Resumen de Geometría I: Ángulos y Triángulos, Apuntes de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

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RESUMEN RMA- 03

GEOMETRÍA I

Nombre

Curso

Profesor

ÁNGULOS

NOMBRE DEL ÁNGULO MEDIDA FORMA

Nulo  = 0°

Agudo 0° <  < 90°

Recto  = 90°

Obtuso 90° <  < 180°

Extendido  = 180°

Completo  = 360°

Convexo 0° <  < 180°

Cóncavo 180° <  < 360°



ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR

UNA TRANSVERSAL

Ángulos Alternos

Internos: 3 con  6 4 con  5 Son congruentes Externos: 1 con  8 2 con  7

Ángulos Correspondientes

 1 con  5  2 con  6  3 con  7  4 con  8

Son congruentes

Ángulos Colaterales

 1 , 3 , 5 y  7  2 , 4 , 6 y  8

Son suplementarios

OBSERVACIÓN:

Los Ángulos Alternos y Ángulos Correspondientes son congruentes entre sí.

Ángulos

Complementarios

 Suman 90°  Complemento de  = 90° - 

Suplementarios

 Suman 180°  Suplemento de  = 180° - 

L 1

L 2

90 -  

 180 - 

L 1 // L 2

TRIÁNGULOS

TEOREMA IMAGEN SE CUMPLE

Suma de los ángulos interiores

Suma de los ángulos exteriores (adyacentes a los ángulos interiores)

Relación entre dos ángulos interiores y el exterior no adyacente a ellos

Observación  + ’ = 180°

NOMBRE CONDICIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Según sus Ángulos

Acutángulo Tres ángulos agudos

Rectángulo Un ángulo recto

Obtusángulo

Un ángulo obtuso ()

OBSERVACIONES:

Triángulo Isósceles: Triángulo rectángulo  Catetos: AByAC (forman el ángulo recto)  Hipotenusa:BC

Base

A B

C

Ángulo del vértice

A B

C

 se denomina ángulo basal.

DESIGUALDAD TRIANGULAR

RELACIÓN ENTRE EL LADO DE UN TRIÁNGULO Y EL ÁNGULO QUE SE OPONE A

ÉSTE

“A mayor lado, mayor es el ángulo que se opone a dicho lado y viceversa"

 a – b  < x < a + b

En todo triángulo, el tercer lado siempre mide menos que la suma de los otros dos, y, más que la diferencia positiva de esos mismos dos lados.

a b

x

a < b < c   <  < 

a b

c

  a = b   = 

ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO

NOMBRE

REPRESENTACIÓN

GRÁFICA

PUNTO

SINGULAR

DEFINICIÓN OBSERVACIONES

Altura (h) Ortocentro (H)

Cae desde un vértice y forma un ángulo de 90° con la recta que contiene al lado opuesto.

 La altura puede caer sobre el triángulo.

 La altura puede caer fuera del triángulo

Bisectriz (b) Incentro (I)

Divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

“I” equidista de los lados del triángulo.

IP = IQ = IR = Radio

Transversal de Gravedad (t)

Centro de Gravedad (G)

Segmento que se origina desde un vértice e intersecta en el punto medio del lado opuesto.

El punto “G” divide a la transversal en razón 2:1.

Simetral (S)

Circuncentro (O)

Recta perpendicular, exactamente en el punto medio, de un lado del triángulo.

“O” equidista de los vértices del triángulo.

OP = OR = OQ

Mediana

( MN )

No hay

Segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo.

 MN // AB

 Mediana = MN =

AB

h b   t G

2k

k

R

P

Q

I

M N

A B

C

h

h

O

P

R^ Q

S

OBSERVACIONES

TRIANGULO EQUILÁTERO

 Coinciden todos los elementos secundarios.

 CD = Altura = Bisectriz = Transversal de Gravedad = Simetral

 D, E y F son puntos medios, entonces CD = BF = AE

 Coinciden todos los puntos singulares: H = I = G = O

TRIANGULO ISÓSCELES

 Solo coinciden los elementos secundarios que caen a la base.

 CD = Altura = Bisectriz =Transversal de Gravedad = Simetral

B

C

A D

30°30° F E

A B

C

I

D

OBSERVACION EJEMPLO

En un polígono regular, al trazar todas las diagonales desde un vértice, éstas dividen al ángulo interior en ángulos congruentes.

El Hexágono regular es el único polígono regular que se puede subdividir en 6 triángulos equiláteros congruentes.

Los otros polígonos regulares se subdividen en triángulos isósceles.

CUADRILÁTEROS (CONVEXOS)

TEOREMAS BÁSICOS DE CUADRILÁTEROS

Suma de los

ángulos interiores

Suma de los

ángulos

exteriores

CUADRILÁTEROS

CLASIFICACIÓN OBSERVACIÓN

Paralelógramos

 Cuadrado  Rombo  Rectángulo  Romboide

Dos pares de lados paralelos

Trapecios

 Escaleno  Isósceles  Rectángulo

Un par de lados paralelos

Trapezoides

 Asimétrico  Simétrico (Deltoide)

Sin lados paralelos

Trapezoides

CLASIFICACIÓN Y

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

OBSERVACIONES Y

PROPIEDADES

Asimétrico  Suma de los ángulos interiores igual a 360°

Simétrico (Deltoide)  Diagonales diferentes

 Diagonales perpendiculares  Una diagonal es bisectriz y simetral de la otra diagonal  

CIRCUNFERENCIA

CONCEPTOS BÁSICOS:

TIPO DE

ÁNGULO

REPRESENTACIÓN

GRÁFICA

RELACIÓN DEL ÁNGULO CON

EL ARCO QUE SUBTIENDE

Ángulo del Centro

Ángulo Inscrito

Ángulo Semi-inscrito

Ángulo Interior

x =

Ángulo Exterior

x = 2

x

A

B

Radio

Diámetro

Cuerda

Secante

Tangente

Arco

x

A

B

x

x

Teorema 7

Si desde un punto P se trazan dos tangentes, los segmentos que unen P con los puntos de tangencia son congruentes.

PA PB

Teorema 8

Un ángulo inscrito mide lo mismo que un ángulo semi-inscrito si subtienden el mismo arco.

Teorema 9

Cuerdas congruentes determinan arcos congruentes.

AD // BC  arco AD  arco BC

Teorema 10

Todo radio perpendicular a una cuerda, biseca a la cuerda y al arco correspondiente.

Teorema 11

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de cada par de lados opuestos es la misma.

a + c = b + d

A B b P b O

a

b

c

d

W

O