurre si y solo si la ecuación A x 0 tiene solamente la solución trivial.
29. a ) Cuando A es una matriz de 4 4 con tres posiciones pivote, la ecuación A x 0 tiene una variable libre y, por lo tanto, tiene soluciones no triviales. b ) Con tres posiciones pivote, A no tiene una posición pivote en cada una de sus cuatro filas. Según el teorema 4 de la sección 1.4, la ecuación A x b no tiene una solución para cada posible b. La palabra “posible” en el ejercicio significa que los únicos vectores considerados en este caso son los que están en ^4 , esto porque A tiene cuatro filas. 31. a ) Cuando A es una matriz de 3 2 con dos posiciones pivotes, cada columna es una columna pivote. Así, la ecuación A x 0 no tiene variables libres y, por consiguiente, no tiene solución no trivial. b ) Con dos posiciones pivote y tres renglones, A no puede tener un pivote en cada renglón. Así, de acuerdo con el teorema 4 de la sección 1.4, la ecuación A x b no puede tener una solución para cada posible b (en ^3 ). 33. Su ejemplo debería tener la propiedad de que la suma de las entradas en cada fila es cero. ¿Por qué? 35. Una respuesta: ^ D
37. Una respuesta es A^ D
. Si b es cualquier vector
que no es múltiplo de la primera columna de A , entonces el conjunto solución de A x b es vacío y, por lo tanto, no se puede formar al trasladar el conjunto solución de A x 0. Esto no contradice el teorema 6 porque este último se aplica cuando la ecuación A x b tiene un conjunto solución que no es vacío.
39. Suponga que A v 0 y A w 0. Entonces, como A ( v w ) A v A w, de acuerdo con el teorema 5(a) de la sección 1.4, A ( v w ) A v A w 0 0 0. Ahora, sean c y d escalares. Utilizando ambas partes del teorema 5, A ( c v d w ) A ( c v ) A ( d w ) cA v dA w c 0 d 0 0.
Sección 1.6, página 54
1. La solución general es p B 0.875 p S , con p S libre. Una solución de equilibrio es p S 1000 y p B 875. Empleando fracciones, la solución general se podría escribir como p B (78) p S , y una elección natural de precios podría ser p S 80 y p B 70. Solo la razón de precios es importante. El equilibrio económico no se altera por el cambio proporcional en los precios. 3. a ) ,564,%76,101) 76276)41/ $0 (4
^
^ $0
^ (4
b )
c ) [M] p CyE 30, p M 71, p S 100.
5. a ) ,564,%76,101)76276)41/ * $0 (4 4$052
^ *
^ $0
^ (4
^ 4$052
b ) Una solución es p A 7.99, p M 8.36, p S 14.65, y p T 10.00.
Distribución de la producción de: C y E Man. Serv. Salida Entrada Comprados por: C y E Man. Serv.
Distribución de la producción de: Agr. Man. Serv. Transp. Salida Entrada Comprados por: Agr. Man. Serv. Transp.
Respuestas a los ejercicios con numeración impar A
c ) +564+$76+101(76276(41/ ) #0 '4 4#052
^ )
^ #0
^ '4
^ 4#052
d ) Una solución es p A 7.81, p M 7.67, p S 15.62, y p T 10.00. La campaña ha beneficiado sobre todo al sector de servicios. 3 # 3 C 3 6 5 7! # 3 6 5 7 C 3 2 C 3 2 2 3 C 6 2 ! 2 3 3 C 3 2 ! " 16 0 C 13 5 2 4 10 35 C 374 2 4 ! 16 0 4 C 26 5 3 C 130 4 3 12 C 327 2
x 1 D x 3 40 x 2 D x 3 C 10 x 3 +5(4'' x 4 D x 6 C 50 x 5 D x 6 C 60 x 6 +5(4''
x 2 D 50 x 3 D 40 x 4 D 50 x 5 D 60
x 1 D 60 C x (^6) x 2 D 10 C x (^6) x 3 D 90 C x (^6) x 4 D x (^6) x 5 D 80 C x (^6) x 6 +5(4''
Para que el flujo sea no negativo, x 6 ≥ 10.
Sección 1.7, pág. 60
Justifique sus respuestas a los ejercicios 1 a 22.
1. Linealmente independientes. 3. Linealmente dependientes. 5. Linealmente independiente. 7. Linealmente dependiente. 9. a ) Ninguna h. b ) Para toda h. 11. h (^) 4. 13. Para toda h. 15. Linealmente dependientes 17. Linealmente dependientes 19. Linealmente independientes
(^75) y
27. Las cuatro columnas de la matriz A de 6 4 deben ser columnas pivote. De lo contrario, la ecuación A x 0 tendría una variable libre; en tal caso, las columnas de A serían linealmente dependientes. 29. A : Cualquier matriz de 3 2 cuya segunda columna es un múltiplo de la primera tendrá la propiedad deseada. B : Funcionará cualquier matriz de 3 2 con dos columnas diferentes de cero tales que ninguna de ellas sea múltiplo de la otra. En este caso, las columnas forman un conjunto linealmente independiente, y así la ecuación B x 0 solo tiene la solución trivial.
31. D
33. Verdadero, según el teorema 7. 35. Verdadero, de acuerdo con el teorema 9. 37. Verdadero. Una relación de dependencia lineal entre v 1 , v 2 y v 3 se puede ampliar a una relación de dependencia lineal entre v 1, v 2, v 3 y v 4 colocando un peso cero en v 4. 41. [ M ] Utilice las columnas pivote de A ,
B D
Otras elecciones son posibles.
43. [ M ] Cada columna de A que no es columna de B está en el conjunto generado por las columnas de B.
Sección 1.8, página 68
2a 2b
3. D
(^5) , solución única
5. ^ D
(^5) , no es única 7. a 5, b 6
9. D x (^3)
11. Sí, porque el sistema representado por [ A b ] es consistente.
13.
x 1
v
u
T ( v )
T ( u )
x 2
Reflexión a través del origen.
Distribución de la producción de: Agr. Man. Serv. Transp. Salida Entrada Comprados por: Agr. Man. Serv. Transp.
es libre
es libre
es libre
Respuestas a los ejercicios con numeración impar A
D
25. No es uno a uno, y no mapea ^4 sobre ^4. 27. No es uno a uno, pero mapea ^3 sobre ^2.
33. Sugerencia: Si e j es la j -ésima columna de In , entonces B e j es la j -ésima columna de B. 35. Sugerencia: ¿Es posible que m n? ¿Qué ocurre con m n? 37. [ M ] No. (Explique por qué). 39. [ M ] No. (Explique por qué).
Sección 1.10, página 86
1. a ) x 1
5 C^ x^2
5 D
5 , donde^ x^1 es el número
de porciones de Cheerios, y x 2 es el número de porciones de 100% Natural Cereal.
b )
x 1 x 2
D
- Mezcle 1.5 porciones
de Cheerios con 1 porción de 100% Natural Cereal.
3. a ) Debería mezclar 0.99 porciones de Mac and Cheese, 1. porciones de brócoli, y 0.79 porciones de pollo para obtener el contenido nutricional deseado.
b ) Debería mezclar 1.09 porciones de pasta integral y queso cheddar, 0.88 porciones de brócoli, y 1.03 porciones de pollo para lograr el contenido nutricional deseado. Observe que esta mezcla contiene significativamente menos brócoli, así que a ella le debería gustar más.
R D
I 1
I 2
I 3
I 4
5 D
! " D
I 1
I 2
I 3
I 4
5 D
R D
I 1
I 2
I 3
I 4
75 D
! " D
I 1
I 2
I 3
I 4
5 D
9. x k 1 M x k para k 0, 1, 2,..., donde
M D
y 0 D
La población en el 2012 (para k 2) es 2 D
11. a ) M^ D
b )! " 6 D
13. [ M ]
a ) Disminuye la población de la ciudad. Después de 7 años, las poblaciones son aproximadamente iguales, pero la población de la ciudad continúa disminuyendo. Después de 20 años, en la ciudad solo hay 417,000 habitantes (valor redondeado a partir de 417,456). Sin embargo, cada año parecen reducirse los cambios en la población. b ) La población de la ciudad se incrementa lentamente y disminuye la población suburbana. Después de 20 años, la población de la ciudad ha crecido de 350,000 a cerca de 370,000.
Capítulo 1 Ejercicios complementarios, página 88
1. a ) F b ) F c ) V d ) F e ) V f ) V g ) F h ) F i ) V j ) F k ) V l ) F m ) V n ) V o ) V p ) V q ) F r ) V s ) F t ) V u ) F v ) F w ) F x ) V y ) V z ) F 3. a ) Cualquier sistema lineal consistente cuya forma escalonada es 2 4
(^5) o
o
b ) Cualquier sistema lineal consistente cuya forma escalonada reducida es I 3. c ) Cualquier sistema lineal inconsistente de tres ecuaciones con tres variables.
5. a ) El conjunto solución: i. es vacío si h 12 y k 2; ii. contiene una única solución si h 12; iii. contiene una infinidad de soluciones si h 12 y k 2. b ) El conjunto solución es vacío si k 3 h 0; de lo contrario, el conjunto solución contiene una única solución.
A24 Respuestas a los ejercicios con numeración impar
7. a ) Sean 1 D
5 2 D
5 3 D
(^5) y
D
b (^1) b (^2) b (^3)
(^5). “Determine si v 1 , v 2 , v 3 generan ^3 ”.
Solución: No.
b ) Sea A D
(^5). “Determine si las columnas
de A generan ^3 ”. c ) Defina T ( x ) A x. “Determine si T mapea ^3 sobre ^3 ”.
9.
D
C
o
D
C
10. Sugerencia: Construya una “malla” sobre el plano x 1 x 2 determinada por a 1 y a 2. 11. Un conjunto solución es una recta cuando el sistema tiene una variable libre. Si la matriz de coeficientes es de 2 3, entonces dos de las columnas deberían ser columnas pivote.
Por ejemplo, tome
. Ponga lo que sea en la
columna 3. La matriz resultante estará en forma escalonada. Haga una operación de remplazo de filas sobre la segunda fila para crear una matriz que no esté en forma escalonada,
tal como
12. Sugerencia: ¿Cuántas variables libres hay en la ecuación A x 0?
13. E D
15. a ) Si los tres vectores son linealmente independientes, entonces a , c y f deben ser diferentes de cero. b ) Los números a ,..., f pueden tener cualesquiera valores. 16. Sugerencia: Liste las columnas de derecha a izquierda como v 1,..., v 4. 17. Sugerencia: Utilice el teorema 7. 19. Sea M la recta que pasa por el origen que es paralela a la recta que pasa por v 1, v 2 y v 3. Entonces, v 2 v 1 y v 3 v 1 están en M. De manera que uno de esos dos vectores es múltiplo del otro, por ejemplo, v 2 v 1 k ( v 3 v 1). Esta ecuación produce una relación de dependencia lineal: ( k (^) 1) v 1 v 2 k v 3 0. Una segunda solución: Una ecuación paramétrica de la recta es x v 1 t ( v 2 v 1). Como v 3 está sobre la recta, existe alguna t 0 tal que v 3 v 1 t 0 ( v 2 v 1) (1 (^) t 0 ) v 1 t 0 v 2. Así que v 3 es una combinación lineal de v 1 y v 2 , y { v 1 , v 2, v 3} es linealmente dependiente.
(^5) 23. a 4 5, b (^) 3 5
25. a ) El vector lista los números de apartamentos de 1, 2 y 3 recámaras cuando se construyen x 1 pisos del plan A.
b ) x 1
(^5) C x (^2)
(^5) C x (^3)
c ) [ M ] Utilice 2 pisos del plan A y 15 pisos del plan B. O bien, use 6 pisos del plan A , 2 pisos del plan B , y 8 pisos del plan C. Esas son las únicas soluciones factibles. Hay otras soluciones matemáticas, pero requieren un número negativo (o una fracción) de pisos en uno o dos de los planes, lo cual carece de sentido físico.
Capítulo 2
Sección 2.1, página 100
A 1 D
5 ; A 2 D
AB D
AB D
1 4 C 3.2/ 1.2/ C 3 3
2 4 C 4.2/ 2.2/ C 4 3
D
3 7 k D 2
11. AD D
5 DA D
La multiplicación por la derecha por D multiplica cada columna de A por la entrada diagonal correspondiente en D. La multiplicación por la izquierda por D multiplica cada fila de A por la entrada diagonal correspondiente en D.
13. Sugerencia: Considere que una de las dos matrices es Q.
17. 1 D
2 D
19. La tercera columna de AB es la suma de las primeras dos columnas de AB. He aquí por qué. Escriba B [ b 1 b 2 b 3]. Por definición, la tercera columna de AB es A b 3. Si b 3 b 1 b 2 , entonces A b 3 A ( b 1 b 2 ) A b 1 A b 2 , debido a una propiedad de la multiplicación matriz-vector. 21. Las columnas de A son linealmente dependientes. ¿Por qué? 23. Sugerencia: Suponga que x satisface A x 0 , y demuestre que x debe ser 0.
no está definida,
A26 Respuestas a los ejercicios con numeración impar
7. Invertible, de acuerdo con el IMT. La matriz se reduce por filas a 2 6 (^66) 6 4
y tiene cuatro posiciones pivote.
9. [ M ] La matriz de 4 4 tiene cuatro posiciones pivote, así que es invertible por el IMT.
11. Sugerencia: Intente responder las preguntas apoyándose en una cuidadosa lectura del texto.
13. Una matriz cuadrada triangular superior es invertible si y solo si todas las entradas de la diagonal son diferentes de cero. ¿Por qué?
Nota: Las respuestas que se muestran a continuación para los ejercicios 15 a 29 mencionan al IMT. En muchos casos, una parte o la totalidad de una respuesta aceptable también podría basarse en resultados que se emplearon para establecer el IMT.
15. No, porque el enunciado h ) del IMT entonces sería falso. Una matriz de 4 4 no puede ser invertible cuando sus columnas no generan ^4.
17. Si A tiene dos columnas idénticas, entonces sus columnas son linealmente dependientes. El inciso e ) del IMT indica que A no puede ser invertible.
19. D es invertible por el enunciado e ) del IMT. Así, la ecuación D x b tiene una solución para cada b en ^7 , de acuerdo con el enunciado g ) del IMT. ¿Podría agregar algo más?
21. La matriz C no puede ser invertible, de acuerdo con el teorema 5 de la sección 2.2 o según el párrafo después del IMT. Así, el enunciado g ) del IMT es falso y también lo es h ). Las columnas de C no generan n.
23. El enunciado g ) del IMT es falso para F , de manera que también es falso el enunciado d ). Es decir, la ecuación F x 0 tiene una solución no trivial.
25. Sugerencia: Primero utilice el IMT.
27. Sea W la inversa de AB. Entonces, ABW I y A ( BW ) I. Por desgracia, esta ecuación por sí misma no prueba que A es invertible. ¿Por qué no? Termine la demostración.
29. Como la transformación x A x es uno a uno, entonces el enunciado f ) del IMT es verdadero. También es verdadero el enunciado i ), y la transformación x A x mapea n^ sobre n. También, A es invertible, lo cual, de acuerdo con el teorema 9, implica que la transformación x A x es invertible.
31. Sugerencia: Si la ecuación A x b tiene una solución para cada b , entonces A tiene un pivote en cada fila (teorema 4 de la sección 1.4). ¿Podrían existir variables libres en una ecuación A x b?
33. Sugerencia: Primero demuestre que la matriz estándar de T es invertible. Entonces, utilice un teorema o más para demostrar
que T ^1 ( x ) B x , donde B
35. Sugerencia: Para demostrar que T es uno a uno, suponga que T ( u ) T ( v ) para algunos vectores u y v en n. Deduzca que u v. Para demostrar que T es sobre, suponga que y representa un vector arbitrario en n^ y utilice la inversa S para producir una x tal que T ( x ) y. Es posible dar una segunda demostración empleando el teorema 9 junto con un teorema de la sección 1.9.
37. Sugerencia: Considere las matrices estándar de T y U.
39. Si T mapea n^ sobre n , entonces, de acuerdo con el teorema 12 de la sección 1.9, las columnas de su matriz estándar A generan n. Según el IMT, A es invertible. Así, de acuerdo con el teorema 9, T es invertible, y A ^1 es la matriz estándar de T ^1. Como A ^1 también es invertible, entonces, según el IMT, sus columnas son linealmente independientes y generan n. Al aplicar el teorema 12 de la sección 1.9 a la transformación T ^1 se muestra que T ^1 es un mapeo uno a uno de n^ sobre n.
41. [ M ] a ) La solución exacta de (3) es x 1 3.94 y x 2 .49. La solución exacta de (4) es x 1 2.90 y x 2 2.00. b ) Cuando la solución de (4) se emplea como una aproximación para la solución de (3), el error al usar el valor de 2.90 para x 1 es aproximadamente del 26%, y el error al utilizar 2.0 para x 2 es de alrededor del 308%. c ) El número de condición de la matriz de coeficientes es 3363. El cambio porcentual en la solución de (3) a (4) es cerca de 7700 veces el cambio porcentual en el lado derecho de la ecuación. Este es el mismo orden de magnitud que el número de condición. Este último da una medida aproximada de qué tan sensible es la solución de A x b ante cambios en b. Información adicional sobre el número de condición se presenta al final del capítulo 6 y en el capítulo 7.
43. [ M ] cond( A ) 69,000, que está entre 10^4 y 10^5. Así que se pueden perder 4 o 5 dígitos de exactitud. Varios experimentos con MATLAB deberían comprobar que x y x 1 concuerdan a 11 o 12 dígitos.
45. [ M ] Algunas versiones de MATLAB emiten una señal de alerta cuando se pide invertir una matriz de Hilbert de orden cercano a 12 o mayor, empleando aritmética de punto flotante. El producto AA ^1 debería tener varias entradas fuera de la diagonal que están lejos de ser cero. Si no, intente con una matriz más grande.
Sección 2.4, página 121
A B
EA C C EB C D
C D
A B
5. Y B ^1 (explique por qué), X B ^1 A , Z C 7. X A ^1 (¿por qué?), Y BA ^1 , Z 0 (¿por qué?) 9. A 21 D B 21 B 11 ^1 A 31 D B 31 B 111 C 22 D B 22 B 21 B 11 1 B (^12) 13. Sugerencia: Suponga que A es invertible, y sea
A^1 D
D E
F G
. Demuestre que BD I y CG I.
Respuestas a los ejercicios con numeración impar A
Esto implica que B y C son invertibles. (¡Explique por qué!). Al contrario, suponga que B y C son invertibles. Para probar que A es invertible, indique cómo debería ser A ^1 y compruebe que su propuesta funciona.
15. GkC 1 D
X (^) k kC 1
^ X Tk TkC 1
D Xk X (^) kT C kC 1 TkC 1 D G (^) k C kC 1 TkC 1 Solo se necesita calcular el producto matricial exterior kC 1 TkC 1 (y después se suma a Gk ).
17. La inversa de
I
X
I
es
I
X
I
. De manera similar,
I
Y
I
tiene una inversa. De la ecuación (7), se obtiene I 0 X I
A 11 A 12
A 21 A 22
I Y
0 I
D
A 11 0
0 S
Si A es invertible, entonces la matriz del lado derecho de (*) es un producto de matrices invertibles y, por lo tanto, es invertible. De acuerdo con el ejercicio 13, A 11 y S deben ser invertibles.
19. W ( s ) Im C ( A sIn )^1 B. Este es el complemento de Schur de A sIn en la matriz del sistema.
21. a ) A 2 D
D
1 C 0 0 C 0
2 2 0 C .1/ 2
D
b ) M^2 D
A 0
I A
A 0
I A
D
A 2 C 0 0 C 0
A A 0 C .A/ 2
D
I 0
0 I
23. Si A 1 y B 1 son ( k 1) ( k 1) y triangulares inferiores,
entonces escriba A^1 D
a T A
y B^1 D
b T B
donde A y B son de k k y triangulares inferiores, v y w están en k , y a y b son escalares adecuados. Suponga que el producto de matrices triangulares inferiores de k k es una matriz triangular inferior, y calcule el producto A 1 B 1. ¿Qué se concluye?
25. Utilice el ejercicio 13 para encontrar la inversa de una matriz
de la forma B D
B 11 0
0 B 22
, donde B 11 es de p p , B 22
es de q q , y B es invertible. Particione la matriz A , y aplique dos veces su resultado para encontrar que
A^1 D
27. a ) , b ) Las instrucciones empleadas en estos ejercicios dependen del programa de matrices. c ) El álgebra requerida viene de la ecuación matricial por bloques A 11 0 A 21 A 22
D
1 2
donde x 1 y b 1 están en ^20 , y x 2 y b 2 están en ^30. Entonces, A 11 x 1 b 1, lo cual se puede resolver para
obtener x 1. La ecuación A 21 x 1 A 22 x 2 b 1 conduce a A 22 x 2 b 1 A 21 x 1 , de la que se puede obtener x 2 mediante reducción por filas de la matriz [ A 22 c ], donde c b 2 A 21 x 1.
Sección 2.5, página 129
L D ) D
5 U D ) D
D
5 D
5 D
5 ^ ^ D
LU D
U ^1 D
L^1 D
A^1 D
19. Sugerencia: Piense en aplicar reducción por filas a [ A I ]. 21. Sugerencia: Represente las operaciones de fila mediante una secuencia de matrices elementales.
23. a ) Denote las filas de D como transpuestas de vectores columna. Entonces, con la multiplicación matricial particionada se obtiene
A D CD D
1 ^4
T 1 :: : T 4
D 1 T 1 C C 4 T 4
b ) A tiene 40,000 entradas. Como C tiene 1600 entradas y D tiene 400 entradas, entonces juntas solo ocupan el 5% de la memoria necesaria para almacenar A.
Respuestas a los ejercicios con numeración impar A
p 3=2 0 0
p 3=2 1=2 0 0 0 0 1
19. El triángulo con vértices en (7, 2, 0), (7.5, 5, 0) y (5, 5, 0)
X
Y
Z
5 D
R
G
B
Sección 2.8, página 151
1. El conjunto es cerrado bajo sumas, pero no bajo multiplicación por un escalar negativo. (Bosqueje un ejemplo). 3. El conjunto no es cerrado bajo sumas o múltiplos escalares. 5. Sí. El sistema correspondiente a [ v 1 v 2 w ] es consistente. 7. a ) Los tres vectores v 1, v 2 y v 3. b ) Una infinidad de vectores. c ) Sí, porque A x p tiene una solución. 9. No, porque A p 0. 11. p 4 y q 3. Nul A es un subespacio de ^4 porque las soluciones de A x 0 deben tener cuatro entradas, para ajustar con las columnas de A. Col A es un subespacio de ^3 porque cada vector columna tiene tres entradas. 13. Para Nul A , elija (1, (^) 2, 1, 0) o (1, 4, 0, 1), por ejemplo. Para Col A , seleccione cualquier columna de A. 15. Sea A la matriz cuyas columnas son los vectores dados. Entonces, A es invertible porque su determinante es diferente de cero, y así sus columnas forman una base para ^2 , de acuerdo con el IMT (o con el ejemplo 5). (Se podrían dar otras razones para la invertibilidad de A ). 17. Sea A la matriz cuyas columnas son los vectores dados. La reducción por filas muestra tres pivotes, así que A es invertible. Según el IMT, las columnas de A forman una base para ^3. 19. Sea A la matriz de 3 2 cuyas columnas son los vectores dados. Las columnas de A posiblemente no puedan generar ^3 porque A no puede tener un pivote en cada fila. Así, las columnas no son una base para ^3. (Estas son una base para un plano en ^3 ). 21. Sugerencia: Lea la sección con cuidado, y escriba sus respuestas. Esta sección tiene términos y conceptos clave que debe aprender antes de seguir adelante. 23. Base para Col A :
Base para Nul A :
25. Base para Col A :
Base para Nul A :
27. Construya una matriz A de 3 3 distinta de cero, y construya b como una combinación lineal conveniente de las columnas de A. 29. Sugerencia: Se necesita una matriz distinta de cero cuyas columnas sean linealmente dependientes. 31. Si Col F ^5 , entonces las columnas de F no generan ^5. Puesto que F es cuadrada, el IMT indica que F no es invertible y la ecuación F x 0 tiene una solución no trivial. Es decir, Nul F contiene un vector diferente de cero. Otra manera de describir esto es escribir Nul F { 0 }. 33. Si Nul C { 0 }, entonces la ecuación C x 0 solo tiene la solución trivial. Como C es cuadrada, el IMT indica que C es invertible y la ecuación C x b tiene una solución para cada b en ^6. Además, cada solución es única de acuerdo con el teorema 5 de la sección 2.2. 35. Si Nul B contiene vectores diferentes de cero, entonces la ecuación B x 0 tiene soluciones no triviales. Como B es cuadrada, el IMT indica que B no es invertible y las columnas de B no generan ^5. Así, Col B es un subespacio de ^5 , pero Col B ^5. 37. [ M ] Muestre la forma escalonada reducida de A , y seleccione las columnas pivote de A como una base para Col A. Para Nul A , escriba la solución de A x 0 en forma vectorial paramétrica.
Base para Col A :
Base para Nul A :
Sección 2.9, página 157
D 3 1 C 2 2 D 3
C 2
D
ΠB D
ΠB D
9. Base para Col A :
(^75) ; dim Col A 3
A30 Respuestas a los ejercicios con numeración impar
Base para Nul A :
(^75) ; dim Nul A 1
11. Base para Col A :
(^75) ; dim Col A 2
Base para Nul A :
; dim Nul A 3
13. Los vectores v 1 , v 3 y v 4 forman una base para el subespacio dado, H. Así, dim H 3. 15. Col A ^4 , porque A tiene un pivote en cada fila, y así las columnas de A generan ^4. Nul A no puede ser igual a ^2 porque Nul A es un subespacio de ^6. Sin embargo, es cierto que Nul A es bidimensional. La razón es que la ecuación A x 0 tiene dos variables libres, porque A tiene seis columnas, y solo cuatro de ellas son columnas pivote. 19. El hecho de que el espacio solución de A x 0 tenga una base de tres vectores significa que dim Nul A 3. Como una matriz A de 5 7 tiene siete columnas, entonces el teorema del rango indica que rango A (^7) dim Nul A 4. 21. Una matriz de 9 8 tiene ocho columnas. De acuerdo con el teorema del rango, dim Nul A (^8) rango A. Como el rango es 7, entonces dim Nul A 1. Es decir, la dimensión del espacio solución de A x 0 es 1. 23. Cree una matriz A de 3 5 con dos columnas pivote. Las restantes tres columnas corresponderán a variables libres en la ecuación A x 0. De manera que sí es posible la construcción deseada. 25. Por definición, las p columnas de A generan Col A. Si dim Col A p , entonces el conjunto generador de p columnas automáticamente es una base para Col A , de acuerdo con el teorema de la base. En particular, las columnas son linealmente independientes. 27. a ) Sugerencia: Las columnas de B generan W , y cada vector a j está en W. El vector c j está en p^ ya que B tiene p columnas. b ) Sugerencia: ¿Cuál es el tamaño de C? c ) Sugerencia : ¿Cómo se relacionan B y C con A? 29. [ M ] Los cálculos deberían mostrar que la matriz [ v 1 v 2 x ] corresponden a un sistema consistente. El vector de B-coordenadas de x es (2, (^) 1).
Capítulo 2 Ejercicios complementarios, página 160
1. a ) V b ) F c ) V d ) F e ) F f ) F g ) V h ) V i ) V j ) F k ) V l ) F
m ) F n ) V o ) F p ) V
3. I 5. A^2 2 A I. Multiplique por A : A^3 2 A^2 A. Sustituya A^2 2 A I : A^3 2(2 A I ) A 3 A 2 I. Multiplique por A otra vez: A^4 A (3 A 2 I ) 3 A^2 2 A. Otra vez sustituya la identidad A^2 2 A I : A^4 3(2 A I ) 2 A 4 A 3 I.
11. a ) p.x (^) i / D c 0 C c 1 xi C C cn 1 x (^) in^1
fila i ( V )
c (^0) :: : cn 1
5 ^ fila i ( V c )^ ^ y^ i
b ) Suponga que x 1,…, xn son distintos y suponga que V c 0 para algún vector c. Entonces, las entradas en c son los coeficientes de un polinomio cuyo valor es cero en los distintos puntos x 1 ,…, x (^) n. Sin embargo, un polinomio diferente de cero de grado n (^) 1 no puede tener n ceros, así que el polinomio debe ser idénticamente cero. Es decir, todas las entradas en c deben ser cero. Esto muestra que las columnas de V son linealmente independientes. c ) Sugerencia: Cuando x 1 ,…, x (^) n son diferentes, existe un vector c tal que V c y. ¿Por qué?
13. a ) P 2 D. T^ /. T^ / D . T^ / T^ D .1/ T^ D P b ) P T^ D. T^ / T^ D T T^ T^ D T^ D P c ) Q 2 D .I 2P /.I 2P / D I I.2P / 2PI C 2P .2P / D I 4P C 4P 2 D I; 0. 15. La multiplicación por la izquierda por una matriz elemental produce una operación de fila elemental:
B E 1 B E 2 E 1 B E 3 E 2 E 1 B D C
Así, B es equivalente por filas a C. Como las operaciones de fila son reversibles, C es equivalente por filas a B. (Alternativamente, muestre a C que cambia a B mediante operaciones de fila empleando las inversas de las E (^) i ).
17. Como B es de 4 6 (con más columnas que filas), sus seis columnas son linealmente dependientes y existe una x diferente de cero tal que B x 0. Así, AB x A 0 0 , lo que indica que la matriz AB no es invertible, de acuerdo con el IMT. 19. [ M ] Con cuatro cifras decimales, conforme k se incrementa,
A k^!
B k^!
debido al inciso a ).
y
A32 Respuestas a los ejercicios con numeración impar
Siguiendo al teorema 8, divida entre det A ; esto produce la fórmula de la sección 2.2.
25. Una matriz A de 3 3 no es invertible si y solo si sus columnas son linealmente dependientes (de acuerdo con el teorema de la matriz invertible). Esto ocurre si y solo si una de las columnas está en el plano generado por las otras dos columnas, lo cual es equivalente a la condición de que el paralelepípedo determinado por esas columnas tiene volumen cero, lo cual, a la vez, equivale a la condición det A 0. 27. 24 29.^12 j^ &'6^ Œ^ 1 2 j 31. a ) Véase el ejemplo 5. b ) 4 p abc 3 33. [ M ] En MATLAB, las entradas en B inv( A ) son aproximadamente 10^15 o más pequeñas. 35. [ M ] La versión estudiantil 4.0 de MATLAB utiliza 57,771 flops para inv( A ), y 14,269,045 flops para la fórmula inversa. El comando inv(A) solamente requiere cerca del 0.4% de las operaciones para la fórmula inversa.
Capítulo 3 Ejercicios complementarios, página 185
1. a ) V b ) V c ) F d ) F e ) F f ) F g ) V h ) V i ) F j ) F k ) V l ) F m ) F n ) V o ) F p ) V
La solución del ejercicio 3 se basa en el hecho de que si una matriz contiene dos filas (o dos columnas) que son múltiplos entre sí, entonces, de acuerdo con el teorema 4, el determinante de la matriz es cero, ya que la matriz no puede ser invertible.
3. Realice dos operaciones de remplazo de filas, y después factorice un múltiplo común en las filas 2 y 3. ˇˇ ˇ ˇˇ ˇ
1 a b C c 1 b a C c 1 c a C b
D
1 a b C c 0 b a a b 0 c a a c
D .b a/.c a/
1 a b C c 0 1 1 0 1 1
D 0
7. Cuando el determinante se desarrolle por cofactores de la primera fila, la ecuación tiene la forma ax by c 0, donde al menos a o b no valen cero. Esta es la ecuación de una recta. Es claro que ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) están sobre la recta, porque cuando las coordenadas de uno de los puntos se sustituyen por x y y , dos filas de la matriz son iguales y, de esta forma, el determinante es cero.
9. T
1 a a 2 0 b a b 2 a 2 0 c a c 2 a 2
(^5). Así, de acuerdo con el
teorema 3,
&'6 T D .b a/.c a/ &'
1 a a 2 0 1 b C a 0 1 c C a
D .b a/.c a/ &'
1 a a 2 0 1 b C a 0 0 c b
D .b a/.c a/.c b/
11. Área 12. Si se resta un vértice de los cuatro vértices, y si los nuevos vértices son 0 , v 1, v 2 y v 3, entonces la figura trasladada (y por lo tanto, la figura original) será un paralelogramo si y solo si uno de los vectores v 1 , v 2 y v 3 es la suma de los otros dos vectores.
13. Según la fórmula inversa, .#&, A/
&'6 A
A D A^1 A D I.
Según el teorema de la matriz invertida, adj A es invertible
y .#&, A/^1 D
&'6 A
A.
15. a ) X CA ^1 , Y D (^) CA ^1 B. Ahora utilice el ejercicio 14 c ). b ) A partir del inciso a ), y de la propiedad multiplicativa de los determinantes,
A B
C D
D &'6 ΠA.D CA^1 B/
D &'6 ΠAD ACA^1 B
D &'6 ΠAD CAA^1 B
D &'6 ΠAD CB
donde la igualdad AC CA se aplicó en el tercer paso.
17. Primero considere el caso n 2, y demuestre que el resultado es válido mediante cálculo directo de los determinantes de B y C. Ahora, suponga que la fórmula es válida para todas las matrices ( k 1) ( k 1), y sean A , B y C matrices de k k. Utilice un desarrollo por factores a lo largo la primera columna y la hipótesis inductiva para obtener det B. En C aplique operaciones de remplazo de filas para generar ceros debajo del primer pivote y así producir una matriz triangular. Encuentre el determinante de esta matriz y súmelo a det B para obtener el resultado.
19. [ M ] Calcule: ˇˇ ˇˇ ˇ ˇ
D 1;
D 1;
D 1
Respuestas a los ejercicios con numeración impar A
Suposición: ˇ ˇˇ ˇˇ ˇ ˇˇ ˇ ˇˇ
1 2 3 : : : n
D 1
Para confirmar la suposición, utilice operaciones de remplazo de filas para generar ceros bajo el primer pivote, después bajo el segundo pivote, y así sucesivamente. La matriz resultante es ˇˇ ˇˇ ˇ ˇˇ ˇ ˇˇ ˇ
que es una matriz triangular superior con determinante 1.
Capítulo 4
Sección 4.1, página 195
1. a ) u v está en V porque sus entradas son no negativas.
b ) Ejemplo: Si D
y c 1, entonces u está en V ,
pero c u no está en V.
3. Ejemplo : Si D
y c 4, entonces u está en H , pero
c u no está en H.
5. Sí, de acuerdo con el teorema 1, porque el conjunto es Gen { t^2 }. 7. No, el conjunto no es cerrado bajo multiplicación por escalares que no sean enteros. 9. H Gen { v }, donde D
(^5). Según el teorema 1, H es
un subespacio de ^3.
11. W Gen { u , v }, donde D
5 D
(^5). Según el
teorema 1, W es un subespacio de ^3.
13. a ) Solo existen tres vectores en { v 1, v 2, v 3 }, y w no es uno de ellos. b ) Hay una infinidad de vectores en Gen { v 1 , v 2 , v 3}. c ) w está en Gen { v 1, v 2, v 3 } porque w v 1 v 2. 15. W no es un espacio vectorial porque el vector cero no está en W.
17. S D
19. Sugerencia: Utilice el teorema 1. 21. Sí. Evidentemente, se satisfacen las condiciones para un subespacio: la matriz cero está en H , la suma de dos matrices triangulares superiores es triangular superior, y cualquier múltiplo escalar de una matriz triangular superior es otra vez triangular superior. 25. 4 27. a ) 8 b ) 3 c ) 5 d ) 4
29. ^ C^ .1/ ^ D^1 ^ C^ .1/ ^ 4&,*
D Œ1 C .1/ 4&,*
D 0 D 4". &/"
Del ejercicio 26, se deduce que (1) u u.
31. Cualquier subespacio H que contiene a u y v también debe contener todos los múltiplos escalares de u y v ; por lo tanto, debe contener todas las sumas de los múltiplos escalares de u y de v. Por consiguiente, H debe contener a Gen { u , v }. 33. Sugerencia: Para una parte de la solución, considere w 1 y w 2 en H K , y escriba w 1 y w 2 en la forma w 1 u 1 v 1 y w 2 u 2 v 2, donde u 1 y u 2 están en H , y v 1 y v 2 están en K.
35. [ M ] La forma escalonada reducida de [ v 1, v 2 , v 3 , w ] muestra que w v 1 2 v 2 v 3. Por lo tanto, w está en el subespacio generado por v 1 , v 2 y v 3.
37. [ M ] Las funciones son cos(4 t ) y cos(6 t ). Véase el ejercicio 34 de la sección 4.5.
Sección 4.2, página 205
5 D
de manera que w está en Nul A.
7. W no es un subespacio de ^3 ya que el vector cero (0, 0, 0) no está en W. 9. W es un subespacio de ^4 porque W es el conjunto de soluciones del sistema
p 3q 4s D 0 2p s 5r D 0
11. W no es un subespacio porque 0 no está en W. Justificación: Si un elemento típico ( s (^) 2 t , 3 3 s , 3 s t , 2 s ) fuera cero, entonces 3 3 s 0 y 2 s 0, lo que es imposible.
Axioma 10 Axioma 8 Ejercicio 27
Respuestas a los ejercicios con numeración impar A
15. { v 1 , v 2 , v 4, v 5} 17. [M] { v 1 , v 2 , v 3 , v 5 } 19. Las tres respuestas más sencillas son { v 1, v 2}, { v 1, v 3 } y { v 2, v 3 }. Son posibles otras respuestas. 23. Sugerencia: Utilice el teorema de matriz invertible. 25. No. (¿Por qué el conjunto no es una base para H ?). 27. {cos v t , sen v t } 29. Sea A la matriz de n k [ v 1 v k ]. Como A tiene menos columnas que filas, entonces no puede existir una posición pivote en cada fila de A. De acuerdo con el teorema 4 de la sección 1.4, las columnas de A no generan n^ y, por lo tanto, no son una base para n. 31. Sugerencia: Si { v 1 ,…, v p } es linealmente dependiente, entonces existen c 1,…, cp , no todos cero, tales que c 1 v 1 cp v p 0. Utilice esta ecuación. 33. Ningún polinomio es un múltiplo del otro polinomio, de manera que { p 1, p 2} es un conjunto linealmente independiente en 3. 35. Sea { v 1, v 3 } cualquier conjunto linealmente independiente en el espacio vectorial V , y sean v 2 y v 4 una combinación lineal de v 1 y v 3. Entonces, { v 1, v 3 } es una base para Gen { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }. 37. [ M ] Hay que ser hábil para encontrar valores especiales de t que den varios ceros en (5), y después crear un sistema de ecuaciones que se pueda resolver fácilmente a mano. O bien, se podrían usar valores de t tales como t 0, .1, .2,... para crear un sistema de ecuaciones que pueda resolverse con un programa de matrices.
Sección 4.4, página 222
D 5 1 2 2 D 10 1 3 2 C 3 D 2 3
(un número infinito de respuestas)
19. Sugerencia: Por hipótesis, el vector cero tiene una única representación como una combinación lineal de elementos de S.
21.
23. Sugerencia: Suponga que [ u ]B [ w ]B para algunas u y w en V , y denote las entradas en [ u ]B como c 1,…, cn. Utilice la definición de [ u ]B. 25. Un posible método: Primero, demuestre que si u 1,…, u p son linealmente dependientes , entonces [ u 1]B,…, [ u p ]B son lineal- mente dependientes. Segundo, demuestre que si [ u 1 ]B,…, [ u p ]B son linealmente dependientes, entonces u 1 ,…, u p son lineal- mente dependientes. Utilice las dos ecuaciones que se presentan en el ejercicio. 27. Linealmente independiente. (Justifique las respuestas a los ejercicios 27 a 34). 29. Linealmente dependiente. 31. a ) Los vectores de coordenadas
(^5) no generan ^3. Debido al isomorfismo entre
^3 y 2 , los polinomios correspondientes no generan 2.
b ) Los vectores de coordenadas
generan ^3. Debido al isomorfismo entre ^3 y 2 , los polinomios correspondientes generan 2.
33. [ M ] Los vectores de coordenadas
5 son un subconjunto linealmente dependiente de^
Debido al isomorfismo entre ^4 y 3 , los polinomios corres- pondientes forman un subconjunto linealmente dependiente de 3 y, por lo tanto, no forman una base para 3.
35.!^ ΠB D
Sección 4.5, página 229
7. No hay base; dim es 0 9. 2 11. 3 13. 2, 3 15. 2, 3 17. 0, 3 21. Sugerencia: Solo se necesita demostrar que los primeros cuatro polinomios de Hermite son linealmente independientes. ¿Por qué? 23. [ p ]B (3, 6, 2, 1) 25. Sugerencia: Suponga que S genera V , y utilice el teorema del conjunto generador. Esto conduce a una contradicción, lo que demuestra que es falsa la hipótesis de generación.
dim es 2
dim es 3
dim es 3
A36 Respuestas a los ejercicios con numeración impar
27. Sugerencia: Considere el hecho de que cada n es un subespacio de . 29. Justifique cada respuesta:
a ) Verdadero b ) Verdadero c ) Verdadero
31. Sugerencia: Como H es un subespacio diferente de cero de un espacio de dimensión finita, entonces H también es de dimensión finita y tiene una base, por ejemplo, v 1 ,…, v p. Primero demuestre que { T ( v 1 ),…, T ( v p )} genera T ( H ). 33. [ M ] a ) Una base es { v 1, v 2, v 3 , e 2, e 3 }. De hecho, cualesquiera dos de los vectores e 2,…, e 5 extenderá { v 1 , v 2 , v 3 } a una base de ^5.
Sección 4.6, página 236
1. rango A 2; dim Nul A 2;
Base para Col A :
Base para Fil A : (1, 0, 1, 5), (0, 2, 5, 6)
Base para Nul A :
3. rango A 3; dim Nul A 3;
Base para Col A :
Base para Nul A : (2, 6, 6, 6, 3, 6), (0, 3, 0, 3, 3, 0), (0, 0, 0, 0, 3, 0)
Base para Fil A :
7. Sí; no. Como Col A es un subespacio de dimensión 4 de ^4 , entonces coincide con ^4. El espacio nulo no puede ser ^3 , porque los vectores en Nul A tienen 7 entradas. Nul A es un subespacio tridimensional de ^7 , de acuerdo con el teorema del rango. 9. 3, no. Observe que las columnas de una matriz de 4 6 están en ^4 , más que en ^3. Col A es un subespacio tridimensional de ^4. 11. 2 13. 5, 5. En ambos casos, el número de pivotes no puede exceder el número de columnas o el número de filas. 15. 4 19. Sí. Intente escribir una explicación. 21. No. Explique por qué. 23. Sí. Solo se necesitan seis ecuaciones lineales homogéneas. 25. No. Explique por qué. 27. Fil A y Nul A están en n ; Col A y Nul AT^ están en m. Solo hay cuatro subespacios distintos porque Fil AT^ Col A y Col AT^ Fil A. 29. Recuerde que dim Col A m precisamente cuando Col A m^ o, de manera equivalente, cuando la ecuación A x b es consistente para toda b. De acuerdo con el ejercicio 28 b ), dim Col A m precisamente cuando dim Nul AT^ 0 o, de manera equivalente, cuando la ecuación AT x 0 solo tiene la solución trivial.
31. T^ D
2a 2b 2c 3a 3b 3c 5a 5b 5c
(^5). Todas las columnas son
múltiplos de u , de manera que Col uv T^ es unidimensional, a menos que a b c 0.
33. Sugerencia: Sea A [ u u 2 u 3 ]. Si u 0 , entonces u es una base para Col A. ¿Por qué? 35. [ M ] Sugerencia: Véase el ejercicio 28 y las observaciones antes del ejemplo 4. 37. [ M ] Las matrices C y R para el ejercicio 35 funcionan aquí, y A CR.
Sección 4.7, página 242
C PB D
B PC D
C PB D
B PC D 12
13. C PB D
(^5) Π1 C 2tB D
15. a ) B es una base para V. b ) El mapeo de coordenadas es una transformación lineal. c ) El producto de una matriz y un vector. d ) El vector de coordenadas de v respecto de B. 17. a ) [ M ]
P ^1 D
