Demostraciones por inducción en Matemáticas Fundamentales - Prof. Álvarez, Apuntes de Sistemas Operativos

¡Descarga Demostraciones por inducción en Matemáticas Fundamentales - Prof. Álvarez y más Apuntes en PDF de Sistemas Operativos solo en Docsity!

exàmens resolts de

fonaments matemàtics

edició a càrrec de José Luis Ruiz

juliol de 2016

Departament de Matemàtiques Facultat d’Informàtica de Barcelona Universitat Politècnica de Catalunya ©^ c 2010—

Col.lecció de problemes apareguts en diferents actes d’avaluació de l’assignatura Fona- ments Matemàtics del Grau en Enginyeria Informàtica de la Facultat d’Informàtica de Barcelona, U.P.C., des del setembre de 2010. Problemes proposats i recopilats per:

Josep Elgueta Rafel Farré Jaume Martí Mercè Mora Francesc Prats Victor Rotger José Luis Ruiz Pilar Sobrevilla Francesc Tiñena Joan Trias

Les solucions han estat redactades per José Luis Ruiz amb contribucions de Fernando Martínez, Joan Trias, Francesc Prats i Francesc Tiñena. ©c 2010—2016.

• 1 Enunciats E
  • 1.1 Exàmens de taller 2010–2011 Q1 E
  • 1.2 Examen parcial 22/11/2010 E
  • 1.3 Examen final 17/01/2011 E
  • 1.4 Exàmens de taller 2010–2011 Q2 E
  • 1.5 Examen parcial 28/04/2011 E
  • 1.6 Examen final 06/06/2011 E
  • 1.7 Exàmens de taller 2011–2012 Q1 E
  • 1.8 Examen parcial 17/11/2011 E
  • 1.9 Examen final 20/01/2012 E
  • 1.10 Exàmens de taller 2011–2012 Q2 E
  • 1.11 Examen parcial 26/04/2012 E
  • 1.12 Examen final 07/06/2012 E
  • 1.13 Exàmens de taller 2012–2013 Q1 E
  • 1.14 Examen parcial 15/11/2012 E
  • 1.15 Examen final 14/01/2013 E
  • 1.16 Examen final de reavaluació 04/02/2013 E
  • 1.17 Exàmens de taller 2012–2013 Q2 E
  • 1.18 Examen parcial 2/5/2013 E
  • 1.19 Examen final 6/6/2013 E
  • 1.20 Examen final de reavaluació 10/07/2013 E
  • 1.21 Examen parcial 17/10/2013 E
  • 1.22 Examen parcial 14/11/2013 E
  • 1.23 Examen final 09/01/2014 E
  • 1.24 Examen de recuperació del primer parcial 09/01/2014 E
  • 1.25 Examen de recuperació del segon parcial 09/01/2014 E
  • 1.26 Examen final de reavaluació 07/02/2014 E
  • 1.27 Examen parcial 20/03/2014 E
  • 1.28 Examen parcial 30/04/2014 E
  • 1.29 Examen final 12/06/2014 E
  • 1.30 Examen de recuperació del primer parcial 12/06/2014 E
  • 1.31 Examen de recuperació del segon parcial 12/06/2014 E
  • 1.32 Examen final de reavaluació 11/07/2014 E
  • 1.33 Examen parcial 16/10/2014 E
  • 1.34 Examen parcial 17/11/2014 E
  • 1.35 Examen final 14/01/2015 E
  • 1.36 Examen de recuperació del primer parcial 14/01/2015 E
  • 1.37 Examen de recuperació del segon parcial 14/01/2015 E
  • 1.38 Examen final de reavaluació 6/02/2015 E
  • 1.39 Examen parcial 23/03/2015 E
  • 1.40 Examen parcial 11/05/2015 E
  • 1.41 Examen final 09/06/2015 E
  • 1.42 Examen de recuperació del primer parcial 09/06/2015 E
  • 1.43 Examen de recuperació del segon parcial 09/06/2015 E
  • 1.44 Examen final de reavaluació 13/07/2015 E
  • 1.45 Examen parcial 15/10/2015 E
  • 1.46 Examen parcial 16/11/2015 E
  • 1.47 Examen final 12/10/2016 E
  • 1.48 Examen de recuperació del primer parcial 12/01/2016 E
  • 1.49 Examen de recuperació del segon parcial 12/01/2016 E
  • 1.50 Examen final de reavaluació 5/02/2016 E
  • 1.51 Examen parcial 30/04/2016 E
  • 1.52 Examen parcial 02/05/2016 E
  • 1.53 Examen final 20/06/2016 E
  • 1.54 Recuperació del primer parcial 20/06/2016 E
  • 1.55 Recuperació del segon parcial 20/06/2016 E
  • 1.56 Examen final de reavaluació 11/07/2016 E
• 2 Solucions S
  • 2.1 Exàmens de taller 2010–2011 Q1 S
  • 2.2 Examen parcial 22/11/2010 S
  • 2.3 Examen final 17/01/2011 S
  • 2.4 Exàmens de taller 2010–2011 Q2 S
  • 2.5 Examen parcial 28/04/2011 S
  • 2.6 Examen final 06/06/2011 S
  • 2.7 Exàmens de taller 2011–2012 Q1 S
  • 2.8 Examen parcial 17/11/2011 S
  • 2.9 Examen final 20/01/2012 S
  • 2.10 Exàmens de taller 2011–2012 Q2 S
  • 2.11 Examen parcial 26/04/2012 S
  • 2.12 Examen final 07/06/2012 S
  • 2.13 Exàmens de taller 2012–2013 Q1 S
  • 2.14 Examen parcial 15/11/2012 S
  • 2.15 Examen final 14/01/2013 S
  • 2.16 Examen final de reavaluació 04/02/2013 S
  • 2.17 Exàmens de taller 2012–2013 Q2 S
  • 2.18 Examen parcial 2/5/2013 S
  • 2.19 Examen final 6/6/2013 S
• 2.20 Examen final de reavaluació 10/07/2013 S
• 2.21 Examen parcial 17/10/2013 S
• 2.22 Examen parcial 14/11/2013 S
• 2.23 Examen final 09/01/2014 S
• 2.24 Examen de recuperació del primer parcial 09/01/2014 S
• 2.25 Examen de recuperació del segon parcial 09/01/2014 S
• 2.26 Examen final de reavaluació 07/02/2014 S
• 2.27 Examen parcial 20/03/2014 S
• 2.28 Examen parcial 30/04/2014 S
• 2.29 Examen final 12/06/2014 S
• 2.30 Examen de recuperació del primer parcial 12/06/2014 S
• 2.31 Examen de recuperació del segon parcial 12/06/2014 S
• 2.32 Examen final de reavaluació 11/07/2014 S
• 2.33 Examen parcial 16/10/2014 S
• 2.34 Examen parcial 17/11/2014 S
• 2.35 Examen final 14/01/2015 S
• 2.36 Examen de recuperació del primer parcial 14/01/2015 S
• 2.37 Examen de recuperació del segon parcial 14/01/2015 S
• 2.38 Examen parcial 23/03/2015 S
• 2.39 Examen parcial 11/05/2015 S
• 2.40 Examen final 09/06/2015 S
• 2.41 Examen de recuperació del primer parcial 09/06/2015 S
• 2.42 Examen de recuperació del segon parcial 09/06/2015 S
• 2.43 Examen parcial 15/10/2015 S
• 2.44 Examen parcial 16/11/2015 S
• 2.45 Examen final 12/01/2016 S
• 2.46 Examen de recuperació del primer parcial 12/01/2016 S
• 2.47 Examen parcial 12/01/2016 S
• 2.48 Examen parcial 30/04/2016 S
• 2.49 Examen parcial 02/05/2016 S
• 2.50 Examen final 20/06/2016 S
• 2.51 Recuperació del primer parcial 20/06/2016 S
• 2.52 Recuperació del segon parcial 20/06/2016 S

4 Considereu els connectius ↓ i | definits de la manera següent:

p ↓ q := ¬p ∧ ¬q, p|q := ¬p ∨ ¬q

1. Feu la taula de veritat de les proposicions p|q i (p ↓ p) ↓ (q ↓ q) i doneu una proposició equivalent a p|q que només contingui els connectius ¬ i ↓.

2. Feu la taula de veritat de les proposicions p ↓ q i (p|p)|(q|q) i doneu una proposició equivalent a p ↓ q que només contingui els connectius ¬ i |.

3. Doneu una proposició equivalent a p ↓ p on només intervinguin connectius clàssics (negació, conjunció, disjunció, condicional, bicondicional) i doneu una proposició equi- valent a p|q que només contingui el connectiu ↓.

4. Doneu una proposició equivalent a p|p on només intervinguin connectius clàssics (nega- ció, conjunció, disjunció, condicional, bicondicional) i doneu una proposició equivalent a p ↓ q que només contingui el connectiu |.

5 Trobeu una proposició equivalent a p ↔ q on hi apareguin exclusivament:

1. Els connectius ¬ i ∨.

2. Els connectius ¬ i ∧.

3. Els connectius ¬ i →.

6 Simbolitzeu en el llenguatge del càlcul de predicats els enunciats que segueixen. Ho heu de fer de dues maneres:

a) sense utilitzar quantificadors universals (∀) ni condicionals (→) i amb el mínim nombre possible de negacions (¬);

b) sense utilitzar quantificadors existencials (∃) i utilitzant condicionals (→).

Els enunciats són:

1. No tota funció té derivada.

2. Hi ha funcions contínues no derivables.

3. Cap nombre enter és parell i senar alhora.

4. Tot nombre enter és parell o senar.

Useu els predicats: F : “ser funció”; C: “ser contínua”; D: “ser derivable”; N : “ser nombre enter”; P : “ser parell”; S: “ser senar”.

7 Simbolitzeu:

1. Hi ha un únic objecte que té la propietat P.

2. Hi ha exactament dos objectes que tenen la propietat P.

3. Hi ha com a màxim un objecte que té la propietat P.

4. Hi ha com a mínim dos objectes que tenen la propietat P.

Conjunts

8 Siguin A, B i C conjunts arbitraris. Demostreu que A − (B ∩ C) ⊆ A − B si, i només si, A ∩ B ⊆ A ∩ C.

9 Siguin A i B conjunts arbitraris. Demostreu que (A − B) ∪ (B − A) = A si, i només si, B = ∅.

10 Siguin A i B conjunts arbitraris. Demostreu que (A − B) ∪ (B − A) = A ∪ B si, i només si, A ∩ B = ∅.

11 Siguin Ω un conjunt i A, B, C ⊆ Ω subconjunts tals que A ∩ Bc^ ⊆ C i Cc^ ∩ B = ∅. Demostreu que A ⊆ C.

12 Siguin Ω un conjunt i A, B, C ⊆ Ω subconjunts tals que B ∩ Cc^ = ∅. Demostreu que A − (A − B) ⊆ A ∩ C.

13 Siguin Ω un conjunt i A, B, C ⊆ Ω subconjunts no buits tals que A ∩ B ∩ C = ∅. Proveu que si D ⊆ Ω és un subconjunt tal que D ∩ A ⊆ D ∩ B, aleshores D ∩ C ⊆ Ac.

14 Siguin A, B i C conjunts tals que A ∪ B ⊆ A ∪ C i A ∩ B ⊆ A ∩ C. Demostreu que B ⊆ C.

15 Siguin Ω un conjunt i A, B, C ⊆ Ω subconjunts tals que A ∩ B 6 = ∅ i B ∩ Cc^ = ∅. Demostreu que A ∩ C 6 = ∅.

16 Siguin Ω un conjunt i A, B, C ⊆ Ω subconjunts. Demostreu que C ⊆ A ∩ B si, i només si, C ∩ Ac^ = ∅ i C ∩ Bc^ = ∅.

4. Proveu que f és exhaustiva.

21 Considerem l’aplicació f : N → Z definida per:

f (n) =

−n 2 , si n és parell n+ 2 ,^ si^ n^ és senar

1. Calculeu f [{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }] i f [{ 0 , 3 , 5 , 6 , 7 , 10 }].

2. Calculeu f −^1 [{− 1 , 0 , 1 , 2 }] i f −^1 [{− 3 , − 1 , 0 , 1 }].

3. Proveu que f és exhaustiva.

4. Proveu que f és injectiva.

22 Considerem l’aplicació f : N → N definida per:

f (n) =

n + 1, si n no és múltiple de 5 n 5 ,^ si^ n^ és múltiple de^5

1. Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }].

2. Proveu que f és exhaustiva.

3. Calculeu f [{ 0 , 1 , 2 , 5 , 10 , 15 }]. Deduïu que f no és injectiva.

23 Considerem l’aplicació f : Z → N definida per:

f (n) = n^2 + 1.

Siguin: S = {n ∈ N : n és senar}, P = {m ∈ Z : m és parell}.

1. Proveu que f −^1 [S] = P.

2. Proveu que f no és exhaustiva.

3. Proveu que f no és injectiva.

4. És f bijectiva?

24 Considerem l’aplicació f : Z → Z definida per:

f (n) =

7 n, si n és parell n + 2, si n és senar

1. Calculeu f −^1 [{− 1 , 0 , 1 , 2 }]. Deduïu que f no és exhaustiva.

2. Proveu que f és injectiva.

3. És f bijectiva?

25 Considerem l’aplicació f : Z → Z definida per:

f (n) = n^2 + n + 1

1. Calculeu f [{− 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 }]. Deduïu que f no és injectiva.

2. Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 }]. Deduïu que f no és exhaustiva.

3. És f bijectiva?

26 Considerem els conjunts:

A = {n ∈ N : n ≥ 2 }, P = {p ∈ N : p és un nombre primer}

i l’aplicació f : A → P definida per:

f (n) = nombre primer més petit que divideix n

1. Proveu que f|P = IP. (f|P és la restricció de f a P ⊆ A i IP és l’aplicació identitat de P .)

2. Calculeu f [{ 2 , 6 , 9 , 11 , 35 }]. Deduïu que f no és injectiva.

3. Proveu que f és exhaustiva.

4. És f bijectiva?

27 Considerem l’aplicació f : Z → Z definida per:

f (n) =

n, si n és múltiple de 5 5 n, en cas contrari

1. Proveu que f ◦ f = f.

2. Calculeu f [{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }]. Deduïu que f no és injectiva.

3. Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 , 5 }]. Deduïu que f no és exhaustiva.

4. És f bijectiva?

Principi d’inducció

31 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

i=

i ∙ i! = (n + 1)! − 1

32 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

k=

(−1)k−^1 k^2 = (−1)n−^1

n(n + 1) 2

33 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

j=

j(j + 1) =

n(n + 1)(n + 2) 3

34 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

`=

( + 1)

n n + 1

35 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

r=

(3r − 2) =

3 n^2 − n 2

36 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

s=

(4s + 1) = n(2n + 3)

37 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

v=

(v^2 + v) =

n(n + 1)(n + 2) 3

38 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

m=

(5m − 3) =

5 n^2 − n 2

39 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

u=

(u^2 − u) =

n(n^2 − 1) 3

40 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

t=

t^3 =

n^2 (n + 1)^2 4

41 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

p=

(p + 1)(p + 2)

n 2(n + 2)

Enters: divisibilitat

42 Siguin a, b ∈ Z i d = mcd(a, b). Proveu que mcd(2a, d) = d.

43 Siguin a, b ∈ Z primers entre ells. Proveu que si b és senar, llavors mcd(2a, b) = 1.

44 Siguin a, b ∈ Z primers entre ells i p, q nombres primers diferents. Proveu que mcd(pa, qb) és igual a 1 , p, q o pq.

45 Sigui p un nombre primer senar i a un enter parell. Proveu que mcd(a, 2 p) és igual a 2 o igual a 2 p.

46 Siguin p, q i tres nombres primers diferents i a un enter. Sabem que|a i que a = p ∙ N = q ∙ M , on N i M són enters. Proveu que mcd(N, M ) 6 = 1.

47 Siguin a, b, c, d enters. Proveu que si a | b i c | d, llavors ac | bd.

1. Considerem la proposició p següent:

∀ a, b, c ∈ Z ( c parell ∧ c = a ∙ b → a parell ∧ b parell )

Digueu si p és certa o falsa i justifiqueu la resposta.

2. Siguin A, B conjunts no buits. Proveu que l’aplicació g : A × B → A definida per g

(x, y)

= x és exhaustiva.

55 Considerem el conjunt A = (Z − { 0 }) × (Z − { 0 }) i la relació R sobre A definida per:

(a, b) R (c, d) ⇐⇒ a ∙ d = b ∙ c,

on (a, b), (c, d) ∈ A.

1. Demostreu que R és una relació d’equivalència sobre A.

2. Trobeu la classe d’equivalència de l’element (a, b) ∈ A.

3. Doneu una descripció del conjunt quocient A/R.

56 Demostreu per inducció que l’enter n^3 + 3n^2 + 2n és divisible per 6 , per a tot enter n ≥ 0.

1. Considerem la proposició p següent:

∀ a, b, c ∈ Z ( a parell ∧ a = b + c → b senar ∧ c senar )

Digueu si p és certa o falsa i justifiqueu la resposta.

2. Siguin A, B conjunts no buits i b 0 ∈ B un element fix. Proveu que l’aplicació h : A → A × B definida per h(x) = (x, b 0 ) és injectiva.

58 Considerem el conjunt A = Z × Z i la relació R sobre A definida per:

(a, b) R (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c,

on (a, b), (c, d) ∈ A.

1. Demostreu que R és una relació d’equivalència sobre A.

2. Trobeu la classe d’equivalència de l’element (0, b) ∈ A.

3. Doneu una descripció del conjunt quocient A/R.

59 Demostreu per inducció que l’enter (n + 1)^3 − n − 1 és múltiple de 6 , per a tot enter n ≥ 0.

1.3 Examen final 17/01/

60 Digueu si les afirmacions següents són certes o falses i justifiqueu la resposta.

1. (∀n ∈ Z)(∃a, b ∈ Z n = 5a + 7b)

2. Les proposicions ¬[((¬p) ∨ q) → r] i (¬p) ∧ q ∧ (¬r) són lògicament equivalents.

3. Si f : X → Y és una funció, llavors f (f −^1 (Y )) = Y.

61 Proveu que si a, b, c ∈ Z, llavors mcd(a, b) = mcd(bc − a, b).

62 Considerem l’aplicació f : Z 29 → Z 29 definida per f (x) = 22 ∙ x + 7

1. Proveu que f és bijectiva i trobeu la seva inversa.

2. Considerem l’alfabet de 29 símbols indicat a continuació i assignem a cada símbol el nombre que té a la dreta: A 0 F 5 K 10 P 15 U 20 Z 25 B 1 G 6 L 11 Q 16 V 21 26 (espai) C 2 H 7 M 12 R 17 W 22. 27 D 3 I 8 N 13 S 18 X 23 , 28 E 4 J 9 O 14 T 19 Y 24 Codifiquem cada frase escrita en l’alfabet anterior aplicant la regla de codificació x 7 → 22 x + 7 (mod 29) al valor numèric corresponent a cadascun dels símbols. Per exemple ‘AVUI’ és ‘0 21 20 8’ i es codificaria en ‘7 5 12 9’, o sigui ‘HFMJ’, ja que 0 7 → 7 , 21 7 → 5 , 20 7 → 12 , 8 7 → 9. Si el resultat d’una codificació ha estat el missatge ‘KZRT,AI’ (el que hi ha entre les cometes), quin era el missatge original?

63 Proveu que per a tot n ≥ 0 es compleix que 2 n+2^ + 3^2 n+1^ ≡ 0 (mod 7). (Indicació: pot fer-se per inducció, però també d’altres maneres.)

1.4 Exàmens de taller 2010–2011 Q

Lògica i raonament

64 Considerem els dos connectius lògics X i O definits per les taules de veritat que segueixen:

p q pXq pOq 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0

Conjunts i aplicacions

1. Siguin A, B i C conjunts arbitraris.

a) Proveu que si B ∩ C = ∅, llavors (A − B) ∪ C ⊆ (A ∪ B ∪ C) − (A ∩ B). b) És certa la igualtat (A − B) ∪ C = (A ∪ B ∪ C) − (A ∩ B)? Justifiqueu la resposta.

2. Doneu un exemple de funció f : Z → Z que sigui injectiva però no exhaustiva. Justifi- queu la injectivitat i la no exhaustivitat.

1. Siguin A, B i C conjunts arbitraris.

a) Proveu que A − (B − C) ⊆ (A − B) ∪ C. b) És certa la igualtat A − (B − C) = (A − B) ∪ C? Justifiqueu la resposta.

2. Doneu un exemple de funció f : Z → Z que sigui exhaustiva però no injectiva. Justifi- queu la exhaustivitat i la no injectivitat.

1. Siguin A, B i C conjunts arbitraris.

a) Proveu que (A − B) ∩ (A − C) ⊆ A − (B ∩ C). b) És certa la igualtat (A − B) ∩ (A − C) = A − (B ∩ C)? Justifiqueu la resposta.

2. Doneu un exemple de funció f : Z → Z que sigui bijectiva i que no sigui l’aplicació identitat. Calculeu f −^1.

1. Siguin A, B i C conjunts arbitraris.

a) Proveu que A − (B ∪ C) ⊆ (A − B) ∪ (A − C). b) És certa la igualtat A − (B ∪ C) = (A − B) ∪ (A − C)? Justifiqueu la resposta.

2. Doneu un exemple de funció f : N → N que sigui bijectiva i que no sigui l’aplicació identitat. Calculeu f −^1.

1. Siguin f : A → B una aplicació i P, Q ⊆ A.

a) És certa la implicació: f [P ] = f [Q] ⇒ P = Q? Justifiqueu la resposta. b) Proveu que si f és injectiva, llavors la implicació anterior és certa.

2. Siguin A, B, C conjunts tals que A 6 = B i C 6 = ∅. Es pot donar el cas que A × C = B × C? Justifiqueu la resposta.

1. Siguin g : A → B una aplicació i S, T ⊆ B.

a) És certa la implicació: f −^1 [S] = f −^1 [T ] ⇒ S = T? Justifiqueu la resposta. b) Proveu que si f és exhaustiva, llavors la implicació anterior és certa.

2. Siguin A, B, C, D conjunts. Podem assegurar que

(A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D)?

Justifiqueu la resposta.

1. Siguin f : A → B una aplicació i C ⊆ A.

a) És certa la igualtat: f [A − C] = f [A] − f [C]? Justifica la resposta. b) Proveu que si f és injectiva, llavors la igualtat anterior és certa.

2. Sigui X un conjunt no buit. Definiu a X una relació d’equivalència R tal que X/R tingui un element. Comproveu que es tracta d’una relació d’equivalència.

Principi d’inducció i divisibilitat

79 Proveu per inducció que si n ≥ 1 , llavors l’enter 6 ∙ 7 n^ − 2 ∙ 3 n^ és un múltiple de 4.

80 Proveu per inducció que si n ≥ 0 , llavors n

5 5 +^

n^3 3 +^

7 n 15 és un nombre enter.

81 Proveu per inducció que si n ≥ 0 , llavors 9 | [n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 ].

82 Proveu per inducció que si n ≥ 0 , llavors 73 | (8n+2^ + 9^2 n+1).

83 Proveu per inducció que si n ≥ 1 , llavors (2 2 nn)! ∈ Z.