Propiedades Matemáticas de los Números Reales: Axiomas y Operaciones - Prof. Morales, Guías, Proyectos, Investigaciones de Biomecánica

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MATERIA: CÁLCULO

UNIDAD I VARIABLES Y FUNCIONES

Nombre del Maestro:

Eduardo Eladio Vargas Méndez

Febrero 2017

• Unidad I. Variables y funciones.
• 1.1 Clasificación de los números.
• 1.1.2 Números Naturales.
• 1.1.3 Números Enteros.
• 1.1.4 Números Racionales.
• 1.1.5 Números Irracionales.
• 1.1.6. Números reales.
• 1.2 Propiedades de los Números reales.
• Axioma 1. Conmutativa.
• A) Suma
• B) Multiplicación
• Axioma 2. Asociativa.
• A) Suma
• B) Multiplicación
• Axioma 3. Axioma distributiva.
• A) Suma
• B) Multiplicación
• Axioma 4. Elemento neutro.
• A) Suma
• B) Multiplicación
• Axioma 5. Elementos inversos.
• A) Suma
• B) Multiplicación

Para ello existen propiedades o axiomas que se usan ya durante varios años, por lo cual se hace la definición de axioma y así veremos los axiomas correspondientes a este conjunto de números. Axioma: Es una regla o propiedad que admitimos como cierta sin demostración. Axioma 1. Conmutativa. A) Suma Cualesquiera que sean los reales x, y dados, su suma es un real independiente del orden en que se usen los dos sumandos, es decir: (∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅) (^) 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 La simbología significa ∀ 𝑥, 𝑦 = 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑥 𝑜 𝑦, ∈ 𝑅 = 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒𝑛 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 B) Multiplicación Para el producto se cumple la misma propiedad, es decir: (∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅) 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 Para poder demostrar los axiomas se pueden usar términos en variables o términos constantes. Ejemplos: Sea x=3, y=2, demostrar que se cumplen el axioma de conmutativa: 𝑠𝑢𝑚𝑎: 3 + 2 = 2 + 3 5 = 5 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛: (3)(2) = (2)(3) 6 = 6 Axioma 2. Asociativa. A) Suma (∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅) 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 B) Multiplicación (∀ 𝑥, 𝑦 , 𝒛 ∈ 𝑅) (^) 𝑥(𝑦𝒛) = (𝒙𝒚)𝒛 Ejemplos: Sea x=3, y=2, z=1, demostrar que se cumplen el axioma de Asociativa: 𝑠𝑢𝑚𝑎: 3 + (2 + 1) = (2 + 3) + 1 3 + 3 = 5 + 1 6 = 6

Axioma 3. Axioma distributiva. A) Suma (∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅) 𝑥(𝑦 + 𝑧) = (𝑥)(𝑦) + (𝑥)(𝑧) B) Multiplicación (∀ 𝑥, 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝑅) (𝑥 + 𝑦)(𝑧) = (𝑥𝑧) + (𝑦𝑧) Ejemplos: Sea x=2a, y=b, z=-3c, demostrar que se cumplen el axioma de Asociativa: 𝑠𝑢𝑚𝑎: 2𝑎(𝑏 − 3𝑐) = (2𝑎)(𝑏) + (2𝑎)(−3𝑐) 2𝑎𝑏 − 6𝑎𝑐 = 2𝑎𝑏 − 6𝑎𝑐 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛: (2𝑎 + 𝑏)(−3𝑐) = (2𝑎)(−3𝑐) + (𝑏)(−3𝑐) −6𝑎𝑐 − 3𝑏𝑐 = −6𝑎𝑐 − 3𝑏𝑐 Axioma 4. Elemento neutro. A) Suma (∀ 𝑥 ∈ 𝑅) (^) 𝑥 + 0 = 𝑥 B) Multiplicación (∀ 𝑥 ∈ 𝑅) (𝑥)(1) = 𝑥 Axioma 5. Elementos inversos. A) Suma (∀ 𝑥 ∈ 𝑅) 𝑥 + (−𝑥) = 0 B) Multiplicación (∀ 𝑥 ∈ 𝑅) (𝑥) (^1 𝑥) = 1 Ejercicios: Estos ejercicios se proponen para realizar en casa para reforzar el tema visto en clase:

1. Sea a=5 b=3 y c=-1, demuestra que se cumplen los axiomas.
2. Sea a=x b=3x y c=-5x demuestra que se cumplen los axiomas.
3. Si (3+2)(-1)=-5, demuestra por axioma que el resultado se cumple.