Resumen matemáticas, Apuntes de Matemática Financiera

¡Descarga Resumen matemáticas y más Apuntes en PDF de Matemática Financiera solo en Docsity!

Empresa i Tecnologia

Matem`atiques I

Jos´e Gonz´alez Llorente

´Index

• 1 Inequacions i valor absolut. Funcions i gr`afiques
• 2 Funcions exponencials, logar´ıtmiques i trigonom`etriques
• 3 L´ımits i continu¨ıtat
• 4 Derivades (I)
• 5 Derivades(II)
• 6 Integral indefinida
• 7 Equacions diferencials i aplicacions
• 8 Integral definida i aplicacions
• 9 Funcions de diverses variables

1. Es pot sumar o restar un mateix n´umero als dos costats d’una inequaci´o.
2. Si multipliquem (o dividim) una inequaci´o per un mateix n´umero positiu, la inequaci´o es mant´e per`o si el n´umero ´es negatiu, la inequaci´o s’inverteix.

Exemple: resoldre la inequaci´o 3 x + 6 ≤ 5 x − 5

Passem totes les x’s a un costat i els n´umeros a l’altre. Aix`o sempre conv´e fer-ho de manera que el coeficient de les x’s sigui positiu:

3 x + 6 ≤ 4 x − 5 ⇔ 6 + 5 ≤ 5 x − 3 x ⇔ 11 ≤ 2 x ⇔ 11 / 2 ≤ x

Per tant la soluci´o de la inequaci´o ´es l’interval [11/ 2 , +∞). Podr´ıem haver triat passar les x’s a l’altre costat. En aquest cas el coeficient de la x ´es negatiu i s’ha de tenir en compte que quan multipliquem una inequaci´o per un n´umero negatiu, la inequaci´o s’inverteix: 3 x − 5 x ≤ − 5 − 6 ⇔ − 2 x ≤ − 11 ⇔ 11 ≤ 2 x ⇔ 11 / 2 ≤ x

Evidentment, la soluci´o ´es la mateixa per`o el risc d’error augmenta.

2. Inequacions quadr`atiques

S´on inequacions del tipus ax^2 + bx + c > 0 resp. < 0, ≤ 0 o ≥ 0. Les podem resoldre geom`etricament o anal´ıticament.

1. Metode geometric Es basa en l’estudi de la grafica de la funci´o y = ax^2 + bx + c, que ´es una parabola. Si a > 0, la parabola ´es convexa ( t´e un m´ınim) i si a < 0 la parabola ´es concava ( t´e un maxim). Els punts de tall de la parabola amb l’eix de les X s´on justament les arrels de l’equaci´o ax^2 + bx + c = 0. Per tant si α < β s´on les arrels, la forma de la grafica ens diu que x ´es soluci´o de la inequaci´o ax^2 + bx + c > 0 si i nom´es si x < α o x > β, es a dir, el conjunt soluci´o ser`a (−∞, α) ∪ (β + ∞) mentre que si a < 0 , el conjunt soluci´o ´es l’interval (α, β). Exemple: resoldre la inequaci´o 2x^2 − 4 x − 6 > 0.

(a) Resolem l’equaci´o 2x^2 − 4 x − 6 = 0. Les arrels s´on x = −1 i x = 3. (b) Com que a = 1 > 0, la grafica de y = 2x^2 − 4 x − 6 ´es una parabola convexa que talla l’eix de les X als punts x = −1 i x = 3. (c) El conjunt soluci´o ´es (−∞, −1) ∪ (3, +∞).

2. M`etode anal´ıtic. Seguim els passos seg¨uents:

(a) Transformem la inequaci´o de manera que el coeficient de x^2 sigui positiu. Exemple: − 2 x^2 + 4x + 6 < 0 ⇔ 2 x^2 − 4 x − 6 > 0. (b) Resolem l’equaci´o ax^2 + bx + c = 0. Suposem que α < β s´on les arrels. (c) Un cop a > 0, factoritzem el polinomi ax^2 + bx + c = a(x − α)(x − β). Exemple: resolem 2x^2 − 4 x − 6 > 0. Les arrels s´on x = −1 i x = 3. La factoritzaci´o ´es 2 x^2 − 4 x − 6 = 2(x + 1)(x − 3).

(d) Les arrels α, β divideixen la recta en tres intervals. Constru¨ım una taula amb els signes dels factors x − α, x − β , (x − α)(x − β) als diferents intervals. Exemple: si les arrels s´on −1 i 3, tenim els intervals (−∞, −1), (− 1 , 3) i (3, +∞). Per exemple, a l’interval (− 1 , 3), − 1 < x < 3 per tant x + 1 t´e signe + i x − 3 t´e signe -. La taula quedaria aix´ı

x + 1 x − 3 (x + 1)(x − 3) (−∞, −1) - - + (− 1 , 3) + - - (3, +∞) + + + Observem que el signe de 2x^2 − 4 x − 6 = 2(x + 1)(x − 3) als tres intervals distingits ´es exactament el signe de la darrera columna. Per tant, com que vol´ıem resoldre 2x^2 − 4 x− 6 > 0, ens interessen els signes + de la darrera columna que corresponen als intervals (−∞, −1) i (3, +∞). El conjunt soluci´o ´es (−∞, −1) ∪ (3, +∞)

3. Inequacions polinomials

Suposem que p(x) = a 0 + a 1 x + ... + anxn^ ´es un polinomi i volem resoldre la inecuaci´o p(x) > 0 (o p(x) < 0). Seguirem els passos seg¨uents:

1. Dividint la inequaci´o original per an podem suposar que an = 1. Resolem, anal´ıtica o numericament, l’equaci´o p(x) = 0 i identifiquem les arrels. Suposem per simplificar que les arrels α 1 ,...,αn s´on totes diferents. Les ordenem de manera creixent: α 1 < α 2 < ... < αn. Exemple: volem resoldre la inequaci´o x^5 + 3x^4 − 23 x^3 − 51 x^2 + 94x + 120 > 0 Aplicant el metodo de Ruffini o aproximant num`ericament comprovem que les arrels s´on −5, −3, −1, 2 i 4.
2. Factoritzem el polinomi com a producte de factors lineals: p(x) = (x − α 1 )...(x − αn) i escrivim els factors lineals mantenint l’ordre creixent de les arrels. Exemple: x^5 + 3x^4 − 23 x^3 − 51 x^2 + 94x + 120 = (x + 5)(x + 3)(x + 1)(x − 2)(x − 4)
3. Les arrels α 1 ,...,αn divideixen la recta real en intervals (−∞, α 1 ), (α 1 , α 2 ),...,(αn− 1 , αn), (αn, +∞). Construirem una taula de manera que en cada fila escriurem els signes de tots els factors lineals x − αi als diferents intervals. A la darrera columna , escriurem el signe del producte (p(x)) d’acord amb la regla dels signes. Exemple: el signe de x + 1 ser`a + si x > −1 i − si x < −1. Per tant, el signe de x + 1 a (− 5 , −3) ´es − i a (− 1 , 2) ´es +. En el cas de l’exemple la taula queda aix´ı:

x + 5 x + 3 x + 1 x − 2 x − 4 p(x) (−∞, −5) - - - - - - (− 5 , −3) + - - - - + (− 3 , −1) + + - - - - (-1, 2) + + + - - + (2, 4) + + + + - - (4, +∞) + + + + + +

Quan es tracta d’aproximar una quantitat per una altra, el m´es important a vegades no ´es si l’aproximaci´o ´es per exces o per defecte sin´o la mida de l’error. Per exemple, si una pe¸ca t´e una longitud real de 20cm., els mesuraments 19, 6 i 20, 8 s´on dues aproximacions al valor real. Com que 20 − 19 , 6 = 0, 4 i 20 − 20 , 8 = − 0 , 8, si prescindim del signe, les mides dels errors s´on 0, 4 i 0 , 8. Per tant 19, 6 esta m´es a prop del valor real i ´es una millor aproximaci´o. El concepte de valor absolut d’un n´umero quantifica la mida d’un n´umero independentment del seu signe. Definim |x|, el valor absolut de x com

|x| =

x si x ≥ 0, −x si x < 0.

Les propietats b`asiques del valor absolut s´on les seg¨uents:

(a) |x| ≥ 0 i |x| = 0 ⇔ x = 0. (b) |x| = | − x|. (c) Si x, y ∈ R, |xy| = |x||y|. En particular, |xn| = |x|n. (d) (Significat geometric del valor absolut). Si x, y ∈ R, aleshores |x| ´es la distancia de x al 0 i |x − y| ´es la distancia entre x i y. Per exemple, | − 7 − 3 | = 10 = distancia entre −7 i 3 pero | 7 − 3 | = 4 = distancia entre 7 i 3. En particular,

|x − a| < r ⇔ a − r < x < a + r

(e) (Desigualtat triangular I) |x + y| ≤ |x| + |y|. (f) (Desigualtat triangular II) |x + y| ≥ | |x| − |y| |.

Exemple: Si |x| ≤ 0 , 1, aleshores 7, 9 ≤ 8 + x ≤ 8 , 1.

FUNCIONS I GR `AFIQUES

1. Models matematics. En moltes situacions de les ciencies socials i experimentals interessa estudiar la depend`encia d’una variable y respecte d’una altra variable x. N’hi ha nombrosos exemples:

(a) y = dist`ancia recorreguda per un objecte , x = temps (b) y = preu d’un determinat producte , x = temps (c) y = beneficis anuals d’una empresa, x = inversi´o anual en publicitat (d) y = volum d’un cos, x = temperatura (e) y = nombre d’individus d’una poblaci´o, x = temps

etc...En tots aquests casos, seria desitjable tenir una relaci´o expl´ıcita y = f (x) entre la variable objecte d’estudi, y, i la variable que generalment es pot controlar, x, mitjan¸cant una funci´o concreta f. Per exemple, si un cos es mou a velocitat constant de 2m/s, la distancia que recorrera en temps x ´es y = 2x. En aquest cas, la relaci´o ´es molt senzilla: f (x) = 2x. Si l’objecte es mou amb acceleraci´o constant de 3m/s^2 partint del repos, la distancia recorreguda en temps x ´es 32 x^2. Per tant, en aquest cas f (x) = 32 x^2. Tanmateix, a la practica s´on molt poques les situacions en les quals hi ha a l’abast una relaci´o expl´ıcita y = f (x) i el maxim al que es pot aspirar ´es elaborar un model a partir de mesuraments experimentals. La manera est`andard de procedir ´es triar valors x 1 ,...,xn de la variable que controlem , x , i mesurar els valors corresponents

y 1 ,...,yn de la variable objecte d’estudi y. D’aquesta manera obtenim una col.lecci´o de punts (x 1 , y 1 ),...,(xn, yn) al pla XY. Si la forma d’quest n´uvol de punts del pla s’acosta a la grafica d’alguna funci´o y = f (x), podem triar la relaci´o y = f (x) com a model provisional del problema. Disposar d’un bon model ´es essencial perque permet fer bones prediccions de la variable d’estudi mitjan¸cant una f´ormula expl´ıcita.

2. Models lineals. La relaci´o m´es senzilla que pot haver-hi entre dues variables ´es la lineal. Una variable y depen linealment de la variable x si el ritme de canvi de y respecte de x ´es constant. Per exemple, si un objecte es mou a 10Km/h , recorrera 10 Km entre les 3.15 i les 4.15 , 20 Km entre les 9 i les 11 , 5 Km entre les 7.10 i les 7.40. La proporci´o entre el nombre de kil`ometres recorreguts i la durada de l’interval de temps ( en hores ) ´es sempre constant: 10.

Quan representem graficament els valors de les variables x, y en el pla de coordenades XY , la grafica dels punts (x, y) ´es una recta. Al pla XY les rectes es caracteritzen , justament, perqu`e per qualsevol interval de x’s, la proporci´o entre el increment de les y’s i el increment de les x’s ´es sempre constant. Aquesta constant es diu pendent de la recta. Exemple: el preu d’un producte creix linealment a ra´o de 2 e per any. Suposem que a l’any 2000 el preu era de 10 e que x denota el temps ( en anys ) a partir de l’any 2000 ( x = 0 correspon a l’any 2000) i que y = y(x) ´es el preu en temps x. Aleshores

y − 10 = 2(x − 0) ⇔ y = 2x + 10

En general, l’equaci´o d’una recta al pla XY ´es

y = mx + n

on m, n s´on n´umeros reals; m ´es el pendent de la recta i n representa el valor de y quan x = 0 ( intersecci´o de la recta amb l’eix Y ). El pendent d’una recta pot ser positiu ( ritme de creixement constant) o negatiu( ritme de decreixement constant). Al cas de l’exemple , el preu del producte creix a ra´o de 2 e per any ( pendent 2). Si en comptes de cr`eixer, el preu decreix a ra´o de 2 e per any, aleshores el pendent seria -2 i l’equaci´o de la recta y = − 2 x + 10.

3. Significat geometric del pendent. Quan diem que una carretera t´e un pendent del 15% volem dir que la carretera puja verticalment 15 m. per cada 100 m. de recorregut horitzontal. En matematiques, pero, els pendents no es donen normalment en forma de percentatges, sin´o com a proporcions: en el cas d’aquesta carretera, matematicament, parlarem d’un pendent de 0 , 15 = 10015 = (^) increment horitzontalincrement vertical.

Considerem ara la recta d’equaci´o y = 2x + 10. Els punts (0, 10) i (1, 12) s´on punts de la recta i 2 = ∆ ∆yx = 121 −−^100 ´es el pendent. Si hagu´essim triat una altra parella de punts, com ara (1, 12) i (3, 16) i calcul´essim el quocient d’increments ∆δxy = 163 −−^121 = 2 el resultat seria el mateix: 2. En general, si (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) s´on dos punts d’una recta de pendent m , aleshores

m = ∆y ∆x

y 2 − y 1 x 2 − x 1

5. Paraboles i circumferencies

La grafica d’una funci´o quadratica y = ax^2 + bx + c ´es una parabola la forma de la qual t´e a veure amb els parametres a, b, c. (a) Si a > 0, la parabola ´es convexa ( la parabola t´e un m´ınim). Si a < 0, ´es concava ( t´e un maxim). (b) L’amplitud de la parabola depen de |a|. Quan m´es petit ´es |a|, m´es ampla ´es la parabola. (c) Si l’equaci´o y = ax^2 + bx + c = 0 t´e arrels x 1 , x 2 , els punts (x 1 , 0) i (x 2 , 0) s´on els punts de tall de la parabola y = ax^2 + bx + c amb l’eix X. Si l’equaci´o no t´e solucions reals, la parabola no talla l’eix de les X. Donat un punt (a, b) del pla i r > 0, l’equaci´o de la circumferencia de centre (a, b) i radi r ´es (x − a)^2 + (y − b)^2 = r^2 Exemple: l’equaci´o de la circumferencia de centre (2, −1) i radi 4 ´es (x − 2)^2 + (y + 1)^2 = 16 ⇔ x^2 − 4 x + y^2 + 2y − 11 = 0. Rec´ıprocament, si partim de l’equaci´o x^2 − 4 x + y^2 + 2y − 11 = 0 , la manera de determinar el centre i el radi de la circumferencia ´es el metode de completar el quadrat. Aquest metode consisteix en transformar una expressi´o quadratica en x, y introduint factors de la forma (x − a)^2 , (y − b)^2 i esta basat en la identitat (x − a)^2 = x^2 − 2 ax + a^2. Els passos s´on els seg¨uents: (a) Primer, ens fixem en la part amb x’s a l’equaci´o , triem a de manera que − 2 a sigui el coeficient de x i restem la constant necess`aria per conservar la igualtat: x^2 − 4 x = (x − 2)^2 − 4

(b) Fem el mateix amb la variable y: y^2 + 2y = (y + 1)^2 − 1 (c) Substitu¨ım: x^2 − 4 x+y^2 − 2 y −11 = 0 ⇔ (x−2)^2 −4+(y +1)^2 − 1 −11 = 0 ⇔ (x−2)^2 +(y +1)^2 = 16 = 4^2 Un cop completats els quadrats ja podem deduir que el centre ´es (2, −1) i el radi ´es 4.

6. Domini d’una funci´o

A vegades, una funci´o y = f (x) nom´es est`a definida per cert valors de x. Per exemple , si la variable x fos el temps no tindria sentit considerar valors negatius de x. En altres situacions la restricci´o ´es algebraica. Per exemple, la funci´o f (x) =

1 − x^2 nom´es esta definida si 1 − x^2 ≥ 0 ⇔ − 1 ≤ x ≤ 1. Geometricament, y = f (x) representa l’al¸cada, sobre el punt x, de la semicircumfer`encia centrada al (0, 0) i de radi 1. En aquest cas direm que el domini de la funci´o f (x) =

1 − x^2 ´es [− 1 , 1].

En general, el domini d’una funci´o y = f (x) ´es el subconjunt de la recta real R on f esta definida. Com a regla general, si la funci´o cont´e una arrel quadrada, n’hem de treure els valors de x on l’expressi´o que hi ha dintre de l’arrel es fa negativa. Si la funci´o cont´e una fracci´o, n’hem de treure els zeros del denominador. Exemple: el domini de la funci´o f (x) = (^) x (^2) −x+1 5 x+ sera tota la recta real tret dels zeros del denominador , que s´on 2 i 3. Per tant el domini de f ´es R \ { 2 , 3 } = (−∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞). Generalment, el domini de les funcions amb les quals treballarem en el curs seran intervals o unions d’intervals.

7. Funcions i gr`afiques

A l’apartat ”Models matematics¸comentavem que en molts problemes cient´ıfics nom´es hi ha a l’abast una col.lecci´o finita de punts {(xi, yi)} de la qual s’hauria d’extreure un model expl´ıcit y = f (x). Quan es disposa d’una relaci´o expl´ıcita y = f (x) ( una funci´o), la col.lecci´o de punts esdev´e una corba en el pla, la grafica de la funci´o f. Formalment la grafica d’una funci´o f : D → R, es defineix com el subconjunt

{(x, f (x)) : x ∈ D} ⊂ R^2

La grafica ´es un element caracter´ıstic essencial, una mena de radiografia visual de la funci´o. A cada expressi´o algebraica y = f (x) li correspon una grafica que identifica la funci´o. La grafica d’una funci´o pot tallar cada recta vertical com a maxim una vegada. Exemples:

(a) La grafica d’una funci´o lineal y = mx + n ´es una recta de pendent m. (b) La grafica d’una funci´o quadratica y = ax^2 + bx + c ´es una parabola. (c) La gr`afica de y =

r^2 − x^2 , (r > 0) ´es la semicircumferencia superior centrada al (0, 0) de radi r. (d) La grafica de y = |x| est`a formada per les dues semirectes y = x si x ≥ 0 i y = −x si x < 0.

Hi ha situacions on una funci´o s’ha de definir a trossos. Per exemple, suposem que una operadora telefonica factura les trucades de manera que el preu per minut ´es de 0,01 e si la distancia a la destinaci´o de la trucada ´es inferior a 100Km, de 0,02 e si la distancia ´es m´es gran o igual que 100 i inferior a 800 Km. i de 0,05 esi la distancia ´es superior o igual a 800Km. Sigui f (x) el preu per minut a una destinaci´o a dist`ancia x. Aleshores, f : [0, +∞) → R, i

f (x) =

0 , 01 si 0 ≤ x < 100 0 , 02 si 100 ≤ x < 800 0 , 05 si x ≥ 800 En aquest cas, la grafica de f esta formada per tres trossos horitzontals corresponents als intervals [0, 100), [100, 800) i [800, +∞).

8. Transformacions amb funcions

Suposem que un determinat mecanisme electric s’engega i f (x) ´es la intensitat del corrent despr´es de x segons. Si el circuit s’engega 2 segons m´es tard, el comportament del circuit sera exactament el mateix, pero el que passa ara en temps x ´es el que passava abans en temps x − 2. Per tant la intensitat del nou corrent (retardat 2 segons) en temps x sera f (x − 2). Si, pel contrari, el circuit s’hagu´es engegat 2 segons abans la intensitat del circuit avan¸cat en temps x coincidiria amb la intensitat del corrent original en temps x + 2, ´es a dir, f (x + 2). En definitiva, podem expressar facilment les intensitats dels circuits retardat i avan¸cat ( f (x − 2), f (x + 2) resp. ) mitjan¸cant transformacions senzilles de la funci´o d’intensitat original f (x). Pel que fa a les grafiques, la grafica de f (x + 2) ´es la grafica de f (x) despla¸cada 2 unitats cap a l’esquerra i la grafica de f (x − 2) ´es la grafica de f (x) per`o despla¸cada 2 unitats cap a la dreta.

Donada una funci´o f (x) i c > 0, a continuaci´o donem una llista amb noves funcions obtingudes com a transformacions de f i la relaci´o entre les seves gr`afiques i la de f :

(a) f (x + c) → translaci´o horitzontal de c unitats a la esquerra. (b) f (x − c) → translaci´o horitzontal de c unitats a la dreta.

Exemple:

sin(2π/3) = cos(π/6) cos(2π/3) = − sin(π/6) tan(2π/3) = − (^) tan(^1 π/6) sin(3π/4) = sin(π/4) cos(3π/4) = − cos(π/4) tan(3π/4) = − tan(π/4) sin(7π/6) = − sin(π/6) cos(7π/6) = − cos(π/6) tan(7π/6) = tan(π/6)

Cap´ıtol 2

Funcions exponencials, logar´ıtmiques i

trigonom`etriques

FUNCIONS EXPONENCIALS

Matem`aticament, l’expressi´o ”creixement exponencial ”significa que una certa quantitat creix o decreix de manera que l’increment ( o disminuci´o) de la quantitat en un interval de temps fix ´es una fracci´o constant de la quantitat existent inicialment.

Exemple 1. Quan diem que una poblaci´o creix a un 1% anual, aixo vol dir que si inicialment la poblaci´o ´es N 0 aleshores despr´es d’un any sera N 0 + (0.01)N 0 = 1. 01 N 0. Per tant, despr´es de dos anys, ser`a (1.01)N 0 + (0.01)(1.01)N 0 = (1.01)^2 N 0 , despr´es de 3, (1.01)^3 N 0 i en general, despr´es de n anys, (1.01)nN 0. Si en comptes d’un 1% de creixement fos un 1% de decreixement anual, aleshores la poblaci´o despr´es de n anys seria (0.99)nN 0.

Sembla natural, per tant considerar, per a > 0 la funci´o f (x) = ax, que es diu funci´o exponencial de base a.

Propietats b`asiques de les funcions exponencials.

1. El domini de la funci´o exponencial ´es R, tota la recta real. A m´es, la funci´o exponencial ´es creixent si a > 1 i decreixent si 0 < a < 1.
2. a^0 = 1, a^1 = a i ax^ > 0 per tot x ∈ R.
3. a−x^ = (^) a^1 x
4. ax+y^ = (ax)(ay), ax−y^ = a x ay^.
5. (ax)y^ = axy.
6. (ax)(bx) = (ab)x, ( ab )x^ = a x bx^.

Interes compost. El n´umero e. Interes continu.

Suposem que invertim 1 e a un 100% d’interes anual. Despr´es d’un any la inversi´o s’haura duplicat i tindrem 2 e. Si el banc ens ofereix la possibilitat d’amortitzar semestralmemt ( dues amortitzacions per any), aixo vol dir que cada semestre s’aplica un interes 100/2 = 50% i en un semestre el capital es multiplica per un factor 1 + 12. Per tant, al final del primer semestre tindrem 1 + 12 e i al final

Si a > 0, la inversa de la funci´o exponencial de base a es diu funci´o logaritme de base a i es denota per logax. Per tant logax = y ⇔ ay^ = x

Quan prenem com a base el n´umero e, denotem ln x = loge x i en direm logaritme neperia de x en honor al descobridor dels logaritmes, el matematic John Napier. Un c`alcul senzill mostra que

loga x =

ln x ln a

per tant treballar amb logaritmes de base arbitraria ´es equivalent a fer-ho amb logaritmes neperians. A banda del neperia, el logaritme m´es utilitzat ´es el de base 10. A continuaci´o es resumeixen les propietats b`asiques de la funci´o ln x:

1. ln x ´es una funci´o creixent i el seu domini ´es (0, +∞).
2. eln^ x^ = x = ln(ex)
3. ln 1 = 0, ln e = 1.
4. ln x + ln y = ln(xy), ln x − ln y = ln( xy ).
5. ln(xy) = y ln x.

L’EQUACI ´O DEL CREIXEMENT EXPONENCIAL. TEMPS DE DUPLICACI ´O

Es diu que una certa magnitud N creix ( o decreix) exponencialment respecte del temps t si l’equaci´o que governa N ´es de la forma: N (t) = N 0 · ebt^ (∗∗)

on N 0 representa el valor de N a l’instant t = 0 i b ´es un par`ametre que ens informa del rapidesa del creixement ( o decreixement). Si b > 0, N creix exponencialment i si b < 0 , N decreix exponencialment. Quan un model de creixement exponencial condueix a una equaci´o del tipus

N (t) = N 0 · act^ (∗ ∗ ∗)

(com a l’exemple 1), podem reescriue l’equaci´o (***) en funci´o de la base e: com que a = eln^ a,tenim act^ = ec(ln^ a)t^ i qualsevol creixement exponencial es pot expressar en la forma (∗∗) amb b = c ln a. Es pot utilitzar qualsevol de les dues formes segons convingui.

Exemple 2. Una poblaci´o de microorganismes creix a ra´o del 5% per hora. Si inicialment n’hi ha 400, quants n’hi ha despr´es de 18 hores? En aquest cas, el factor de multiplicaci´o per hora ´es 1 + 0.05 = 1.05 i el nombre de microorganismes despr´es de t hores ´es N (t) = 400 · (1.05)t. En el cas t = 18 tenim N 18 = 400 · (1.05)^18 ≈ 963. Si escrivim l’equaci´o del creixement en base e, N (t) = 400 · et^ ln(1.05)^ = 400 · e^0.^0488 ·t. Es tracta de dues maneres diferents d’escriure la mateixa expressi´o.

Suposem que una poblaci´o creix exponencialment. El temps necessari per tal que la poblaci´o es dupliqui es diu temps de duplicaci´o. Si la poblaci´o decreix exponencialment, el temps neces sari per que la poblaci´o es redueixi a la meitat es diu semivida o temps de semidesintegraci´o( la terminologia s’explica perque el terme s’aplica sovint a substancies radiactives). Una caracter´ıstica important del model exponencial ´es que el temps de duplicaci´o ´es fix i no depen del moment on

comencem a comptar. Per exemple, si una poblaci´o creix al 3% anual i en un determinat moment la pobla ci´o ´es N , despr´es de t anys ser`a N (1, 03)t. Per tant si s’ha duplicat en t anys hem de tenir:

2 N = N (1, 03)t

Si simplifiquem i prenem logaritmes N se’n va i obtenim t ln(1.03) = ln 2 per tant t =

ln 2 ln(1.03)

23 , 45. La conclusi´o ´es que el temps de duplicaci´o ´es, aproximadament 23 anys. S’observa que N s’ha simplificat i no juga cap paper en el calcul: el moment inicial no afecta el temps de duplicaci´o. Sigui quin sigui el moment quan mesurem la poblaci´o, despr´es de 23, 45 anys s’haura duplicat. Les mateixes consideracions es poden fer sobre la semivida.

Exemple 3. Calculeu en quantes hores es duplica la poblaci´o de l’exemple 2. Vam veure que despr´es de t hores la poblaci´o es multiplica per un factor (1.05)t. Per tant busquem t tal que

(1.05)t^ = 2 ⇔ t · ln(1.05) = ln 2 ⇔ t =

ln 2 ln(1.05)

De manera que la poblaci´o es duplica cada 14.21 hores. Si la pregunta ´es quantes hores calen per tal que la poblaci´o es multipliqui per 5, far´ıem el mateix:

(1.05)t^ = 5 ⇔ t = ln 5 ln(1.05)

Per tant cada 32.99 hores la poblaci´o es multiplica per 5.

Exemple 4. Calculeu els temps de semidesintegraci´o d’una substancia radiactiva que es desintegra a ra´o del 0, 4% per any. En aquest cas si partim d’una quantitat de substancia N , despr´es de t anys n’hi haur`a N (0.996)t^ per tant si N es redueix a la meitat en t anys hem de tenir

N 2

= N (0.996)t

Simplificant i prenent logaritmes:

( (^1)

1. 996

)t = 2 ⇒ t = ln 2 ln( (^0). 9961 )

La conclusi´o ´es que el temps de semidesintegraci´o de la subst`ancia ´es, aproximadament, 173 anys.

L’ORDRE DE MAGNITUD DEL CREIXEMENT EXPONENCIAL

Suposem que agafem un full de paper i l’anem doblegant successivament. Com que el gruix d’un paper convencional ´es de 0.1 m.m , al cap de n doblegaments obtindrem un gruix de 2n(0.1) m.m. Quants doblegaments caldrien per tal que el gruix fos de l’al¸cada d’una persona? I de l’al¸cada d’un edifici de dos pisos? I de la distancia de la Terra al Sol? Com que la nostra intu¨ıci´o esta m´es acostumada als creixements lineals, les respostes s´on for¸ca sorprenents i il.lustren perfectament el creixement extraordinariament rapid de les funcions exponencials: amb n = 7 obtenim 12.8 m.m., el gruix d’un quadern. Amb n = 14 s’obt´e 1638.4 m.m = 163.84 c.m, l’al¸cada d’una persona , amb n = 17 arribem a 13.1072 m. , aproximadament l’al¸cada d’un edifici de dos pisos i amb nom´es n = 50, el resultat ´es

1. 126 · 108 Km. , aproximadament la dist`ancia de la terra al Sol.

El seg¨uent exemple il.lustra una altra propietat caracter´ıstica dels creixements exponencials. Suposem que en una habitaci´o de 12 × 6 × 4 m. es deixa caure una gota d’aigua. Al cap d’un minut, la gota

substancia [H+] (mol/l.) pHacid sulf´uric 10 −^1 suc llimona 10 −^2 suc taronja 10 −^3 caf`e 10 −^5 llet 10 −^6 aigua pura 10 −^7 aigua mar 10 −^8 llevat 10 −^9 llexiu 10 −^13

Terratr`emols. Escala Richter.

La Magnitud d’un terratr`emol a l’escala Richter es defineix per

R = log 10

( I

I 0

on I ´es la intensitat del terratremol, mesurada pel sismograf i I 0 ´es una certa amplitud estandard. Per exemple, un terratremol de magnitud 8 en l’escala de Richter, quantes vegades ´es m´es intens que un altre de magnitud 6? Com que l’escala Richter fa servir logaritmes amb base 10, cada increment de 10 vegades en la intensitat es tradueix en un increment d’una unitat en la magnitud. per tant un terratr`emol de magnitud 8 ´es 100 vegades m´es intense que un de magnitud 6. M´es quantitativament, si a¨ıllem I en la f´ormula anterior: I = I 0 · (10)R.

Escala de sons.

La relaci´o entre la intensitat I d’un so ( en watts /cm^2 ) i la magnitud M en decibels (db) ´es

M = 10 · log 10

( I

10 −^16

= 10 · log 10 (10^16 · I)

Per exemple, un so d’intensitat I = 10−^10 watts/cm^2 correspon a 60 db. Cada cop que la intensitat es multiplica( o es divideix) en un factor de 10, la magnitud s’incrementa ( o disminueix ) en 10 db. Aix´ı, un so 20 decibels m´es soroll´os que un altre ´es 100 vegades m´es intens.

FUNCIONS TRIGONOM`ETRIQUES I LES SEVES INVERSES

Les funcions sin x i cos x.

Al m´on f´ısic ens trobem molts fenomens que s´on periodics, o sigui, exhibeixen patrons que es repe- teixen despr´es d’un interval de temps fix. La ra´o de la importancia de les funcions trigonometriques ´es el fet que serveixen per modelitzar aquestes situacions. Diem que una funci´o f : R → R ´es pe- riodica si existeix un n´umero a > 0 tal que f (x + a) = f (x) per tot x ∈ R. Aixo vol dis que, quan avancem a unitats en la variable, el comportament de la funci´o es repeteix, o tamb´e que la grafica de f es repeteix despr´es d’un interval de longitud a. El prototipus de funcions periodiques s´on les funcions trigonometriques sin x i cos x, que tenen per´ıode 2π. Aixo vol dir que sin(x + 2π) = sin x i cos(x+2π) = cos x. Per tant les funcions trigonometriques s´on molt convenients per estudiar fenomens que varien periodicament en el temps. Per tenir una idea de com ´es la grafica de sin x i cos x, n’hi ha prou amb representar-les a l’interval [0, 2 π], a [−π, π] o a qualsevol altre interval de longitud 2π perque la grafica es repetira de forma periodica. Si b > 0, la funci´o sin(bx) t´e per´ıode (^2) bπ per tant funcions d’aquest tipus ens serviran per modelitzar fen`omens per´ıodics de per´ıode arbitrari.

La funci´o tan x.

Com que tan x = sin x cos x i els zeros de cos x s´on {(2n + 1) π 2 } , el domini de tan x sera R \ {(2n + 1) π 2 }. Ara la funci´o tan x ´es periodica de per´ıode π ( per qu`e? ) i per tant, n’hi ha prou amb analitzar-la en un interval de longitud π. Normalment es tria l’interval (−π/ 2 , π/2). En aquest interval, tan x ´es una funci´o creixent, i , a m´es limx→π/ 2 − tan x = +∞ i limx→−π/ 2 + tan x = −∞.

Funcions trigonom`etriques inverses.

Per definir les funcions trigonom`etriques inverses de les funcions sin x, cos x i tan x, primer de tot s’han de triar intervals on aquestes funcions tinguin inversa (siguin injectives). Per exemple, en el cas de sin x podem trial l’interval [−π/ 2 , π/2]. La inversa de la funci´o sin : [−π/ 2 , π/2] → [− 1 , 1] es diu arcsinus i es denota arcsin. La funci´o arcsin fa correspondre, a cada n´umero t de l’interval [− 1 , 1], l’´unic angle x ∈ [−π/ 2 , π/2] tal que sin x = t. Per exemple, arcsin 0 = 0, arcsin( 12 ) = π 6 , arcsin(− √^12 ) = − π 4. El domini de la funci´o arcsin ´es [− 1 , 1], i es tracta d’una funci´o creixent, amb arcsin(−1) = − π 2 , arcsin 1 = π 2.

En el cas de cos x triem [0, π] com a interval on cos x t´e inversa. La funci´o inversa es diu arccosinus, es denota per arccos, el seu domini ´es [− 1 , 1] i ´es decreixent, amb arccos(−1) = π, arccos 0 = π 2 i arccos 1 = 0.

La inversa de tan x : (−π/ 2 , π/2) → R es diu arctangent, es denota per arctan. El seu domini ´es R , ´es una funci´o creixent i, per exemple, arctan 0 = 0, arctan 1 = π 4 , limx→−∞ arctanx = − π 2 , limx→+∞ arctan x = π 2.