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Tema 1. Introducción

Irene García Garrido

Técnicas Cuantitativas II Curso 2022-

Índice

(^1) Introducción (^2) Algunos modelos continuos de variable aleatoria Distribución uniforme continua o rectangular Distribución Normal Convergencias en distribución. Aproximaciones de una distribución de probabilidad por otra Distribución exponencial Distribución Gamma Distribución Beta (^3) Distribuciones asociadas a la Ley Normal Distribución Chi-Cuadrado de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Snedecor (^4) Conceptos de muestra y estadístico Muestra Estadístico (^5) Valor esperado y varianza de la media muestral (^6) Valor esperado de la varianza muestral y de la cuasivarianza muestral (^) 2 / 81

Algunos modelos continuos de variable aleatoria

La metáfora del pret â portet

¾Qué ocurre cuando queremos comprar unos pantalones? Acudimos a una tienda de moda y: Pensamos cuáles son nuestras características. Elegimos el modelo que creemos que mejor nos va. Buscamos la talla, según nuestras características.

En el caso de las variables aleatorias: Nuestras características son las posibles observaciones (o la información) que tenemos sobre la v.a. Los modelos de la tienda son los modelos teóricos que vamos a estudiar. La talla son los parámetros de los modelos teóricos.

Algunos modelos continuos de variable aleatoria

En este apartado se van a presentar distribuciones de probabilidad en las que las variables son continuas.

Cada modelo se presenta según las hipótesis y condiciones bajo las cuales aparece la distribución.

Estos modelos son útiles para modelizar situaciones reales en múltiples campos del conocimiento.

De cada modelo se estudia su signicado, características y aplicaciones más relevantes.

Algunos modelos continuos de variable aleatoria Distribución uniforme continua o rectangular

Distribución uniforme continua o rectangular

Denimos la distribución uniforme para un intervalo cerrado [a, b], aunque se podría considerar igualmente [a, b), (a, b] o (a, b), pues para v.a. continuas, el valor de la función de densidad en un número nito de puntos es irrelevante. Denición Una v.a. X, de tipo continuo, sigue una distribución uniforme en el intervalo [a, b] con −∞ < a < b < +∞, si su función de densidad es constante en dicho intervalo o, equivalentemente:

f (x) =

b − a , a ≤ x ≤ b

0 , en otro caso

Se nota por X → U(a, b).

Algunos modelos continuos de variable aleatoria Distribución uniforme continua o rectangular

Distribución uniforme continua o rectangular

Se puede comprobar fácilmente que la expresión anterior es una verdadera función de densidad: (^1) f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ R

2

−∞

f (x) dx = 1

∫ (^) +∞

−∞

f (x) dx =

∫ (^) b

a

b − a

dx =

b − a

[x]ba = b − a b − a

Algunos modelos continuos de variable aleatoria Distribución uniforme continua o rectangular

Características

(a) Función de densidad. (b) Función de distribución.

Figura: Variable aleatoria con distribución Uniforme.

Algunos modelos continuos de variable aleatoria Distribución uniforme continua o rectangular

Características

Esperanza matemática (o media):

E [X ] =

a + b 2 (punto medio del intervalo)

E [X ] =

∫ (^) +∞

−∞

xf (x) dx =

∫ (^) b

a

x 1 b − a dx = 1 b − a

∫ (^) b

a

x dx = 1 b − a

[ x^2 2

]b

a

1 b − a

b^2 − a^2 2 = (b + a)(b − a) 2 (b − a) = a + b 2 Varianza: Var [X ] =

(b − a)^2 12

Var [X ] = E [X 2 ] − (E [X ])^2 = b^3 − a^3 3 (b − a) −

( a + b 2

) 2

b^3 − a^3 3 (b − a) − (a + b)^2 4 = (b − a)^2 12

E [X 2 ] =

∫ (^) +∞

−∞

x^2 f (x) dx =

∫ (^) b

a

x^2 1 b − a dx = 1 b − a

∫ (^) b

a

x^2 dx = 1 b − a

[ x^3 3

]b

a

1 b − a

b^3 − a^3 3 = b^3 − a^3 3 (b − a)

Algunos modelos continuos de variable aleatoria Distribución uniforme continua o rectangular

Ejemplo

EJEMPLO:

El tiempo en minutos que tarda un señor para ir de su casa al trabajo oscila de forma uniforme entre 20 y 30. Si debe llegar al trabajo a las 8 de la mañana, ¾a qué hora debe salir de su casa para tener una probabilidad de 0.9 de no llegar tarde? Calcular el tiempo medio que tarda en ir de casa al trabajo y la desviación típica.

Algunos modelos continuos de variable aleatoria Distribución Normal

Distribución Normal

Es la distribución más importante y de mayor uso en la Teoría de la Probabilidad y la Estadística Matemática.

Esta distribución es la base de la aplicación de la Inferencia Estadística en el análisis de datos, puesto que las distribuciones de muchos estadísticos muestrales tienden a la distribución normal cuando el tamaño de la muestra crece.

Por la forma de la distribución y porque fue Gauss quien la citó en algunos de sus artículos, se le conoce también como campana de Gauss o distribución Gaussiana.

El propio nombre de la distribución normal indica su frecuente uso en cualquier ámbito cientíco y tecnológico.

Algunos modelos continuos de variable aleatoria Distribución Normal

Distribución Normal

Denición Una v.a. X, de tipo continuo, sigue una distribución Normal de parámetros μ y σ^2 , μ ∈ R, σ^2 > 0, si su función de densidad es

f (x) =

2 πσ^2

e−^

(x−μ)^2 2 σ^2 , −∞ < x < +∞.

Se nota por X → N (μ, σ^2 ).

Estos parámetros, μ y σ^2 (o σ), son la media y varianza (o desviación típica), respectivamente, de la v.a. X.

Algunos modelos continuos de variable aleatoria Distribución Normal

Características

Función de densidad de una v.a. con distribución normal. Tiene forma de campana y de ahí que usualmente se la conozca como campana de Gauss. El parámetro μ corresponde al máximo y al centro de la distribución y el parámetro σ^2 inuye en la apertura y aplastamiento o apuntamiento de la curva. Los valores de abscisas μ ± σ son puntos de inexión. Además μ es la moda y, al ser simétrica, coincide con la media y la mediana.

Algunos modelos continuos de variable aleatoria Distribución Normal

Características

Función de distribución:

F (x) =

2 πσ^2

∫ (^) x

−∞

e−^

(t−μ)^2 2 σ^2 dt, ∀x ∈ R

y coincide con el área entre la curva y = f (x) y el eje de abscisas entre −∞ y x.

Función de distribución de una v.a. con distribución normal.

Algunos modelos continuos de variable aleatoria Distribución Normal

Características

Esperanza matemática (o media) y varianza:

E [X ] = μ, Var [X ] = σ^2