Análisis de Deformaciones en Vigas: Deflexiones y Ángulo de Giro, Diapositivas de Elasticidad y Resistencia de materiales

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Deformaciones en Vigas

Deflexiones y Ángulo de Giro en Vigas

Resistencia de Materiales I Docente: Ing. Guillermo A. Gouro Mogollón

Introducción

• Hasta la fecha, se han venido analizando todo lo relacionado a esfuerzos que se producen en una viga, en algunos casos producidos por cargas axiales, y en otros producidos por cargar perpendiculares (concentrándose en este último todo lo referente a diagramas de cortante, axial y momento flector)
• Sin embargo, se buscará analizar el efecto de deformación de una viga ante la presencia de una o más cargas que se presentan perpendiculares al eje axial de la viga.
• Nos enfocaremos en un análisis teórico de la deducción del efecto de dichas cargas y la proporción en que influye por efecto de flexiones.

Deflexión - Curva Elástica: utilidad de visualización

• A menudo es útil trazar la forma flexionada de la viga cuando ésta soporta una carga para “visualizar” cualquier resultado calculado y por tanto verificar parcialmente estos resultados.
• La curva de deflexión del eje longitudinal que pasa por el centroide de cada área de sección transversal de una viga se denomina curva elástica.
• Al trazar la curva elástica, es necesario conocer la manera en que la pendiente o el desplazamiento están restringidos en diferentes tipos de soportes.

En la siguiente figura se muestran dos casos típicos de curva elástica para vigas ( a escala exagerada)

• Cuando el momento interno M deforma al elemento de la viga, el ángulo entre las secciones transversales se convierte en 𝑑𝜃.
• El arco 𝑑𝑥 representa una porción de la curva elástica para cada sección transversal,
• El radio de curvatura se define como la distancia 𝜌, que se mide desde el centro de curvatura O´ hasta 𝑑𝑥.
• Ahora, la deformación en el arco 𝑑𝑠, localizado en una posición y desde el eje neutro es 𝜖 = (𝑑𝑠´ − 𝑑𝑠)^ Τ 𝑑𝑠. Sin embargo 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 = 𝜌𝑑𝜃
• Reemplazando: 1 𝜌 = − 𝜖 𝑦
• Si el material es homogéneo y se comporta de una manera elástico lineal, entonces aplica la ley de Hooke, 𝜖 = 𝜎 Τ𝐸, además de la fórmula 𝜎 = −𝑀𝑦Τ 𝐼
• Al combinar ambas ecuaciones tenemos:
• 1 𝜌

𝑀 𝐸𝐼

Relación entre Deformación y Momento en una Viga

• Si la curva elástica de una viga parece difícil de establecer, se sugiere primero dibujar el diagrama de momentos para la viga.
• Un momento interno positivo tiende a doblar la viga de manera cóncava hacia arriba, figura de la izquierda. Del mismo modo, un momento negativo tiende a doblar la viga de forma cóncava hacia abajo, figura de la derecha.

Ángulo de Giro en Vigas.

Casos en Pequeñas Deformaciones

1 er caso: Si una viga está articulada en ambos extremos y es sometida a un momento M en ambos puntos de los extremos en el sentido mostrado, la viga girará del modo mostrado: Si el momento M en A se aplica en sentido horario y B en sentido horario, tendremos:

2do Caso: Viga empotrada en sus dos extremos

• El giro en A y B es cero y la tangente trazada en A y B son horizontales: 3er Caso: Viga Empotrada en un extremo y libre en el otro
• Cuando una viga está empotrada en un extremo, el giro es cero y la tangente trazada en el punto de empotramiento es horizontal:

Giro en Nudos

• Si al nudo O, le aplicamos un momento M en sentido horario, vemos que la estructura mostrada sufre giros como se muestra en la figura.
• Además, si las barras AB y CD son perpendiculares, las tangentes trazadas L 1 y L 2 también lo serán, de modo que las barras OA, OD, OB y OC girarán el mismo ángulo θ:

• Al aplicar un momento M al pórtico mostrado, en B, vemos que si las barras son mutuamente perpendiculares, las tangentes también lo serán.
• Al aplicar un momento en B, las barras giran de la forma mostrada, siendo los giros BA y BC: 𝜃 1