Retos matemáticos, Ejercicios de Matemáticas

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y retaba a los lectores a recorrerlas todas y volver a la salida sin pasar dos veces por el mismo lugar. Unos 120.000 internautas pincharon el vídeo y 3.400 enviaron sus soluciones. Acababan de nacer, con un éxito inesperado para sus promotores, nuestros desafíos matemáticos. No es tan difícil triunfar un día. Lo complicado era mantener el pulso durante 30 semanas, que luego fueron diez más, en parte porque el éxito de nuestros problemas llevó a marketing a prolongar la promoción. Pero entre todos lo conseguimos. Adolfo movilizó a matemáticos de toda España para que plantearan los desafíos y hasta logró que el futbolista internacional Juan Mata propusiera uno de ellos. Yo prolongué mi jornada para que, más o menos puntualmente, salieran los retos y las soluciones, y adonde no pude llegar llegó la generosidad de mi compañero José Luis Aranda, cómplice de esta aventura. Y la profesionalidad y la paciencia de los chicos de Multimedia, Paula Casado, Álvaro Rodríguez de la Rúa y Luis Almodóvar, se plasmaron en unos vídeos de estupenda calidad. Ya lo sé: tampoco inventamos la rueda. Fue una iniciativa simpática, original y didáctica que tuvo cierta repercusión, aunque sin trascendencia cósmica. Pero me hacía ilusión contarles cómo arrancó porque tras 15 años en este oficio del periodismo, y hasta ahora que emprendo una aventura al otro lado del océano, es el proyecto del que estoy más orgulloso, en el que he puesto más cariño y el que me ha hecho más feliz. Aclaro que no soy experto en números. Estudié bachillerato mixto, me quedé en las integrales y las derivadas y no sacaba las mejores notas en esa asignatura. Pero desde niño, seguramente por influjo de mi abuelo Manolo, me apasionan la matemática recreativa y los acertijos de lógica. Me encantan y voy más allá: creo que al que no le gusten es porque no se ha puesto a ello, por pereza o por un trauma infantil provocado por alguna mala pedagogía. Lo siento, en eso soy absolutamente intransigente. Y para animar a quienes tuercen el gesto cuando se enfrentan a un desafío más complicado que una suma, voy a explicar los dos mejores motivos que encuentro para amar esta ciencia. A ver si evangelizo a algún escéptico. Primero, las matemáticas son divertidas. Me ofrecen un entretenimiento barato, sano e inagotable. Les cuento un ejemplo: hace un mes compré un libro con problemas

numéricos y de ingenio. Resolví bastantes pero uno se me resistió, lo memoricé y desde entonces lo uso como antídoto contra el aburrimiento. Cuando el metro se para entre dos estaciones, en los viajes trasatlánticos en los que ya no sé como distraerme, cuando intento dormir y el sueño no llega, hago gimnasia mental y pienso en el problema. Sé que algún día lo resolveré y, les garantizo, sentiré una alegría no menor a la del futbolista que marca un gol en un partido clave o a la del arqueólogo que encuentra el sarcófago de un faraón tras meses de picar piedra. Y segundo, dan certezas. A las personas moderadas, que vemos grises donde otros ven blancos y negros, nos cuesta expresar ideas demasiado contundentes sobre casi nada y agradecemos que los números nos den verdades indubitables a las que agarrarnos. Me cuesta ensalzar o denostar de plano, sin hacer muchos matices, la labor de un político o el juego de un equipo de fútbol. Pero puedo llegar a la violencia (verbal) si alguien pone en duda que los números primos son infinitos. Porque sé demostrar que no se terminan nunca, igual que no se acaba la felicidad que pueden proporcionarnos las matemáticas si tenemos la paciencia de escucharlas. Bernardo Marín García , periodista responsable de la delegación de El País en México.

cada uno proponía. Estamos, por tanto, convencidos de que los cuarenta desafíos volverán a ser interesantes también para quienes se enfrentaron a ellos ya en 2011. Si los resolvieron todos (algún caso hubo), ahora encontrarán material complementario y otras referencias; si alguno se les resistió, el contexto les ayudará a resolverlo. Y para quienes no se atrevieron o no llegaron a conocer la iniciativa en la web, podrán enfrentarse, con calma y siguiendo el orden que deseen, a cuarenta desafíos matemáticos muy diversos que no requieren grandes conocimientos técnicos. La diversidad es, en mi opinión, uno de los valores que aporta el formato elegido. El libro no está concebido como un material didáctico que enseñe a resolver problemas, sino como una colección de retos para la mente inquieta. Por eso elegimos el nombre “desafíos” (y no “problemas”) y por eso se ha respetado la forma de exponerlos de los distintos autores. De hecho pensamos que abordar estos desafíos puede suponer, salvando las evidentes distancias, una experiencia similar a la que se tiene cuando se hace investigación en matemáticas.

• Al contrario de lo que sucede habitualmente en la enseñanza reglada, los investigadores se enfrentan a problemas^2 que no están clasificados: se tiene una idea de en qué campo se enmarca, pero no se sabe si es un “problema de…”.
• No se conoce a priori qué herramientas habrá que usar para resolverlos.
• Unos problemas se resisten más que otros. Y no siempre está claro al empezar a trabajar cuánto se van a resistir. Por eso es frecuente que los investigadores den vueltas a varios problemas simultáneamente, pasando de uno a otro, bien para refrescarse pensando de un modo distinto, bien confiando en que las ideas que resulten útiles en un caso puedan ayudar en otro.
• Unas veces las soluciones cierran completamente un problema concreto; otras veces de la solución surgen nuevos casos o generalizaciones de interés. En ocasiones, lo que empezó como una pregunta específica adquiere vida propia y da lugar a toda una teoría. Hemos intentado reflejar todo esto en la estructura y presentación del libro:

• Los desafíos están ordenados en diez capítulos temáticos con fronteras difusas (¿no son acaso geometría los triángulos?). La decisión sobre dónde poner cada uno ha sido fundamentalmente “estética”: si al lector le ha gustado un desafío, quizá disfrute con los demás del capítulo. Pero, teniendo en cuenta lo personal de los gustos, no garantizamos haber acertado.
• La clasificación por capítulos tiene poco que ver con las herramientas que se han de utilizar en los desafíos. Por supuesto, como sucede en la investigación, hay técnicas que se sabe que son útiles en un determinado campo. Por ejemplo, es importante conocer propiedades y fórmulas para los triángulos. Pero también hay herramientas que se pueden utilizar en contextos variados. Un caso notable en este libro es el llamado “principio del palomar”. El lector lo encontrará varias veces en distintos capítulos, pero no necesita saber su nombre para usarlo (también esto es frecuente en investigación). En todo caso, lo más importante para resolver los desafíos es el ingenio y la perseverancia. Los conocimientos técnicos necesarios no superan en ningún caso los del bachillerato de Ciencias. Es más, me atrevo a decir que, con la excepción quizá del capítulo dedicado a la probabilidad, todos los desafíos se pueden resolver con lo que se aprende hasta los dieciséis años y pensando ordenadamente. Y en muchos solo hace falta pensar ordenadamente, así que no hay límite (ni inferior ni superior) de edad para atacarlos.
• El libro es una obra colectiva, pero no conjunta. Aparte de los obvios requisitos editoriales, cada uno de los autores (o equipos de autores) ha tenido libertad para presentar su contribución como ha considerado más oportuno. Resulta así que los cuarenta desafíos son totalmente independientes, tanto en contenido como en estilo. Se puede decidir qué orden seguir, dejar uno para más tarde, pensar en varios a la vez, abandonar los que no nos resulten atractivos o, por el contrario (ya hemos mencionado lo personal de los gustos), enfrascarse en alguno que nos atraiga especialmente hasta seguir todas las pistas abiertas en la correspondiente sección “Más información”.
• La diversidad alcanza también a esas secciones de “Más información”. Algunos desafíos se abren y cierran casi en sí mismos. Otros son un pico en

jerga técnica) que garantiza, sin dejar lugar a dudas, llegar al resultado deseado”. Y de paso alguno de los desafíos nos adentra en áreas que son de gran importancia en las aplicaciones de las matemáticas. La palabra “Aritmética” en el título del capítulo 6 no se refiere a operar con las cuatro reglas, sino a estudiar las propiedades profundas de los números enteros y, por tanto, sus cinco desafíos podrían encuadrarse en lo que en matemáticas se conoce como Teoría de Números. El lector podrá ver en acción algunas ideas básicas de este campo y encontrará alguna información sobre la aplicación de la matemática avanzada a la criptografía. El capítulo 7, “Recubrimientos”, es quizá el más homogéneo. Sus tres desafíos se preguntan cómo cubrir una mesa con piezas, manteles o círculos. Podría parecer lo mismo, pero el lector que aborde los tres descubrirá que no siempre problemas parecidos se resuelven de la misma manera. El capítulo 8 se llama “¡Vaya números!”. Podríamos haber incluido sus tres desafíos en el capítulo sobre aritmética, pero hemos decidido agruparlos en un capítulo separado para destacar su característica común: los números que se buscan son tan grandes que es literalmente imposible resolver los desafíos probando casos con ayuda de un ordenador. Los ordenadores son, sin duda, una herramienta cada vez más útil, también para los matemáticos, pero no es posible sustituir completamente la matemática por ellos. El capítulo 9, “Probabilidad”, puede parecer un poco más técnico que los demás. Pero el lector no debe arredrarse: para atacar los tres desafíos no son necesarios conocimientos profundos. Y al final, aunque no se mencionen, se habrá aprendido algo sobre conceptos tan esotéricos (y tan útiles) como los procesos estocásticos o la forma de generar números aleatorios. Teniendo en cuenta que el estudio de la probabilidad tiene su origen en los juegos de azar, no es de extrañar que uno de los desafíos sea sobre apuestas. La “Geometría” del capítulo 10 ya había aparecido en los capítulos sobre triángulos y recubrimientos, pero aquí se reúnen cinco desafíos en los que se trata de construir objetos geométricos que resuelvan distintos problemas. Entre ellos los hay de optimización, y uno sirve como excusa para hablar de algo tan importante como la clasificación de superficies. ¡Que los disfrutéis!

Agradecimientos

Sin Bernardo Marín, Berni para los amigos, que tuvo la idea original de “los desafíos matemáticos”, el proyecto no habría nacido. Y sin José Luis Aranda, que se ocupó de él cuando las obligaciones profesionales de Berni lo llevaron por otros derroteros, sin duda habría descarrilado. A estos dos periodistas, demostración viva de que ciencias y letras no son conceptos antagónicos, mi más sincero agradecimiento. Por todo. Y a Berni, además, por aceptar prologar el libro. El diario El País mantuvo durante cuarenta semanas los desafíos matemáticos en la portada de su web. Y, cuando eso acabó, Editorial SM recogió con entusiasmo el testigo de plasmar en papel el proyecto. Que estos dos grandes grupos hayan colaborado con la iniciativa más visible de nuestro centenario merece el reconocimiento y un profundo agradecimiento por parte de la RSME. La pieza imprescindible en todo esto han sido los autores, que prepararon desafíos, en ocasiones con muy poco tiempo, superaron el miedo que (puedo asegurarlo) provocan las cámaras y, ahora, han vuelto a buscar tiempo para dar a los desafíos una forma adecuada a su publicación como libro. A todas y a todos, a los cincuenta y nueve sin excepción, ¡muchas gracias! Y, siendo sesenta los autores, todavía quedan muchos colaboradores entre bambalinas fundamentales para el éxito de la misión: Julio Bernués, que coordinó los desafíos de Zaragoza (aunque debe quedar claro que Julio es oscense); Rafael Crespo, que hizo la misma tarea en Valencia (los coordinadores en otras ciudades figuran entre los autores); y la gente del Proyecto Estalmat, Marta Berini y Antoni Gomà en Cataluña y María Gaspar y Eugenio Hernández en Madrid, quienes, desde su inmensa experiencia, nos ayudaron en la búsqueda de autores y desafíos. Este libro es también vuestro. Y, por último, mi equipo, sin el que los desafíos habrían acabado mucho antes del número cuarenta (o yo habría muerto en el intento): M.ª Jesús Carro, Patricio Cifuentes, Javier Cilleruelo y María Moreno. Muchas gracias por estar siempre disponibles. Os debo una (o dos). Adolfo Quirós Gracián Universidad Autónoma de Madrid Coordinador de los Desafíos del Centenario de la RSME

Capítulo 1

Estrategia

Cómo elegir

un equipo goleador

Juan Mata

En un colegio, dos alumnos que son porteros de fútbol deciden organizar un partido de fin de curso. Formarán los equipos eligiendo cada uno diez jugadores, chicos y chicas, entre veinte de sus compañeros. Para ello, los veinte jugadores se ponen en fila y cada uno de los porteros ha de ir escogiendo de manera alternativa a uno de los dos jugadores que vayan quedando en los extremos de la fila. Los porteros conocen el número de goles que cada uno de los jugadores marcaron en un torneo anterior. El objetivo de ambos es conseguir un equipo tal que la suma de goles marcada por sus jugadores en el torneo anterior sea superior a la del equipo contrario. Por ejemplo^1 , si en la camiseta de cada jugador está escrito el número de goles que ha marcado y el orden inicial es como este:

Entonces el primer portero podrá elegir al jugador que ha marcado 10 goles o al que ha marcado 15. Si elige al que ha marcado 15, el segundo portero se encontrará ante esta situación:

el portero que elige en primer lugar puede intentar quedarse con todos los jugadores situados en una posición impar; para ello empieza por elegir al jugador número 1.

En este caso, el portero que escoge en segundo lugar está entonces obligado a elegir un jugador que se encuentra en posición par (entre las de partida), ya que solo puede quedarse con el 2 o con el 20. Tanto si elige el 2 como si elige el 20, deja al portero que escoge en primer lugar la posibilidad de elegir un jugador que se encuentre en posición impar, el 3 (si el segundo ha seleccionado el 2) o el 19 (si el segundo ha elegido el 20). En ambos casos, obliga de nuevo al portero que elige en segundo lugar a coger un jugador que está en posición par. Y así sucesivamente. Es decir, si el portero que elige en primer lugar escoge el jugador número 1, automáticamente tiene la opción de elegir a todos los jugadores que están en posición impar y por tanto consigue su objetivo (recordemos que estamos suponiendo que la suma de los goles marcados por los que están en posición impar es mayor o igual que la de los que están en posición par). Si la suma de los pares fuese mayor, el primer portero empezaría por elegir el 20, forzando al segundo a elegir un impar y así sucesivamente. En cuanto a la segunda parte del desafío, si se ha de escoger entre veintiún jugadores no hay estrategia posible que garantice que gana siempre uno de los dos porteros. Para comprobarlo vamos a ver un caso en el que

gana claramente el primer portero en elegir y otro en el que puede ganar claramente el segundo.

• Ejemplo número 1: Todos los jugadores marcaron en el torneo anterior un gol, menos el que está en primera posición, que marcó dos: 2-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1- Evidentemente, el primero que elige escoge el jugador 1 (el que marcó dos goles) y consigue el objetivo. Es decir, no hay estrategia posible para el que elige en segundo lugar.
• Ejemplo número 2: Todos los jugadores marcaron en el torneo anterior un gol, menos el que está en posición 2 que marcó dos goles: 1-2-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1- En este caso, el que elige en primer lugar está obligado a elegir el que está en posición 21. Ambos jugadores evitarán, mientras sea posible, escoger al primero de la fila, porque, en caso contrario, el mejor jugador, situado en posición 2, quedaría libre para ser elegido por el portero contrario. Como los dos advierten esta circunstancia, el segundo elegirá al 20, el primero al 19, el segundo al 18, etc., y el primero en elegir se encontrará necesariamente ante esta situación:

Llegados a este punto, haga lo que haga este primer portero, la jugadora que ha marcado dos goles será elegida por el segundo. Por tanto, ganará el segundo, independientemente de la estrategia seguida por el primero.

MÁS INFORMACIÓN

La estrategia propuesta en la primera parte del desafío es ganadora si los jugadores situados en posiciones pares e impares no han marcado el mismo número de goles.

Así, si el segundo eligiera al último jugador (que ha marcado dos goles) dejaría al primero ante la situación: 4-3-1-1-2-2, y, aplicando la estrategia original, este se quedaría con los números no subrayados, sumando en total diez goles, con lo que el segundo perdería. Si, por el contrario, el segundo eligiera el 4, el primero se encontraría con esta situación: 3-1-1-2-2-2. Esta vez, de nuevo aplicando la estrategia original, el primero optaría por los números subrayados, lo que otra vez le garantizaría un total de diez goles. Es decir, hiciera lo que hiciera el segundo jugador, el primero podría ganar. Observa que en todos los pasos hemos sumado el total de goles marcados por los jugadores pares e impares todavía no elegidos. Con más jugadores, la situación podría hacer que en distintas rondas el primer portero pasase de elegir jugadores pares a impares, o viceversa, tras evaluar en cada caso cuántos goles le aportarían los jugadores en cada tipo de posición. Es importante hacer notar que no basta tener en cuenta los goles de los dos jugadores situados en los extremos y sus vecinos (los que en el primer momento llevan los números 1, 2, 19 y 20 en nuestra solución) y elegir mirando únicamente si han marcado más goles el 1 y el 19 o el 2 y el 20. La dificultad estriba en que el segundo jugador no tiene por qué limitarse a elegir entre estos. Veamos un ejemplo. Supongamos que los goles marcados son: 4-6-25-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-5-5. El primero compararía los extremos 4-6-...-5-5, y vería que el 1 y el 19 han marcado nueve goles y el 2 y el 20 han marcado once. Elegiría, por tanto, al jugador 20 (cinco goles). Si el segundo eligiera al 1 (cuatro goles), el primero, siguiendo su estrategia, elegiría al 2 (seis goles). Pero entonces el segundo no estaría obligado a elegir al 19 (cinco goles), sino que podría «salirse de la estrategia» y elegir al 3, que con sus 25 goles le garantizaría un equipo ganador. Este mismo ejemplo muestra por qué no es buena idea elegir siempre al jugador que más goles haya marcado entre los dos disponibles en cada momento.

(^1) En el ejemplo no hemos escrito todos los números ni dibujado todos los jugadores para que quede claro que el desafío no se refiere a un caso concreto sino a una estrategia general.