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CAPÍTULO 3
Fenómenos de flujo de fluidos
El comportamiento de un fluido en movimiento depende mucho de que el fluido esté o
no bajo la influencia de límites sólidos. En la región donde la influencia de la pared es pequeña, la tensión de corte se considera despreciable, y el comportamiento del fluido se aproxima al de un fluido ideal, es decir, no es compresible y tiene viscosidad cero. El flujo de un fluido ideal recibe el nombre de flujo potencial y se describe a partir de los principios de la mecánica newtoniana y la conservación de la materia. La teoría mate- mática del flujo potencial está altamente desarrollada, pero está fuera del objetivo de este libro. El flujo potencial tiene dos características importantes: 1) no existen circulaciones ni remolinos dentro de la corriente, de tal forma que el flujo potencial se denomina tam- bién flujo irrotacional, y 2) no existe fricción, por lo tanto, no hay disipación de energía mecánica en calor. Es posible que no lejos de un límite sólido exista flujo potencial. Un principio fundamental de la mecánica de fluidos, establecido originalmente por Prandtl en 1904,^8 dice que, excepto para los fluidos que circulan a bajas velocidades o poseen viscosi- dades elevadas, el efecto del límite sólido sobre el flujo se limita a una capa de fluido inmediatamente adyacente a la pared sólida. Esta capa recibe el nombre de capa límite , y tanto la tensión de corte como las fuerzas de corte sólo existen en esta parte del fluido. Fuera de la capa límite, prevalece el flujo potencial. La mayoría de los procesos téc- nicos de fluidos se estudian mejor si se considera la corriente del fluido en dos partes: la capa límite y el resto del fluido. En algunas situaciones, como es el caso del flujo en un inyector convergente, se desprecia la capa límite; mientras que en otras, tales como el flujo a través de tuberías, la capa límite ocupa todo el canal de conducción y no hay flujo potencial. En el interior de la corriente de un fluido no compresible, que se encuentra bajo la influencia de límites sólidos, aparecen cuatro efectos importantes: 1) el acoplamiento de los campos gradiente de velocidad y de tensión de corte; 2) el inicio de la turbulencia;
- la formación y crecimiento de las capas límite, y 4) la separación de las capas límite del contacto con el límite sólido. En el flujo de fluidos compresibles junto a límites sólidos, aparecen efectos adicio- nales, originados por variaciones significativas de la densidad que son características de los fluidos compresibles. Estos efectos se consideran en el capítulo 6, al estudiar el flujo de fluidos compresibles.
48 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
El campo de velocidad Cuando una corriente de fluido se mueve en bloque sobre una pared sólida, el fluido se adhiere al sólido en la interface real que existe entre el sólido y el fluido. La adhesión es resultado de los campos de fuerza en el límite, que son también la causa de la tensión interfacial entre el sólido y el fluido. Por consiguiente, si la pared está en reposo con respecto al marco de referencia elegido para el sistema sólido-fluido, la velocidad del fluido en la interface es cero. Como a distancias mayores del sólido la velocidad no es cero, es posible que haya variaciones en la velocidad de un punto a otro dentro de la corriente en movimiento. Por lo tanto, la velocidad en un punto cualquiera es una función de las coordenadas espaciales de ese punto, y existe un campo de velocidad en el espacio ocupado por el fluido. En un punto determinado, la velocidad también puede variar con el tiempo. Cuando la velocidad es constante en cada punto, el campo no varía con el tiempo, y el flujo se denomina estacionario.
Flujo unidimensional. La velocidad es un vector, y en general, en un punto tiene tres componentes, uno para cada coordenada espacial. En muchos casos sencillos, todos los vectores de velocidad del campo son paralelos o prácticamente paralelos, y sólo se necesita un componente de velocidad, que se considera escalar. Este caso, que obviamente es mucho más sencillo que el campo vectorial general, recibe el nombre de flujo unidi- mensional ; un ejemplo es el flujo estacionario a través de tuberías rectas. La siguiente explicación se basa en la suposición de flujo unidimensional estacionario.
FLUJO LAMINAR, VELOCIDAD DE CORTE Y TENSIÓN DE CORTE
Flujo laminar A velocidades bajas, los fluidos tienden a moverse sin mezcla lateral y las capas adya- centes se desplazan unas sobre otras, como las cartas de una baraja. No existen corrientes transversales ni remolinos. Este tipo de régimen se llama flujo laminar. A velocidades superiores aparece la turbulencia y se forman remolinos, los cuales, como se estudiará más adelante, dan lugar a una mezcla lateral.
Gradiente de velocidad y velocidad de corte Considere el flujo laminar estacionario unidimensional de un fluido no compresible a lo largo de una superficie sólida plana. En la figura 3.1 a se muestra el perfil de velocidad para una corriente de este tipo. La abscisa u es la velocidad y la ordenada y es la distancia medida perpendicularmente desde la pared y, por lo tanto, forma un ángulo recto con la dirección de la velocidad. Para y = 0, u = 0; y u aumenta con la distancia desde la pared, pero a una velocidad decreciente. Fijemos la atención sobre las velocidades en dos planos próximos, el plano A y el plano B , separados entre sí a una distancia ∆ y. Sean u (^) A y u (^) B las velocidades respectivas a lo largo de los planos. Suponga que uB > u (^) A y que ∆ u = uB
- uA El gradiente de velocidad en yA , du/dy , se define por
(3.1)
du dy
u y y
→
lím ∆
50 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
reológico de los fluidos. Las curvas son representaciones gráficas de la tensión de corte contra la velocidad de corte y corresponden a presión y temperatura constantes. El comportamiento más sencillo es el que se muestra en la curva A , que es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Los fluidos que presentan esta sencilla linealidad reciben el nombre de fluidos newtonianos. Los gases y la mayoría de los líquidos son newtonianos. Las demás curvas de la figura 3.2 representan el comportamiento reoló- gico de líquidos llamados no newtonianos. Algunos líquidos, por ejemplo, las aguas residuales lodosas, no fluyen hasta que se alcanza una tensión de corte mínima, que se representa por τ 0 , y entonces fluyen de manera lineal, o casi lineal, para tensiones de corte superiores a τ 0. La curva B es un ejemplo de este comportamiento. Los líquidos que se comportan de esta manera se denominan plásticos de Bingham. La línea C re- presenta un fluido seudoplástico. La curva pasa por el origen, es cóncava hacia abajo para bajas tensiones de corte y se vuelve casi lineal para tensiones de corte elevadas. El látex del caucho es un ejemplo de dicho fluido. La curva D representa un fluido dilatante. La curva es cóncava hacia arriba para bajas tensiones de corte y casi lineal para tensiones de corte elevadas. La arena movediza y algunas emulsiones de arena presentan este comportamiento. Los seudoplásticos se caracterizan por presentar un adelgazamiento de la velocidad de corte y los fluidos dilatantes, por un engrosamiento de la velocidad de corte.
FIGURA 3. Tensión de corte contra gradiente de velocidad para fluidos newtonianos y no newtonianos.
Tensión de corte,
τ
τ 0
Gradiente de velocidad, du / dy
Plástico de Bingham
Seudoplás- ticos
Newtoniano
Dilatante
A
D
C
B
0
CAPÍTULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos 51
Flujo dependiente del tiempo
Ninguna de las curvas en la figura 3.2 depende del origen del fluido, y una muestra determinada del material muestra el mismo comportamiento sin importar el tiempo que la tensión de corte esté siendo aplicada. Éste no es el caso para algunos líquidos no newtonianos, cuyas curvas de tensión contra la velocidad de corte, dependen de cuánto tiempo ha estado activa la tensión de corte. Los líquidos tixotrópicos se separan bajo un corte continuo y, al mezclarlos de nuevo, dan lugar a una menor tensión de corte al aplicar una velocidad de corte dada; esto es, su viscosidad aparente disminuye con el tiempo. Las sustancias reopécticas se comportan de la forma contraria, y la tensión de corte se incrementa con el tiempo, como lo hace la viscosidad aparente. Las estructuras originales y las viscosidades aparentes por lo general son recuperadas con el tiempo. Las características reológicas de los fluidos se resumen en la tabla 3.1.
Fluidos viscoelásticos. Los fluidos viscoelásticos muestran tanto propiedades elás- ticas como viscosas. Exhiben una recuperación elástica a las deformaciones que ocurren durante el flujo, pero generalmente sólo parte de la deformación se recupera cuando se suprime la tensión. Ejemplos de fluidos viscoelásticos son la masa de harina, el napalm y ciertos polímeros fundidos.
Viscosidad
En un fluido newtoniano, la tensión de corte es proporcional a la velocidad de corte, y la constante de proporcionalidad se denomina viscosidad †
(3.3)
† (^) En algunos libros un signo menos está incluido al lado derecho de la ecuación (3.3).
TABLA 3. Características reológicas de los fluidos
Efecto del aumento de ¿Dependiente Designación la velocidad de corte del tiempo? Ejemplos^2
Seudoplásticos Delgados No Soluciones poliméricas, suspensiones de almidón, mayonesa, pinturas
Tixotrópico Delgados Sí Algunas soluciones poliméricas, materia grasa, algunas pinturas
Newtoniano Ninguno No Gases, líquidos más simples
Dilatante Espesos No Harina de maíz, soluciones azucaradas, arena húmeda de playa, almidón en agua
Reopéctico Espesos Sí Suspensiones de arcilla de bentonita, suspensiones de yeso
τ (^) υ = μ
du dy
CAPÍTULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos 53
La transferencia de momento es análoga a la transferencia de calor por conducción que resulta de un gradiente de temperatura, donde el factor de proporcionalidad entre el flujo de calor y el gradiente de temperatura se llama conductividad térmica. Ésta se demuestra por la ley de Fourier, en la página 315. En el flujo laminar, el momento se transfiere por la acción viscosa como resultado del gradiente de velocidad y la viscosidad puede ser considerada como la conductividad de momento transferido por este mecanis- mo. La transferencia de momento es también análoga a la transferencia de material por difusión molecular, donde el factor de proporcionalidad es la difusividad de la masa. Ésta se resume en la ley de Fick, página 555.
Viscosidades de gases y líquidos
En los gases, el momentum se transfiere por moléculas, que se mueven distancias relativa- mente grandes hasta regiones en donde la velocidad es más baja. La viscosidad depende del momentum promedio de las moléculas, la cual es proporcional al peso molecular multiplicado por la velocidad promedio. Puesto que la velocidad es proporcional a ( T / M ), 1/2^ la viscosidad es proporcional a ( TM ). 1/2^ La viscosidad también depende de la trayectoria libre media, que disminuye en la medida en que el tamaño de las moléculas aumenta. Una teoría simple para las moléculas que no interactúan es la siguiente:^9 a
(3.5)
donde μ = viscosidad, cP M = peso molecular T = temperatura absoluta, K σ = diámetro molecular, Å Obsérvese que el efecto del peso molecular predicho es pequeño, puesto que el tér- mino M 1/2^ en el numerador casi compensa al término σ^2 en el denominador. El promedio de error en el uso de la ecuación (3.5) para predecir viscosidad es de alrededor de 20%. Teorías rigurosas para la viscosidad de un gas incluyen el término de colisión inte- gral Ω V en el denominador de la ecuación (3.5) para permitir las interacciones entre las moléculas que colisionan. Las diferentes propuestas para calcular Ω V son revisados por Reid.^9 El promedio de error al predecir la viscosidad de un gas varía entre 2 y 3%. Es más difícil predecir la viscosidad de mezclas de gases, por lo que son comunes los errores de entre 6 y 10%. Las viscosidades de los gases a temperatura ambiente oscilan generalmen- te entre 0.005 y 0.02 cP. No existe una correlación simple con el peso molecular. A 20 ºC, la viscosidad es de 0.018 cP para el aire, 0.009 cP para el hidrógeno, y 0.007 cP para el vapor de benceno. En el apéndice 8 se dan los valores para otras sustancias. Las viscosidades de los gases aumentan con la temperatura de cierta manera más rápidamente que lo predicho por la simple teoría cinética. Para cálculos aproximados:
(3.6)
donde μ = viscosidad a la temperatura absoluta, K μ 0 = viscosidad a 0ºC (273 K) n = constante para un gas en particular
μ μ 0 273
T n
54 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
El exponente n es de aproximadamente 0.65 para el aire, 0.9 para el dióxido de carbono, 0.8 para el butano, y 1.0 para el vapor. La viscosidad de un gas es casi independiente de la presión en la región donde se apli- can las leyes de los gases ideales. El incremento en la densidad de un gas, que conduce a un aumento del flujo de moléculas a través de una unidad de área, se encuentra compensado por la reducción de la trayectoria libre media. A presiones muy elevadas, la viscosidad se incrementa con la presión, especialmente en la cercanía del punto crítico.^9 b
Viscosidades de líquidos. Las viscosidades de los líquidos son mucho mayores que las de los gases a la misma temperatura, pero no existe una teoría sencilla para predecir las viscosidades de los líquidos. Las moléculas en los líquidos se mueven a distancias muy cortas entre colisiones y la mayor parte de la transferencia de momentum ocurre mientras las moléculas se deslizan a gran velocidad pasándose unas a otras. La viscosidad gene- ralmente aumenta a mayor peso molecular y decae rápidamente con el incremento de la temperatura. El efecto principal del cambio de la temperatura no proviene del aumento de la velocidad promedio, como sucede con los gases, sino de la leve expansión del líquido que hace que sea más fácil para las moléculas deslizarse unas junto a otras. Por ejemplo, la viscosidad del agua cae de 1.79 cP a 0 ºC hasta 0.28 cP a 100 ºC, un cambio de 6.4 veces, aunque la velocidad molecular promedio sólo aumenta en una relación de (373/273)0.5, o un factor de 1.17. La viscosidad es una función fuertemente no lineal de la temperatura, sin embargo, una buena aproximación para temperaturas por debajo del punto de ebullición normal es^9
ln μ = A + B / T (3.7)
Las viscosidades absolutas de 1os líquidos tienen un amplio rango de magnitudes, desde 0.1 cP para líquidos hasta casi su punto de ebullición tanto como 10^6 para de fundidos de polímeros.
Viscosidad cinemática. Con frecuencia es útil la relación de la viscosidad absoluta para la densidad de un fluido μ/ρ. Esta propiedad se llama viscosidad cinemática y se representa por υ. En el sistema SI, la unidad para υ son los metros cuadrados por segun- do. En el sistema cgs, la viscosidad cinemática se denomina stoke (St), definido como 1 cm^2 /s. La unidad fps es pie cuadrado por segundo. Los factores de conversión son
Para los líquidos, las viscosidades cinemáticas varían con la temperatura en un in- tervalo más estrecho que las viscosidades absolutas. Para gases, la viscosidad cinemática se incrementa más rápidamente con la temperatura que la viscosidad absoluta.
Velocidad de corte contra tensión de corte para líquidos no newtonianos Los plásticos de Bingham, como se representan por la curva B en la figura 3.2, siguen una ecuación reológica del tipo
τ τ^ (3.8) υ =^0 + K
du dy
1m /s^2 = 10 St^4 =10.7639 ft /s^2
56 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
transversal de la corriente de agua. Este comportamiento del agua coloreada muestra que el agua ya no circula con movimiento laminar, sino que se desplaza al azar, dando lugar a corrientes transversales y remolinos. Este tipo de movimiento es un flujo turbulento.
Número de Reynolds y transición de flujo laminar a turbulento Reynolds estudió las condiciones bajo las cuales un tipo de flujo cambia a otro y encon- tró que la velocidad crítica, a la cual el flujo laminar cambia a flujo turbulento, depende de cuatro variables: el diámetro del tubo y la viscosidad, densidad y velocidad lineal promedio del líquido. Además, él encontró que estos cuatro factores pueden combinarse formando un grupo y que el cambio en el tipo de flujo ocurre para un valor definido del mismo. El agrupamiento de las variables se encuentra así
(3.10)
donde D = diámetro del tubo V
= velocidad promedio del líquido [ecuación (4.9)] μ = viscosidad del líquido ρ = densidad del líquido υ = viscosidad cinemática del líquido
El grupo adimensional de variables definidas por la ecuación (3.10) recibe el nombre de número de Reynolds , Re. Es uno de los grupos adimensionales listados en el apéndice 2. Esta magnitud es independiente de las unidades usadas, con tal de que sean consistentes. Observaciones adicionales muestran que la transición del flujo laminar a turbulento realmente puede ocurrir para un amplio intervalo de números de Reynolds. En una tube- ría, el flujo es siempre laminar a números de Reynolds inferiores a 2 100, pero este flujo laminar puede persistir hasta números de Reynolds superiores a 24 000 por eliminación de todas las perturbaciones en la entrada.^1 Si el flujo laminar a tales números elevados de Reynolds se perturba, de cualquier manera, digamos por una fluctuación en la velocidad, el flujo se vuelve rápidamente turbulento. Las perturbaciones bajo estas condiciones se amplifican, mientras que a números de Reynolds por debajo de 2 100, todas las pertur- baciones disminuyen y el flujo laminar se mantiene. A algunas velocidades de flujo una perturbación puede no amplificarse ni disminuirse; el flujo está entonces neutralmente estable. Bajo condiciones ordinarias, el flujo en una tubería o tubo es turbulento a números de Reynolds superiores a aproximadamente 4 000. Entre 2 100 y 4 000 existe una región de transición , donde el tipo de flujo puede ser tanto laminar como turbulento, dependiendo de las condiciones a la entrada del tubo y de la distancia a dicha entrada.
Número de Reynolds para fluidos no newtonianos Puesto que los fluidos no newtonianos no tienen un valor único de viscosidad que sea independiente de la velocidad de corte, la ecuación (3.10) para el número de Reynolds no puede utilizarse. La definición de un número de Reynolds para tales fluidos es un tanto arbitraria; una definición ampliamente usada para fluidos de la ley de potencia es:
(3.11)
Re = =
DV ρ DV μ υ
Re ±^
± n
n n n^ n^ n n
D V
K
′
′ (^) ′ ′ 2 3 1
3 ρ^2
CAPÍTULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos 57
La base de esta definición, un tanto complicada, se analiza en la página 121. El comienzo de la turbulencia ocurre cuando el número de Reynolds es superior a 2 100 con fluidos seudoplásticos, para los que n < 1.
Naturaleza de la turbulencia
Debido a su importancia en muchas ramas de la ingeniería, el flujo turbulento se ha estu- diado intensamente en los últimos años y se dispone de abundante bibliografía sobre este tema.1, 3^ Se han empleado métodos refinados de medición para estudiar con detalle las fluctuaciones reales de la velocidad de los remolinos durante el flujo turbulento, y los resultados de tales mediciones han proporcionado mucha información cualitativa y cuantitativa sobre la naturaleza de la turbulencia. La turbulencia con frecuencia se origina de otras maneras distintas del flujo a través de una tubería. En general, puede originarse bien por contacto de la corriente de flujo con límites sólidos o por el contacto entre dos capas de fluido que se mueven con velo- cidades diferentes. El primer tipo de turbulencia se denomina turbulencia de pared y el segundo turbulencia libre. La turbulencia de pared aparece cuando el fluido se mueve a través de canales cerrados o abiertos o alrededor de formas sólidas sumergidas en la corriente. La turbulencia libre se presenta en el flujo de un propulsor dentro de una masa de fluido estancado o cuando una capa límite se separa de una pared sólida y se mueve a través de la masa global del fluido. La turbulencia libre es especialmente importante en la operación de mezclado, que se estudia en el capítulo 9. El flujo turbulento consiste en un conjunto de remolinos de varios tamaños que coexisten en la corriente de flujo. Continuamente se forman remolinos grandes, que se rompen en otros más pequeños, que a su vez se transforman en otros todavía menores. Finalmente, el remolino más pequeño desaparece. A un tiempo y volumen dados, existe un amplio espectro de remolinos de varios tamaños. El tamaño del torbellino máximo es comparable con la dimensión mínima de la corriente turbulenta; el diámetro del re- molino más pequeño es de 10 a 100 μm. Los remolinos menores que éstos se destruyen rápidamente por las fuerzas viscosas. El flujo dentro de un remolino es laminar. Puesto que incluso los remolinos más pequeños contienen cerca de 10 12 moléculas, todos ellos son de tamaño macroscópico y el flujo turbulento no es un fenómeno molecular. Cualquier remolino dado posee una cantidad definida de energía mecánica, como si se tratara de una pequeña cima rotatoria. La energía de los remolinos más grandes procede de la energía potencial del flujo global del fluido. Desde un punto de vista energético, la turbulencia es un proceso de transferencia en el cual los remolinos, formados a partir del flujo global, transportan su energía de rotación a lo largo de una serie continua de remolinos más pequeños. Esta energía mecánica no se disipa apreciablemente en calor durante la ruptura de remolinos grandes en otros cada vez más pequeños, pero pasa de manera casi cuantitativa a los remolinos más pequeños. Finalmente esta energía mecánica se convierte en calor cuando los remolinos más pequeños se destruyen por la acción viscosa. La con- versión de energía por la acción viscosa recibe el nombre de disipación viscosa.
Velocidades de desviación en flujo turbulento
La figura 3.3 representa una gráfica típica de la variación en la velocidad instantánea en un punto dado de un campo de flujo turbulento. Esta velocidad es en realidad sólo uno de los componentes de la velocidad del vector real, cuyos tres componentes varían
CAPÍTULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos 59
Las velocidades de desviación u , υ, w fluctúan todas alrededor de cero como un valor promedio. La figura 3.3 es en realidad una representación gráfica de la velocidad de desviación u ; sin embargo, una representación gráfica de la velocidad instantánea u (^) i , tendría una apariencia idéntica puesto que en cualquier punto la ordenada estaría incre- mentada en la cantidad constante u. Para la presión, (3.13)
donde p (^) i = presión local variable p = presión promedio constante tal como es medida por manómetros ordinarios o indicadores de presión p = parte fluctuante de la presión debida a los remolinos
A causa de la naturaleza aleatoria de las fluctuaciones, los tiempos promedio de los componentes fluctuantes de velocidad y presión desaparecen cuando se promedian para un periodo t 0 del orden de unos pocos segundos. Por lo tanto,
(3.14)
La razón de que estos valores promedio se anulen, reside en que para cada valor positivo de una fluctuación existe un valor negativo igual y la suma algebraica es cero. Aunque los valores de tiempo promedio de las componentes fluctuantes son cero, esto no es necesariamente cierto para otras funciones o combinaciones de dichas com- ponentes. Por ejemplo, el valor promedio temporal de la media cuadrática de cualquiera de estas componentes de velocidad no es cero. Esta magnitud para el componente u se define como
(3.15)
De esta manera la media cuadrática no es cero, ya que u adquiere una serie rápida de valo- res positivos y negativos, que al elevarlos al cuadrado, siempre dan un valor positivo. Por lo tanto ( u ) 2 es inherentemente positivo y sólo se anula cuando no existe turbulencia. En el flujo laminar no hay remolinos; las velocidades de desviación y fluctuaciones de presión no existen; la velocidad total en la dirección de flujo u (^) i es constante e igual a u ; y υ i y wi son ambas cero.
Naturaleza estadística de la turbulencia
La distribución de las velocidades de desviación en un punto concreto indica que el valor de la velocidad se relaciona con la frecuencia con que se presenta ese valor, y que la rela- ción entre la frecuencia y el valor es del tipo de distribución de Gauss; por lo tanto, sigue la curva característica de error de las cantidades estadísticas completamente aleatorias. Este resultado demuestra que la turbulencia es un fenómeno estadístico, y los estudios de mayor éxito de turbulencia se basan en su naturaleza estadística.^3
pi = p + p ′
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
t
u dt t
w dt
t
dt t
p dt
t t
t t
∫ ∫
∫ υ ∫
0
2 2 0
0
t
u dt u
t ∫ (^ ′)^ =^ (^ ′)
60 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
Se obtienen dos clases de datos midiendo u , υ y w en lugares diferentes y en periodos variables: 1) pueden medirse en un solo punto las tres componentes de la velo- cidad de desviación cada una en función del tiempo, y 2) los valores de una cierta velocidad de desviación (por ejemplo, u ) pueden medirse en diferentes puntos durante el mismo periodo. La figura 3.4 muestra valores de u medidos simultáneamente para dos puntos separados por una distancia vertical y. Los datos obtenidos para diferentes valores de y indican que la correspondencia entre las velocidades en los dos puntos varía desde una relación muy estrecha cuando los valores de y son muy pequeños hasta una independen- cia total cuando y es grande. Esto era de esperarse, porque cuando la distancia entre las dos mediciones es pequeña con respecto al tamaño de un remolino, es un solo remolino el que se mide y las velocidades de desviación en los dos puntos están estrechamente correlacionadas. Esto significa que cuando la velocidad en un punto cambia en dirección o magnitud, la velocidad en el otro punto actúa prácticamente de la misma forma (o exactamente de forma contraria). A distancias de separación mayores, las mediciones se hacen en remolinos separados y la correlación desaparece. Cuando las tres componentes de las velocidades de desviación se miden en el mismo punto, en general se encuentra que dos cualesquiera de ellas están correlacionadas, y un cambio en una de ellas da lugar a un cambio en las otras dos. Estas observaciones se cuantifican definiendo los coeficientes de correlación.^5 Uno de estos coeficientes, que corresponde a la situación que se muestra en la figura 3.4, se define de la forma siguiente:
(3.16)
donde u 1 y u 2 son los valores de u en los puntos 1 y 2 respectivamente. Otro coeficiente de correlación que se aplica en un solo punto se define por la ecuación
(3.17)
donde u y υ están medidas en el mismo punto y al mismo tiempo.
FIGURA 3. Componentes de la velocidad de fluctuación en la medida de la escala de turbulencia.
y
y
u ´ 2
u ´ 1
z
1
2
R
u
u
u ′ ′ =^
( ′) ( ′)
υ
υ
υ 2 2
R
u u
u u
u ′ =^
1 2
1
2 2
2 1
1 2
2
62 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
largo de la superficie de contacto. El mecanismo de los esfuerzos en el flujo turbulento depende de las desviaciones de las velocidades con respecto a la velocidad promedio de la turbulencia anisotrópica. Los esfuerzos de corte turbulento se denominan esfuerzos de Reynolds. Éstos se miden por medio de los coeficientes de correlación del tipo definidos en la ecuación (3.17). Para relacionar las tensiones de Reynolds con las correlaciones de las velocidades de desviación, se utiliza el principio del momento. Considere un fluido en flujo turbulento que se mueve en una dirección x positiva, como se muestra en la figura 3.5. El plano S es paralelo al flujo. La velocidad instantánea en el plano es ui , y la velocidad media es u. Suponga que u aumenta con y , la dirección positiva medida perpendicularmente a la capa S , de forma que el gradiente de velocidad du / dy es positivo. Cualquier remolino que se desplaza hacia la pared tiene un valor negativo de υ, y su movimiento representa una velocidad de flujo másico ρ(υ) dentro del fluido por debajo del plano S. La velocidad del remolino en la dirección x es ui o u u ; si cada uno de estos remolinos que cruzan el plano S desacelerado hasta la velocidad media u , la velocidad de transferencia de momento por unidad de área es ρ(υ) u . Este flujo de momento, después de efectuar el tiempo promedio para todos los remolinos, es una tensión de corte turbulento o tensión de Reynolds, está dada por la ecuación
(3.19)
Viscosidad del remolino Por la analogía con la ecuación (3.14), la siguiente relación entre la tensión de corte y el gradiente de velocidad en una corriente turbulenta se utiliza para definir la viscosidad del remolino E υ:
(3.20)
La magnitud E υ es análoga a μ, la viscosidad absoluta. Además, por analogía con la viscosidad cinemática ν, la magnitud εM , llamada difusividad turbulenta de momento , se define como ε M = E υ /ρ.
FIGURA 3. Tensión de Reynolds.
u contra y
v ´ (signo negativo para el fluido que entra por debajo de S )
ui
v ´ (signo positivo para el fluido que sale por debajo de S )
Pendiente = 1/( du / dy )
y
u
S
0
τ (^) t = ρ u ′υ ′
τ (^) t E υ du dy
CAPÍTULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos 63
La tensión de corte total en un fluido turbulento es la suma de las tensiones viscosas y las tensiones turbulentas, o sea,
(3.21)
(3.22)
Aunque E υ y ε M son análogos de μ y ν, respectivamente, en el sentido de que todas estas cantidades son coeficientes que relacionan la tensión de corte y el gradiente de velocidad, existe una diferencia fundamental entre los dos tipos de cantidades. Las visco- sidades μ y υ son verdaderas propiedades del fluido y son el resultado macroscópico de promediar los movimientos y momentos de innumerables moléculas. Por el contrario, la viscosidad turbulenta E υ y la difusividad turbulenta ε M no son propiedades de los fluidos, sino que dependen de la velocidad del fluido y de la geometría del sistema. Éstas son funciones de todos los factores que influyen en los patrones detallados de la turbulencia y de las velocidades de desviación, y son especialmente sensibles a la localización en el campo turbulento y a los valores locales de la escala y la intensidad de la turbulencia. Las viscosidades pueden medirse en muestras aisladas de un fluido y presentarse en tablas o gráficas de propiedades físicas, como las de los apéndices 8 y 9. Las viscosidades y las difusividades de remolino se determinan (con dificultad, y sólo por medio de instrumentos especiales) realizando experimentos sobre el flujo a estudiar.
CAPAS LÍMITE
Flujo en capas límite
Una capa límite se define como la parte de un fluido en movimiento en la cual el flujo del fluido se ve influido por la presencia de un límite sólido. Como un ejemplo específico de la formación de una capa límite, consideremos el flujo de un fluido paralelo a una lámina delgada, tal como se muestra en la figura 3.6. La velocidad del fluido a contracorriente desde borde de impacto de la lámina es uniforme a través de toda la corriente del fluido. La velocidad del fluido en la interface entre el sólido y el fluido es cero. La velocidad se incrementa con la distancia desde la lámina, como se muestra en la figura 3.6. Cada una de las curvas corresponde a un valor definido de x , la distancia desde el borde im- pulsor de la lámina. La pendiente de las curvas cambia rápidamente cerca de la lámina; mientras que la velocidad local se aproxima asintóticamente a la velocidad global de la corriente del fluido. En la figura 3.6 la línea discontinua OL se ha trazado de tal forma que las variaciones de velocidad están confinadas entre esta línea y el trazo de la pared. Puesto que las líneas de velocidad son asintóticas con respecto a la distancia desde la lámina, se ha supuesto con el fin de localizar la línea discontinua en una forma definida, que dicha línea pasa a través de todos los puntos donde la velocidad es 99% de la velocidad global del fluido u ∞. La línea OL representa una superficie imaginaria que divide la corriente del fluido en dos partes: una donde la velocidad del fluido es constante y otra en la que la velocidad varía desde cero en la pared hasta una velocidad que es sustancialmente igual que la del fluido
τ = ( μ + E υ )
du dy
τ ε
ρ
v
d u M dy
CAPÍTULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos 65
Cerca del borde de impacto de una lámina plana sumergida en un fluido con velocidad uniforme, la capa límite es delgada, y el flujo de la capa límite es completamente laminar. Sin embargo, a medida que el espesor de la capa aumenta para mayores distancias del borde de impacto, se alcanza un punto en el que aparece la turbulencia. La aparición de la turbulencia se caracteriza por un incremento rápido e inesperado en el espesor de la capa límite, como se muestra en la figura 3.7. Cuando el flujo en la capa límite es laminar, el espesor Z (^) x de la capa aumenta con x 0.5, donde x es la distancia del borde de impacto de la lámina.^12 Durante un corto periodo después de que aparece la turbulencia, Z (^) x se incrementa con x 1.5^ y entonces, cuando la turbulencia está completamente desarrollada, lo hace con x 0.8. La parte inicial completamente laminar de la capa límite puede crecer hasta al- canzar un espesor moderado de quizá 2 mm con aire o agua circulando a velocidades moderadas. Sin embargo, una vez que la turbulencia comienza, el espesor de la parte laminar de la capa límite disminuye considerablemente, alcanzando un valor típico del orden de 0.2 mm.
Transición de flujo laminar a turbulento; número de Reynolds. Los factores que determinan el punto en el cual aparece la turbulencia en una capa límite laminar están relacionados con el número adimensional de Reynolds, que se define por la ecuación
(3.23)
donde x = distancia desde el borde de impacto de la lámina u ∞ = velocidad global del fluido ρ = densidad del fluido μ = viscosidad del fluido
Para el caso de flujo paralelo a lo largo de la lámina, el flujo turbulento comienza para un número de Reynolds crítico comprendido entre 10 5 y 3 106. La transición ocurre a números de Reynolds menores cuando la lámina es rugosa y la intensidad de la turbulencia en la corriente cercana es elevada, y a los valores superiores cuando la lámina es lisa y la intensidad de la turbulencia en la corriente cercana es baja.
FIGURA 3. Desarrollo de la capa límite turbulenta sobre una lámina plana (la escala vertical está
Espesor de la capa límite
Distancia del borde de impacto, x
Flujo turbulento en la capa límite
Flujo laminar en la capa límite Comienzo de la turbulencia (^) Capa amortiguadora Subcapa viscosa
Re x
xu = ∞
ρ μ
66 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
Formación de la capa límite en tubos rectos Considere un tubo recto, de pared delgada, en el que entra un fluido a una velocidad uniforme. Como se muestra en la figura 3.8, una capa límite comienza a formarse en la entrada del tubo; a medida que el fluido circula a través de la primera parte del canal de conducción, el espesor de la capa aumenta. Durante esta etapa la capa límite ocupa sólo parte de la sección transversal del tubo y la corriente total consta de un núcleo de fluido que circula a velocidad constante como si fuera una varilla con una capa límite anular comprendida entre dicho núcleo y la pared. En la capa límite la velocidad se incrementa desde cero en la pared hasta la velocidad constante existente en el núcleo. A medida que la corriente avanza más por el tubo, la capa límite ocupa una porción creciente de la sección transversal. Finalmente, para un punto suficientemente alejado (o corriente abajo) de la entrada, la capa límite alcanza el centro del tubo, el núcleo en forma de varilla desaparece y la capa límite ocupa toda la sección transversal de la corriente. En este punto la distribución de velocidad en el tubo alcanza su forma final, como muestra la última curva a la derecha de la figura 3.8, y permanece inalterable en el resto de la longitud del tubo. Tal flujo con una velocidad de distribución constante se llama flujo totalmente desarrollado.
Longitud de transición para un flujo laminar y turbulento. La longitud de la región de entrada al tubo necesaria para que la capa límite alcance el centro del mismo y se es- tablezca el flujo completamente desarrollado se denomina longitud de transición. Debido a que la velocidad no sólo varía con la longitud del tubo, sino también con la distancia radial hasta su centro, el flujo en la región de entrada es bidimensional. La longitud aproximada de una tubería recta necesaria para completar la distribución de la velocidad final es, para el caso de flujo laminar,
(3.24)
donde x (^) t = longitud de transición D = diámetro de la tubería
La ecuación (3.24), propuesta originalmente por Nikuradse, fue verificada experimen- talmente por Rothfus y Prengle. 11 La ecuación (3.24) muestra que, para una tubería de 50 mm (2 pulgadas) de diámetro interno (DI) y un número de Reynolds de 1 500, la longitud de transición es 3.75 m (12.3 ft). Si el fluido que ingresa a la tubería es turbu- lento y la velocidad en el tubo está por encima de la crítica, la longitud de transición es casi independiente del número de Reynolds y se encuentra alrededor de los 40 a 50
demasiado exagerada). FIGURA 3.
Capa límite
x D
t (^) = 0 05. Re
