ENSAYO 76
Prueba de raíz unitaria para ayudar
a la construcción de un modelo
Lavan Mahadeva y Paul Robinson
CENTRO DE
ESTUDIOS
MONETARIOS
LATINOAMERICANOS
As oc iac ión R eg ion al d e Ban co s Cen tra le s
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Tipo: Apuntes
2019/2020
1 / 82
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ENSAYO 76
Prueba de raíz unitaria para ayudar
a la construcción de un modelo
Lavan Mahadeva y Paul Robinson
C E N T R O D E
E S T U D I O S
M O N E T A R I O S
L A T I N O A M E R I C A N O S
A s o c i a c i ó n R e g i o n a l d e B a n c o s C e n t r a l e s
Traduce y publica el CEMLA , con la debida autorización, en la serie Ensayos el manual de Lavan Mahadeva y Paul Robinson, del original publicado en inglés, con el título Unit Root Testing to Help Model Buil- ding, por el Centro de Estudios de Banca Central, del Banco de In- glaterra, en Handbooks in Central Banking, n o^ 22, Londres EC2R 8AH , julio del 2004. Para los autores, este manual es el resultado de la colaboración con muchos de sus colegas durante varios años. Sin su insumo, ayuda y asesoría sería un documento mucho más pobre. En particular, desean agradecer a Andy Blake, Emilio Fernández- Corugedo, Gill Hammond, Dan Huynh y Gabriel Sterne. Todos los errores y omisiones son, desde luego, de la responsabilidad de los au- tores. Los autores y el Centro de Estudios de Banca Central no se hacen responsables de la exactitud de la traducción en español de este trabajo, cuya venta está prohibida en todo o en parte, ya sea como fo- lleto individual o mediante su inclusión en otra publicación. © 2004 Copyright in English language, Bank of England.
Documento de distribución gratuita y exclusivo para los miembros asociados y colaboradores del Centro de Estudios Monetarios Lati- noamericanos (CEMLA ).
iii
ENSAYOS
Prueba de raíz unitaria para ayudar
a la construcción de un modelo
Lavan Mahadeva y Paul Robinson
CENTRO DE ESTUDIOS MONETARIOS LATINOAMERICANOS
iv
Primera edición, 2009
Derechos exclusivos en español reservados conforme a la ley © Centro de Estudios Monetarios Latinoamericanos, 2009 Durango nº 54, México, D. F., 06700 Prohibida su venta
Impreso y hecho en México Printed and made in México
y los datos que las miden, antes de estimar y pronosticar. Las pruebas de raíz unitaria pueden ser útiles al respecto, aun- que existen pruebas alternativas y estimadores robustos que en ocasiones pueden satisfacer mejor las necesidades del constructor de modelos. La mayor parte del manual consiste en ejercicios de compu- tación, destinados a profundizar la comprensión de los lecto- res acerca de las cuestiones con diferentes pruebas de raíz unitaria y de la modelación de series no estacionarias. Los ejercicios están escritos teniendo en mente el programa eco- nométrico EViews , aunque la mayoría de los programas eco- nométricos cuentan con las funciones necesarias y con los cambios relevantes en los comandos, un lector estará en ca- pacidad de seguirlos aun si usa un programa diferente. El enfoque del manual consiste en ayudar a los economistas de banca central, aunque otros que se sientan interesados tam- bién encontrarán útiles los ejercicios, ya que la no estaciona- riedad es un problema frecuente en econometría. Los datos usados están disponibles en el sitio Web del Centre for Central Banking Studies (CCBS ). Este manual no es un libro de texto. No figuran las prue- bas y se recurre muy poco al álgebra. Hay disponibles mu- chos libros de texto excelentes en econometría, series de tiempo y pruebas de raíz unitaria: Cochrane (2002), Phillips y Xiao (1999), Maddala y Kim (1998), Harvey (1997), Stock (1994), McCallum (1993), Campbell y Perron (1991), Coch- rane (1991a), Cochrane (1991b), el diccionario New Palgrave , Dolado et al. (1990); todos ellos ofrecen estudios y útiles opi- niones sobre la prueba de raíz unitaria. Otras investigaciones se incluyen en la bibliografía de Phillips y Xiao (1999). Mu- chos libros de texto de econometría abordan el tema de las series de tiempo, incluidos Enders (1995), Harvey (1997), Hamilton (1994), Patterson (2000), Favero (2001) y Hayashi (2000). Todos estos trabajos contienen material acerca de la prueba de raíz unitaria. 3
(^3) Además existen muchos otros aspectos de la prueba de raíz unitaria
que no se discuten ni en el texto ni en los recuadros. Algunas de las omi- siones más importantes son las pruebas para quiebres estructurales al lado de las pruebas de raíz unitaria; segunda diferencia o de orden mayor de la estacionariedad, discutida en Haldrup (1999); asimismo, pruebas de panel
1. ¿Por qué la prueba de raíz unitaria es importante?
Es común que las variables macroeconómicas crezcan o, con menos frecuencia, disminuyan a lo largo del tiempo. El producto crece a medida que la tecnología mejora, la pobla- ción aumenta y surgen invenciones; los precios y la cantidad de dinero se incrementan a medida que los bancos centrales fijan como meta una tasa de inflación positiva; etc. Un ejem- plo de una variable que puede decrecer a través del tiempo es el coeficiente tenencias a producto. Muchas teorías eco- nómicas postulan relaciones causales entre las series econó- micas que se incrementan a lo largo del tiempo. Un ejemplo siempre cercano al corazón de los banqueros centrales es que los precios son una función de la oferta monetaria. Las va- riables que se incrementan a lo largo del tiempo constituyen ejemplos de variables no estacionarias. Hay también series que no aumentan a través del tiempo, pero donde los efectos de las innovaciones no se extinguen con el tiempo. Éstas también son no estacionarias. Hay un problema mayor con las regresiones que implican variables no estacionarias, cuando los errores estándar producidos son sesgados. El ses- go significa que, el criterio convencional usado para juzgar si existe o no una relación causal entre las variables no es con- fiable. En muchos casos se descubre una relación significativa cuando en realidad no existe. Una regresión donde esto ocurre recibe el calificativo de regresión espuria. 4 Una cuestión central para muchos economistas de banca central es llegar a entender la inflación y cómo su historia puede usarse para que nos ayude a pronosticar la inflación futura. El primer paso para tal investigación es pensar acerca de la teoría económica, el escenario institucional, y temas por el estilo. Una vez que se escoge un marco claro, resulta im- portante investigar si los datos apoyan su análisis teórico. Pa- ra hacer un pronóstico se requiere obtener los coeficientes
de raíz unitaria, discutidas en Maddala y Kim (1998), pp. 133-139; raíces unitarias estocásticas; raíces unitarias estacionales, que se examinan en Maddala y Kim (1998), pp. 362-83; y procedimientos para verificar la in- ferencia de las raíces unitarias. (^4) Este problema ha sido advertido en varios estudios a lo largo de los
años, pero el artículo más influyente que lo analiza es probablemente el de Granger y Newbold (1974).
indizamos ambas series al mismo valor inicial (esto no cambia nada). Entonces se puede escribir:
y t = yo + gt , p t = po + gt , yo = po.
Lo que implica que yt = pt para todos los períodos de tiempo t. Una regresión de cualquier variable sobre otra en- contraría una perfecta correlación, errores estándar de cero (de modo que los estadísticos t no serían definidos, pero po- damos considerarlos en forma aproximada como infinita- mente grandes) e informar un R^2 de 1. ¡Sin embargo, no existe una relación causal aquí! Es obvio que, este es un ejemplo poco realista porque la regresión de una variable con tendencia sobre otra por lo general produce un R^2 muy alto y estadísticos t muy significativos, si bien con un estadís- tico Durbin-Watson bajo. El problema es que la regresión recoge la tendencia determinística en cada variable y la atri- buye a la variable independiente. Las series estacionarias en diferencia también presentan este problema; tienden a des- viarse , de modo que terminan lejos de su valor inicial. 5 La regresión interpreta que desviarse es una relación verdadera. De modo que las series pueden tener correlación negativa y en consecuencia mostrar un β negativo si una serie finaliza por encima de su valor inicial y la otra por debajo, o un β positivo si ambas se mueven en la misma dirección. La gráfi- ca III muestra una situación típica. Hemos generado dos caminatas aleatorias, x y y , en EViews. La muestra es de 300 períodos. Luego la dividimos en 10 submuestras de igual lon- gitud y efectuamos la regresión de y contra x y una constante. El resultado correcto habría sido que ni x ni la constante (c) eran significativamente diferentes de cero. Sin embargo, co- mo lo muestra la gráfica II en la mayoría de las submuestras y en la muestra global, tanto la constante como el coeficiente de x fueron significantemente diferentes de cero, aunque sus
CUADRO 1. REGRESIONES QUE EXPLICAN LA INFLACIÓN EN SUDÁFRICA
Variable independiente Constante (estadístico t) Coeficiente (estadístico t)
WCP (estadístico DW: 0.26; R 2 : 0.96; n o^ de observaciones: 88)
-6. (-47.95)
(43.97)
UKSERV (estadístico DW: 0.05; R 2 : 0.74; n o^ de observaciones: 88)
(14.69)
(15.71)
(^5) Para el tratamiento clásico de caminatas aleatorias (y de los procesos
probabilísticos en general), ver Feller (1968).
(a veces, estricta o por completo) estacionaria si su distribu- ción conjunta no varía en el tiempo. Esto significa que todos los momentos de corte transversal de la distribución, el pro- medio, la varianza y otros, no dependen del tiempo, y que además las correlaciones a través del tiempo no cambian. Por ejemplo, la correlación serial de primer orden (la rela- ción entre dos períodos de valores esperados sucesivos) no cambia. En términos prácticos, es imposible proceder a la prueba por esa razón, en especial con datos de corto plazo disponi- bles para muchos países (de hecho, la mayor parte de las series de tiempo económicas). Un concepto más útil es la es- tacionariedad de la covarianza: ésta sólo requiere que el pro- medio, la varianza y covarianzas sean independientes del tiempo. Una definición todavía más débil es que el promedio debe ser independiente del tiempo. El ejemplo paradigmático de series no estacionarias es la caminata aleatoria simple:
2 xt = xt (^) -1 + ε (^) t , ε t ∼ iid (0, σ ).
Note que aunque para todo n , E xt t (^) + n = xt , Et (^) + m xt (^) + m + n = xt + m ≠ ≠ xt = E xt t (^) + n en general. En palabras esto quiere decir que las series tienen un promedio indeterminado. Además, la va- rianza de xt (^) + n condicionada a la información conocida en t es
dependiente del tiempo: Et σ t^2 +^ n = n σ^2 , donde σ 2 es la va-
rianza incondicional de xt. Ambas incumplen la definición de las series estacionarias.
Estacionariedad en tendencia Las series no estacionarias son muy comunes en macroe- conomía. Pueden ocurrir por diversas razones y la razón subyacente puede tener importantes implicaciones para el tratamiento apropiado de las series. Por ejemplo, considere un país cuyo marco de política monetaria es una meta de ni- vel de precios, donde ésta se incrementa a una tasa constante (es decir, en ausencia de choques, la inflación será constan- te). Suponiendo que la política monetaria es efectiva, aunque los choques alejaran el nivel de precios de la meta, tales des- viaciones serían temporales. Por simplicidad también suponga
que la desviación promedio es cero. El nivel de precios no será estacionario en este caso pero podría ser posible extraer series estacionarias removiendo la tendencia. Tales series se deno- minan estacionarias en tendencia. En forma simbólica tenemos:
(1) pt = po + τ t +η t ,
donde p t es el logaritmo del nivel de precios, τ es el incre-
mento constante en la meta, y ηt es el plazo del choque. Eli- minar la tendencia de estas series equivale a nada menos que
sustraer τ t de cada observación. Típicamente, aunque no en
este caso, la dificultad consiste en identificar la tendencia.
Estacionariedad en diferencia La vida sería más sencilla en términos relativos si las series macroeconómicas fueran solo estacionarias en tendencia. Pe- ro otra situación frecuente es aquella en que las series están sujetas a choques cuyos efectos no se extinguen con el tiem- po. Un ejemplo posible es el PIB. Suponga, de manera sim- ple, que el PIB solo crece por las innovaciones y ganancias en conocimiento. Más aún, suponga que estas innovaciones no son función del tiempo ni se olvidan. En cada período, el PIB es igual al valor del período previo, más un incremento de- bido a las innovaciones de ese período. Esto se puede escribir como:
yt = yt -1 + ξ t.
Esta es otra caminata aleatoria. Nótese que yt (^) + n = yt -1+
- (^) ∑= 0 ξ (^) + 1
n i t ,^ por lo que los efectos de^ ξτ ^ nunca se extinguirán. Si
tomamos la primera diferencia de yt tenemos Δ yt = ξ t ,
donde Δ^ yt^ =^ yt^ − yt^ − 1 y^ ξ t es un término de choque aleatorio
que representa las innovaciones. Estas son ahora series esta- cionarias. En este caso, estamos en capacidad de convertir las series en estacionarias obteniendo la primera diferencia, aunque hay ocasiones en que podemos necesitar tomar la segunda diferencia (o la tercera, cuarta, etc.) de una serie para que sea estacionaria. Llamamos a las variables que re- quieren ser diferenciadas n veces para lograr estacionarie- dad, variables I ( n ), y decimos que son integradas de orden n.
consiste en asegurarse de que todas las variables usadas en una regresión son estacionarias por diferenciación o bien, removiendo la tendencia, y a continuación usar los procesos estacionarios resultantes para estimar la ecuación de interés. Como las variables serán entonces estacionarias, el peligro de calificar las regresiones como espurias estará minimizado. Sin embargo, el problema de la regresión espuria puede rondar nuestras estimaciones, aun si las variables en nuestra regresión fueran estacionarias pero muy autorregresivas. Cuanto más corto sea el período muestral, será más probable que ocurran regresiones espurias con procesos de cuasi-raíz unitaria. Las pruebas de raíz unitaria verifican si la variable es estacionaria en diferencia comparada con si es estaciona- ria, y en consecuencia puede contribuir a evitar el problema de regresión espuria. Aunque con frecuencia se requiere mucho esfuerzo y tiempo tratando de identificar en forma exacta por qué una variable es no estacionaria, las diferencias entre formas alter- nativas de no estacionariedad no siempre requieren tener im- portancia. Por ejemplo, aunque en muestras muy grandes la distribución y, por lo tanto, el desempeño del pronóstico de los modelos estimados con un proceso de raíz unitaria es dife- rente de manera discontinua de los modelos estimados con procesos de cuasi-raíz unitaria, en muestras más pequeñas (jus- to las que tienen que usar los economistas de banca central), dichas diferencias pueden ser ligeras (Cochrane, 2002, p. 193).
b) Tratamiento económico Sin embargo, existe un problema con el tratamiento esta- dístico. La teoría económica a menudo predice que una va- riable debe ser estacionaria, pero las pruebas sugieren que no es así. La inflación es un buen ejemplo. Un economista de banca central normalmente estudiará la política o hará un pronóstico con el supuesto de que la política monetaria fun- ciona, por lo que es difícil creer que una política monetaria exitosa puede dar por resultado una tasa de inflación no es- tacionaria en estado estacionario. 6 Sin embargo, durante el
(^6) Las condiciones iniciales y el horizonte tienen su importancia aquí. Si
la tasa de inflación actual es, digamos, 10%, y la tasa a largo plazo deseada
período que cubren los datos, la inflación puede ser no esta- cionaria y fallar en la prueba de raíz unitaria. Esto hace sur- gir el peligro de que la política se base en un modelo estimado con datos que son inconsistentes con los supuestos condicio- nantes del entorno de la política. Una respuesta frecuente a este dilema consiste en citar el bajo poder de las pruebas de raíz unitaria y la justificación teórica para la verdadera esta- cionariedad de las series y, por lo tanto, incluir los datos en las regresiones, aunque fracasaron en las pruebas de raíz unitaria. Un enfoque más sofisticado podría intentar la mo- delación de la senda de desequilibrio de la inflación. En cualquier caso, el econometrista debe tener en cuenta este tema y sus consecuencias potenciales. Dado el bajo poder de las pruebas de raíz unitaria, una aceptación de la hipótesis nula de que una variable es esta- cionaria en diferencia comparada con que es estacionaria, podría tomarse como indicio de una regresión espuria, en lugar de una firme evidencia de estacionariedad en dife- rencia en sí misma (Blough, 1992). A la luz de los peligros de una regresión espuria y la limitada capacidad de las pruebas de raíz unitaria, sugeriríamos que esto sea visto co- mo parte del diagnóstico de ecuaciones nocivas para la mo- delación.
3. Pruebas de raíz unitaria
Para ver cómo funciona la prueba, podemos modelar la inflación como series de tiempo:
1 0
p q t i t i t t i i i
π a π− c ε (^) − ϕ t = =
= (^) ∑ + (^) ∑ + ,
donde π t es la tasa de inflación y ε t es un error aleatorio en t.
Podemos incluir otras variables que son puramente una fun- ción del tiempo (tales como la tendencia o variables dumi
es 2%, entonces debe haber un período de desinflación. Dependiendo de las rigideces en la economía, dicho período puede ser más largo que el horizonte de pronóstico. De modo que el pronóstico podría tener que li- diar con inflación no estacionaria temporalmente. No obstante, esto será temporal, pues cualquier política razonable tendrá la inflación estacionaria como propósito de su política monetaria.
Lo anterior puede resultar útil en particular para distinguir entre alternativas de importancia para los pronósticos. Por ejemplo, un ajuste exógeno temporal conducirá a un cambio en el pronóstico a largo plazo para el PIB mundial si éste fuera un proceso estacionario en diferencia, mientras que si fuera un proceso estacionario en tendencia, su pronóstico a largo plazo no sería afectado. Los pronósticos pueden ser de más ayuda cuando se consideran como una secuencia de dis- tribuciones de probabilidad más que de números. En adición a la proyección central, la incertidumbre condicional también puede variar dependiendo de cómo se modela la no estacio- nariedad (Clements y Hendry, 1998). Una variable que tiene raíz unitaria no necesariamente implica que la regresión sea espuria, pues podría ser que las variables sean estacionarias en diferencia pero relacionadas en el largo plazo y, por lo tanto, cointegradas. Como nuestro objetivo ulterior consiste en construir modelos estructurales especificados en forma correcta, esto quiere decir que necesi- tamos comprender cómo interactúan las variables mediante el empleo de técnicas multivariadas.
RECUADRO A. TAMAÑO Y PODER DE UNA PRUEBA
Un problema con las pruebas de raíz unitaria es que sufren por el bajo poder y tamaño distorsionado. Este recuadro define lo que queremos decir con esos términos. En el marco de la prueba de hipótesis clásica, se especifican las hipótesis nula y alternativa , las dos conclusiones competitivas que se pueden inferir de los datos. A continuación se examinan los datos, para ver si podemos ser capaces de rechazar la hipótesis nula y en consecuencia aceptar la alternativa. Por lo general nos interesa rechazar la hipótesis nula, de modo que, para estar se- guros, necesitamos tener plena confianza de que es incorrecta, antes de rechazarla. En consecuencia, se utilizan niveles de signi- ficancia tales como 90% o 95%. Esto quiere decir que al usar los datos nos sentimos confiados en más de 90% (o 95%) de que la hipótesis nula está equivocada. Se pueden cometer dos tipos de errores: podriamos rechazar en forma incorrecta una hipótesis nula verdadera (esto se deno- mina a menudo error tipo I) o podriamos aceptar una hipótesis nula siendo falsa (un error de tipo II). Las consecuencias de los errores dependen de las circunstancias y el investigador deberá
elegir el nivel de significancia de forma adecuada. Por ejemplo, si al examinar un nuevo cosmético la preocupación de una compa- ñía farmacéutica es la posibilidad de causar una seria enferme- dad, sin duda deseará asegurarse de que no hay riesgo antes de venderla. Sería de esperar que la hipótesis nula sea que causa en- fermedad y se use un nivel de confianza muy alto. Sin embargo, si se está tratando de encontrar una cura para una enfermedad de otro modo incurable y que llevaría a una rápida muerte, en- tonces se puede aceptar un nivel de confianza más bajo, pues los costos de equivocarse son más bajos y los beneficios más altos. El tamaño de la prueba es la probabilidad de cometer un error tipo I, que sería el nivel de significancia escogido. El tamaño re- sulta distorsionado si la probabilidad verdadera no es la que uno piensa estar probando. Esto ocurrirá si la distribución verdadera del estadístico de prueba es diferente de la que uno está usando. Un problema mayor con las pruebas de raíz unitaria en general, y particularmente la prueba Dickey-Fuller, es que la distribución de los estadísticos de prueba es tanto no estándar como condicio- nal al orden de integración de las series, las propiedades de se- ries de tiempo de los errores, si la serie tiene tendencia, etc. Esto significa que los problemas de distorsión de tamaño son comu- nes. Por ejemplo, usted puede querer hacer pruebas al nivel de 95%, pero no conoce la distribución correcta. Suponga, que el va- lor del estadístico de prueba en el percentil 95 es α para la dis- tribución que está usando, pero α está en el percentil 90 en la distribución verdadera. En este caso estaría rechazando más hipótesis de las que espera y reduciendo sus probabilidades de cometer un error tipo I. Si bien la reducción es a un costo, porque la probabilidad de cometer un error tipo II está relacionada en forma inversa con la de cometer un error de tipo I. El poder de una prueba consiste en la probabilidad de rechazar una hipótesis nula falsa, es decir, uno menos la probabilidad de cometer un error tipo II. Las pruebas de raíz unitaria notoriamente tienen muy bajo poder. Tome nota de que el tamaño de la prueba y su poder no son iguales, ya que son probabilidades condicionales basadas en dife- rentes condiciones: una se basa en una hipótesis nula verdadera y la otra en una hipótesis nula falsa. Cuando se realizan pruebas de raíz unitaria, la hipótesis nula normalmente es: la variable tiene raíz unitaria. El bajo poder de las pruebas de raíz unitaria, significa que en ocasiones somos in- capaces de rechazar la hipótesis nula, concluyendo en forma equivocada que la variable tiene raíz unitaria.