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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE COMALCALCO.
Capítulo 2 Vibración libre de sistemas de un solo grado de libertad
Subtema 2.1 al 2.
Equipo Gauss
Materia:
Vibraciones Mecánicas
Integrantes.
Córdova González José del Carmen
De la Cruz Pérez Fernando Iván
Olan Hernández Luis Ángel
Pérez Veronico Edgar Iván
Valenzuela Gutiérrez Sergio Alberto
Docente:
Silvan Hernandez Cesar Bartolo
Carrera: Ing. Mecatronica Grupo: 6 B
Comalcalco, Tabasco. 26 de marzo 2020
Contenido
2.1 Introducción……………………………………………………………………………. 3
2.2 Vibración libre de un sistema
traslacional no amortiguado………………………………………………………………………… 6
2.2.2 Ecuación de movimiento
ocupando otro método……………………………………………………………………… 7
2.2.3 Ecuación de movimiento de sistema
de resorte-masa en posición vertical…………………………………………………………….... 8
2.2.4 Solución…………………………………………………………………………………. 9
2.2.5 Movimiento armónico……………………………………………………………… ....
2.6 Vibración libre con amortiguamiento viscoso……………………………………………….
2.6.1 Ecuación de movimiento……………………………………………………………….. 14
2.6.2 Solución ……………………………………………………………………………...... 14
2.6.3 Decremento logarítmico………………………………………………………………..... 16
2.6.4 Energía disipada en amortiguamiento viscoso 17
2.6.5 Sistemas torsionales con
amortiguamiento viscoso……………………………………………………………….... 19
2.7 Representación Gráfica De Raíces
Características Y Soluciones Correspondientes ……………………………………..……….. 22
2.8 Variaciones De Parámetros Y Representaciones
Del Lugar Geométrico De Las Raíces ……………………………………………….... 23
2.8.2 Lugar Geométrico De Las Raíces Y
Variaciones De Parámetro ……………………………………………………………… 25
2.9 Vibración libre con amortiguamiento de Coulomb ……………………………………….. 27
2.9.1 Ecuación de movimiento ………………………………………………………….... 27
2.9.2 Solución……………………………………………………………………………….. 28
2.9.3 Sistemas torsionales con
amortiguamiento de Coulomb…………………………………………………………. 29
Conclusión…………………………………………………………………………………………….. 31
Bibliografía…………………………………………………………………………………………….. 31
Como no hay elemento alguno que disipe energía durante el movimiento de la
masa, la amplitud del movimiento permanece constante con el tiempo; es un
sistema no amortiguado. En la práctica, excepto en el vacío, la amplitud de
vibración libre se reduce gradualmente al paso del tiempo por la resistencia
ofrecida por el medio circundante (digamos el aire). Se dice que tales
vibraciones son amortiguadas. El estudio de la vibración libre de sistemas de
un solo grado de libertad no amortiguados y amortiguados es fundamental para
entender temas de vibración más avanzados.
Varios sistemas mecánicos y estructurales se pueden idealizar como sistemas
de un solo grado de libertad. En muchos sistemas prácticos, la masa está
distribuida, pero para un análisis simple se
puede considerar como una sola masa puntual. Asimismo, la elasticidad del
sistema, la cual puede estar distribuida por todo el sistema, también se puede
idealizar como un solo resorte. Por ejemplo, para el sistema de seguidor y leva
que se muestra en el ejemplo 1.39, una masa equivalente ( m eq)
reemplazó a las varias masas en el ejemplo 1.7. Los elementos del sistema
seguidor (varilla de empuje, balancín, válvula y resorte de válvula) son
elásticos, pero pueden reducirse a un resorte
equivalente único de rigidez k eq. Para un análisis simple, el sistema leva-
seguidor puede idealizarse por lo tanto como un sistema de resorte-masa de un
solo grado de libertad, como se muestra en la figura 2.2.
Del mismo modo, la estructura que se muestra en la figura 2.3 puede
considerarse como una viga en voladizo empotrada en el suelo. Para estudiar
la vibración transversal, la masa de la parte superior se puede considerar como
una masa puntual y la estructura de soporte (viga) se puede representar como
un resorte para obtener el modelo de un solo grado de libertad que se ve en la
figura 2.4. La estructura del edificio de la figura 2.5(a) también puede
idealizarse como un sistema de resorte-masa, como se muestra en la figura
2.5(b). En este caso, como la constante de resorte k es simplemente la relación
de fuerza a deflexión, se puede determinar a partir de las propiedades
geométricas y materiales de las columnas. La masa del sistema idealizado es
igual a la del piso si suponemos que la masa de las columnas es insignificante.
Figura 2.3 La aguja espacial (estructura).
Figura 2.4 Modelado de una estructura alta como un sistema de resorte-masa.
Figura 2.5 Idealización de la estructura de un edificio.
Donde 𝑀
es el momento resultante que actúa en el cuerpo y 𝜃
y 𝜃
2
2
son
el desplazamiento angular resultante y la aceleración angular resultantes,
respectivamente. La ecuación (2.1) o la (2.2) representan la ecuación del movimiento
del sistema vibratorio.
La aplicación de la ecuación (2.1) a la masa m da la ecuación de movimiento
𝐹(𝑡) = −𝑘𝑥 = 𝑚𝑥̈ o 𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0
2.2.2 Ecuación de movimiento ocupando otro método
Principio de D’Alembert. Las ecuaciones de movimiento, (2.1) y (2.2), se pueden
volver a escribir como
Estas ecuaciones pueden considerarse como ecuaciones de equilibrio siempre que
y −𝑗𝜃
se traten como una fuerza y un momento. Esta fuerza ficticia (o momento)
se conoce como fuerza de inercia (o momento de inercia) y el estado artificial de
equilibrio implicado por la ecuación (2.4a) o la (2.4b) se conoce como equilibrio
dinámico. Este principio, implicado en la ecuación (2.4a) o la (2.4b), se conoce como
principio de D’Alembert. Aplicándolo al sistema de la figura 2.1(c) se obtiene la
ecuación de movimiento:
Principio de desplazamientos virtuales. El principio de desplazamientos virtuales
establece que “si un sistema que está en equilibrio por la acción de un conjunto de
fuerzas se somete a un desplazamiento virtual, entonces el trabajo virtual total
realizado por la fuerza será cero”. En este caso el desplazamiento virtual se define
como un desplazamiento infinitesimal imaginario instantáneo. Debe ser un
desplazamiento físicamente posible compatible con las restricciones del sistema. El
trabajo virtual se define como el realizado por todas las fuerzas, incluidas las de inercia
en un problema dinámico, producidas por un desplazamiento virtual.
Trabajo virtual realizado por la fuerza del resorte 𝛿𝑊 𝑠
Trabajo virtual realizado por la fuerza de inercia 𝛿𝑊 𝑖
Cuando el trabajo virtual total realizado por todas las fuerzas se hace igual a cero,
obtenemos
Como el desplazamiento virtual puede tener un valor arbitrario,𝛿𝑥 = 0 , la ecuación
(2.5) da la ecuación de movimiento del sistema de resorte-masa como
Principio de conservación de la energía. Como la energía de un sistema vibratorio
es parcialmente potencial y parcialmente cinética, la suma de estas dos energías
permanece constante. La energía cinética T se almacena en la masa por efecto de su
velocidad y la energía potencial U se almacena en el resorte a causa de su
deformación elástica. Por lo tanto, el principio de conservación de energía se expresa
como:
T + U = constante
O
Las energías cinética y potencial resultan de
(2.7) y
La sustitución de las ecuaciones (2.7) y (2.8) en la ecuación (2.6) da por resultado la
ecuación deseada
2.2.3 Ecuación de movimiento de un sistema de resorte-masa en posición
vertical
La masa cuelga en el extremo inferior del resorte, el cual a su vez está fijo por su
extremo superior a un soporte rígido. En reposo, la masa colgará en una posición
llamada posición de equilibrio estático , en la cual la fuerza del resorte dirigida hacia
arriba balancea con exactitud la fuerza de gravedad dirigida hacia abajo que actúa en
la masa. En esta posición la longitud del resorte es 𝑙 0
𝑒𝑠𝑡
, donde 𝛿
𝑒𝑠𝑡
es la deflexión
Donde 𝑖 = (− 1 )
1 / 2
y
La ecuación (2.12) se conoce como ecuación auxiliar o característica correspondiente
a la ecuación diferencial (2.3). Los dos valores de s dados por la ecuación (2.13) son
las raíces de la ecuación característica, también conocidas como valores eigen o
valores característicos del problema. Como ambos valores de s satisfacen la ecuación
(2.12), la solución general de la ecuación (2.3) puede expresarse como
donde C 1 y C 2 son constantes. Utilizando identidades
La ecuación (2.15) se puede volver a escribir como
donde A 1 y A 2 son constantes nuevas. Las constantes C 1 y C 2 o A 1 y A 2 se
determinan a partir de las condiciones iniciales del sistema. Se tienen que especificar
dos condiciones para evaluar estas constantes de forma única. Observemos que el
número de condiciones que se tiene que especificar es igual al orden de ecuación
diferencial regente. En este caso, si los valores de desplazamiento x ( t ) y velocidad
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) (𝑡) se especifican como 𝑥
0
y 𝑥
0
en 𝑡 = 0 , tenemos, de acuerdo con la
ecuación (2.16),
Por consiguiente 𝐴
1
0
y 𝐴
2
0
𝑛
. Por lo tanto la solución de la ecuación (2.3)
sujeta a las condiciones iniciales de la ecuación (2.17) está dada por
2.2.5 Movimiento armónico
Las ecuaciones (2.15), (2.16) y (2.18) son funciones de tiempo armónicas. La cantidad
𝑛
dada por la ecuación (2.14) representa la frecuencia natural de vibración del
sistema.
La ecuación (2.16) se puede expresar en una forma diferente si introducimos la
notación
donde A y ∅ son las constantes nuevas, las cuales se pueden expresar en función de
1
y 𝐴
2
como
Si introducimos la ecuación (2.19) en la ecuación (2.16), la solución puede escribirse
como
Utilizando las relaciones
La ecuación (2.16) también puede expresarse como
Donde
Y
La naturaleza de la oscilación armónica se puede representar gráficamente como en la
figura 2.8(a).
Ejemplo 2.1 respuesta armónica de un tanque de agua
Y por consiguiente
la frecuencia natural del tanque de agua en la dirección transversal está dada por
El periodo natural de la vibración transversal del tanque está dado por
b. Utilizando el desplazamiento inicial de 𝑥
0
= 10 𝑝𝑢𝑙𝑔 y la velocidad del tanque de
agua (𝑥 0
) como cero, la respuesta armónica del tanque de agua puede expresarse,
utilizando la ecuación (2.23), como
donde la amplitud del desplazamiento transversal (𝐴 0
) ésta dado por
Y el ángulo de fase
por
Por lo tanto
c. La velocidad del tanque de agua se determina diferenciando la ecuación (E.1) como
Y por consiguiente
La aceleración del tanque de agua se determina diferenciando la ecuación (E.2) como
y por consiguiente el valor máximo de la aceleración está dado por
2.6 Vibración libre con amortiguamiento viscoso
Ecuación de movimiento
2.6.1 Ecuación de movimiento
La fuerza de amortiguamiento viscoso F es proporcional a la velocidad x o v y
se expresa como
donde c es la constante de amortiguamiento o coeficiente de amortiguamiento
viscoso y el signo indica que la fuerza de amortiguamiento se opone a la
dirección de la velocidad. En la figura 2.21 se muestra un sistema de un solo
grado de libertad con un amortiguador viscoso. Si x se mide a partir de la
posición de equilibrio de la masa m, la aplicación de la ley de Newton da por
resultado la ecuación de movimiento:
2.21 Sistema de un solo grado de libertad con amortiguador viscoso.
2.6.2 Solución
Para resolver la ecuación (2.59), suponemos una solución en la forma
2.6.3 Decremento logarítmico
El decremento logarítmico representa la velocidad a la cual se reduce la
amplitud de una vibración libre amortiguada. Se define como el logaritmo
natural de la relación de cualquiera de las dos amplitudes sucesivas. Sean t1 y
t2 los tiempos correspondientes a dos amplitudes sucesivas (desplazamientos),
medidas un ciclo aparte para un sistema subamortiguado, como en la figura
2.22. Utilizando la ecuación (2.70), podemos formar la relación
El decremento logarítmico d se obtiene por la ecuación
Para amortiguamiento pequeño, la ecuación (2.85) se puede escribir como
Si no se conoce el amortiguamiento en el sistema dado, podemos determinarlo
experimentalmente midiendo cualquiera de los dos desplazamientos
consecutivos x1 y x2. Tomando el logaritmo natural de la relación de x1 y x2,
obtenemos d. Si utilizamos la ecuación (2.87), podemos calcular la relación de
amortiguamiento z. De hecho, la relación de amortiguamiento también se
puede determinar midiendo dos desplazamientos separados por cualquier
número de ciclos completos. Si x1 y xm+1 indican las amplitudes
correspondientes a los tiempos t1 y tm+1 5 t1 1 mtd, donde m es un entero,
obtenemos
Como cualquiera de los dos desplazamientos sucesivos separados por un ciclo
satisfacen la ecuación
La ecuación se vuelve
Las ecuaciones dan por resultado
2.6.4 Energía disipada en amortiguamiento viscoso
En un sistema viscosamente amortiguado, la velocidad de cambio de energía
con el tiempo (dW/dt) es
utilizando las ecuaciones (2.85) y (2.88). La cantidad DW/W se llama cantidad
de amortiguamiento específica y es útil al comparar la capacidad de
amortiguamiento de materiales de ingeniería. También se utiliza otra cantidad
conocida como coeficiente de pérdida para comparar la capacidad de
amortiguamiento de materiales de ingeniería. El coeficiente de pérdida se
define como la relación de la energía disipada por radián y la energía de
deformación total:
coeficiente de pérdida
2.6.5 Sistemas torsionales con amortiguamiento viscoso
Los métodos presentados en las secciones 2.6.1 a 2.6.4 para vibraciones
lineales con amortiguamiento viscoso se pueden extender directamente a
vibraciones torsionales (angulares) viscosamente amortiguadas. Para esto,
considere un sistema torsional de un solo grado de libertad con un
amortiguador viscoso, como se muestra en la figura 2.28(a). El par de torsión
de amortiguamiento viscoso es (figura 2.28(b):
donde ct es la constante de amortiguamiento torsional viscoso, u ª = du/dt es la
velocidad angular del disco, y el signo negativo denota que el par de torsión de
amortiguamiento se opone a la dirección de la velocidad angular. La ecuación
de movimiento se deriva como
donde J0 5 momento de inercia de masa del disco, kt 5 constante de resorte
del sistema (par de torsión de restauración por unidad de desplazamiento
angular), y u 5 desplazamiento angular del
disco. La solución de la ecuación (2.102) se determina con exactitud como en
el caso de vibración lineal. Por ejemplo, en el caso subamortiguado, la
frecuencia de vibración amortiguada es
Donde
Y
donde ctc es la constante de amortiguamiento torsional crítica.
