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Identidades trigonométricas
Definiciones:
tan 𝑥 =
sin 𝑥 cos 𝑥
cot 𝑥 =
tan 𝑥
cos 𝑥 sin 𝑥
sec 𝑥 =
cos 𝑥
csc 𝑥 =
sin 𝑥
Identidades pitagóricas: cos^2 𝑥 + sin^2 𝑥 = 1 cot^2 𝑥 + 1 = csc^2 𝑥 1 + tan^2 𝑥 = sec^2 𝑥
Identidades de la suma/resta angular: sin(𝑥 + 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑦 cos 𝑥 sin(𝑥 − 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑦 cos 𝑥 cos(𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑥 sin 𝑦 cos(𝑥 − 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑥 sin 𝑦
tan(𝑥 + 𝑦) =
tan 𝑥 + tan 𝑦 1 − tan 𝑥 tan 𝑦
tan(𝑥 − 𝑦) =
tan 𝑥 − tan 𝑦 1 + tan 𝑥 tan 𝑦
Identidades de ángulos dobles: sin(2𝑥) = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 cos(2𝑥) = cos^2 𝑥 − sin^2 𝑥 cos(2𝑥) = 2 cos^2 𝑥 − 1 cos(2𝑥) = 1 − 2 sin^2 𝑥
Identidades de ángulo medio:
sin^2 (
1 − cos 𝑥 2
cos^2 (
1 + cos 𝑥 2
Identidades aditivas:
sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin (
2 ) cos (
sin 𝑥 − sin 𝑦 = 2 cos (
) sin (
cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos (
) cos (
cos 𝑥 − cos 𝑦 = −2 sin (
) sin (
Identidades del producto:
sin 𝑥 cos 𝑦 =
[sin(𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 − 𝑦)]
cos 𝑥 sin 𝑦 =
[sin(𝑥 + 𝑦) − sin(𝑥 − 𝑦)]
cos 𝑥 cos 𝑦 =
[cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)]
sin 𝑥 sin 𝑦 =
[cos(𝑥 − 𝑦) − cos(𝑥 + 𝑦)]
Derivadas de funciones trigonométricas 𝐷𝑥(sin 𝑢) = 𝑢′^ cos 𝑢 𝐷𝑥(cos 𝑢) = −𝑢′^ sin 𝑢 𝐷𝑥(tan 𝑢) = 𝑢′^ sec^2 𝑢 𝐷𝑥(cot 𝑢) = −𝑢′^ csc^2 𝑢 𝐷𝑥(sec 𝑢) = 𝑢′^ sec 𝑢 tan 𝑢 𝐷𝑥(csc 𝑢) = −𝑢′^ csc 𝑢 cot 𝑢
Integrales de funciones trigonométricas ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = sin 𝑢 + 𝐶
∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = − ln|cos 𝑢| + 𝐶 = ln|sec 𝑢| + 𝐶
∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sin 𝑢| + 𝐶 = −ln|csc 𝑢| + 𝐶
∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢 + tan 𝑢| + 𝐶
∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = ln|csc 𝑢 − cot 𝑢| + 𝐶
∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶
∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶
∫ sec^2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶
∫ csc^2 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 𝑢 + 𝐶
Derivadas de funciones logarítmicas: 𝐷𝑥(ln 𝑢) =
𝐷𝑥(log𝑎 𝑢) =
ln 𝑎
Integrales que generan funciones logarítmicas: ∫
= ln|𝑢| + 𝐶 𝑢 ≠ 0
∫
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶^ 𝑓(𝑥) ≠ 0
Derivadas de funciones exponenciales: 𝐷𝑥(𝑒𝑢) = 𝑢′𝑒𝑢 𝐷𝑥(𝑎𝑢) = 𝑢′𝑎𝑢^ ln 𝑎
Integrales de funciones exponenciales: ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢^ + 𝐶
∫ 𝑎𝑢𝑑𝑢 =
ln 𝑎
Derivadas de funciones trigonométricas inversas: 𝐷𝑥(sin−1^ 𝑢) =
√1 − 𝑢^2
𝐷𝑥(cos−1^ 𝑢) =
√1 − 𝑢^2
𝐷𝑥(tan−1^ 𝑢) =
1 + 𝑢^2
𝐷𝑥(cot−1^ 𝑢) =
1 + 𝑢^2
𝐷𝑥(sec−1^ 𝑢) =
𝑢√𝑢^2 − 1
𝐷𝑥(csc−1^ 𝑢) =
𝑢√𝑢^2 − 1
Integrales que generan funciones trigonométricas inversas: ∫
√𝑎^2 − 𝑢^2
= sin−1^ (
𝑎^2 + 𝑢^2
tan−1^ (
𝑢√𝑢^2 − 𝑎^2
𝑎 sec
Ciclo 01- 2020 TODAS LAS SECCIONES
UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA “JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
Departamento de Matemática
Cálculo II (ING)
Funciones hiperbólicas:
sinh 𝑥 =
𝑒𝑥^ − 𝑒−𝑥
; cosh 𝑥 =
𝑒𝑥^ + 𝑒−𝑥
tanh 𝑥 =
𝑒𝑥^ − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥^ + 𝑒−𝑥^
; coth 𝑥 =
𝑒𝑥^ + 𝑒−𝑥
𝑒𝑥^ − 𝑒−𝑥
sech 𝑥 =
𝑒𝑥^ + 𝑒−𝑥^
; csch 𝑥 =
𝑒𝑥^ − 𝑒−𝑥
Identidades hiperbólicas: cosh^2 𝑥 − sinh^2 𝑥 = 1 coth^2 𝑥 − 1 = csch^2 𝑥 1 − tanh^2 𝑥 = sech^2 𝑥 sinh(2𝑥) = 2 sinh 𝑥 cosh 𝑥 cosh(2𝑥) = cosh^2 𝑥 + sinh^2 𝑥
cosh^2 𝑥 =
cosh(2𝑥) + 1 2
sinh^2 𝑥 =
cosh(2𝑥) − 1 2 Derivadas de funciones hiperbólicas: 𝐷𝑥(sinh 𝑢) = 𝑢′^ cosh 𝑢 𝐷𝑥(cosh 𝑢) = 𝑢′^ sinh 𝑢 𝐷𝑥(tanh 𝑢) = 𝑢′^ sech^2 𝑢 𝐷𝑥(coth 𝑢) = −𝑢′^ csch^2 𝑢 𝐷𝑥(sech 𝑢) = −𝑢′^ sech 𝑢 tanh 𝑢 𝐷𝑥(csch 𝑢) = −𝑢′^ csch 𝑢 coth 𝑢
Integrales de funciones hiperbólicas:
∫ sinh 𝑢 𝑑𝑢 = cosh 𝑢 + 𝐶
∫ cosh 𝑢 𝑑𝑢 = sinh 𝑢 + 𝐶
∫ tanh 𝑢 𝑑𝑢 = ln|cosh 𝑢| + 𝐶
∫ coth 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sinh 𝑢| + 𝐶
∫ sech 𝑢 𝑑𝑢 = tan−1(sinh 𝑢) + 𝐶
∫ csch 𝑢 𝑑𝑢 = ln |tanh (
∫ csch 𝑢 coth 𝑢 𝑑𝑢 = − csch 𝑢 + 𝐶
∫ sech 𝑢 tanh 𝑢 𝑑𝑢 = − sech 𝑢 + 𝐶
∫ sech^2 𝑢 𝑑𝑢 = tanh 𝑢 + 𝐶
∫ csch^2 𝑢 𝑑𝑢 = −coth 𝑢 + 𝐶
Funciones hiperbólicas inversas:
sinh−1^ 𝑥 = ln (𝑥 + √𝑥^2 + 1) ; −∞ < 𝑥 < ∞
cosh−1^ 𝑥 = ln (𝑥 + √𝑥^2 − 1) ; 𝑥 ≥ 1
tanh−1^ 𝑥 =
ln (
coth−1^ 𝑥 =
2 ln (
𝑥 − 1) ;^
sech−^1 𝑥 = ln (
1 + √ 1 − 𝑥^2
csch−^1 𝑥 = ln (
𝑥 +^
√ 1 + 𝑥^2
|𝑥| )^ ;^ 𝑥^ ≠^0
Derivadas de funciones hiperbólicas inversas:
𝐷𝑥(sinh−^1 𝑢) =
√ 1 + 𝑢^2
𝐷𝑥(cosh−^1 𝑢) =
√𝑢^2 − 1
𝐷𝑥(tanh−^1 𝑢)^ =
1 − 𝑢^2
; |𝑢|^ < 1
𝐷𝑥(coth−^1 𝑢) =
1 − 𝑢^2
𝐷𝑥(sech−^1 𝑢) = −
𝑢√ 1 − 𝑢^2
𝐷𝑥(csch−^1 𝑢)^ = −
|𝑢|√ 1 + 𝑢^2
Integrales que generan funciones hiperbólicas inversas: ∫
√𝑎^2 + 𝑢^2
= sinh−1^ (
𝑎) + 𝐶;^ 𝑎 > 0
√𝑢^2 − 𝑎^2
= cosh−1^ (
𝑎^2 − 𝑢^2
tanh−1^ (
) + 𝐶; 𝑢^2 < 𝑎^2
coth−1^ (
) + 𝐶; 𝑢^2 > 𝑎^2
𝑢√𝑎^2 − 𝑢^2
𝑎 sech
𝑎) + 𝐶;^ 0 < 𝑢 < 𝑎
𝑢√𝑎^2 + 𝑢^2
csch−1^ |
Técnicas de integración
Integración por partes: ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Integración por sustitución trigonométrica:
Expresión Sustitución Identidad Resultado √𝑎^2 − 𝑥^2 𝑥^ =^ asin^ 𝜃^ cos^2 𝑥^ =^1 −^ sin^2 𝑥^ acos^ 𝜃 √𝑎^2 + 𝑥^2 𝑥^ =^ atan^ 𝜃^ sec^2 𝑥^ =^ tan^2 𝑥^ +^1 asec^ 𝜃 √𝑥^2 − 𝑎^2 𝑥^ =^ asec^ 𝜃^ tan^2 𝜃^ =^ sec^2 𝜃^ −^1 atan^ 𝜃
Integración por fracciones parciales:
𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)
𝑎𝑛𝑥𝑛^ + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1^ + ⋯ + 𝑎 1 𝑥^1 + 𝑎 0
𝑏𝑚𝑥𝑚^ + 𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1^ + ⋯ + 𝑏 1 𝑥^1 + 𝑏 0
𝑛 ≥ 𝑚: 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎 𝑛 < 𝑚: 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎
Caso 1: 𝑄(𝑥) con factores lineales no repetidos ∫
𝑄(𝑥)^
Caso 2: 𝑄(𝑥) con factores lineales repetidos ∫
𝑄(𝑥) 𝑑𝑥^ =^ ∫^ (^
(𝑎 1 𝑥 + 𝑏 1 )𝑛^ +^
(𝑎 1 𝑥 + 𝑏 1 )𝑛−^1 +^ ⋯^ )^ 𝑑𝑥
Caso 3: 𝑄(𝑥) con factores cuadráticos no repetidos ∫
𝑄(𝑥)^
𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Caso 4: 𝑄(𝑥)^ con factores cuadráticos repetidos ∫
(𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛^
(𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛−^1
Integración por sustitución de Weierstrass Sea: 𝑡 = tan (
) ; sin 𝑥 =
1 + 𝑡^2
; cos 𝑥 =
1 − 𝑡^2
1 + 𝑡^2
1 + 𝑡^2
