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Definición
Es un conjunto infinito de puntos de un plano, que equidistan de otro punto fijo del mismo plano llamado centro.
Círculo
Es la reunión de una circunferencia y su región inferior.
Del gráfico observamos
A
T
L 1
M
N
L 2 B
O
P
E
F
Q
C
- Centro : «O»
- Radio : (^) OA
- Diámetro : (^) AB
- Cuerda : (^) PQ
- Arco : BC
- Flecha o sagita : (^) EF
- Recta tangente : L (^1)
- Recta secante : L (^2)
- Punto de tangencia : «T»
- Sector circular : BOC
- Segmento circular : MN
Radio
Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.
Cuerda
Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
Diámetro o cuerda máxima
Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Propiedades
- Si «T» es punto de tangencia, entonces: OT ⊥ L 1.
O T
L 1
- Si A y B son puntos de tangencia, entonces.
A
P
B
O
PA=PB
También: si «O» es centro. PO es bisectriz de ∠APB
- Si OM ⊥ AB entonces:
A (^) M
O
B
AM = MB
PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA
- Si AB = CD entonces.
A C
B D
a (^) O b a = b
- Tangentes comunes interiores.
C
A
D
B
AB = CD
- Tangentes comunes exteriores.
AB = CD
C
A
D
B
- Si A y B son puntos de tangencia.
C
A
B
xº x = 90
a
b
a = b
- Si «M» es punto medio de AB.
A
M B
O O^1
xº x = 90º
- En circunferencias concéntricas.
A^ B
C
F
T
O
D
E
- En circunferencias concéntricas.
A
B
C
D
O
AB = CD
- Teorema de Poncelet.
A
B
C
a
b O r
a + b = c + 2r
- Teorema de Pithot.
A
a
B x^
C
b
y D
a + b = x + y = p
Donde: P: semiperímetro del cuadrilátero
Y Si OA = 18 cm se forma
M
O
9 3 A
18
30º
∴O’A = 2R y OO’ = 9 + R ⇒ 9 +R + 2R = 18 → R = 3cm
9. Del gráfico, calcula «R» si 12 cm y L, Q, M y P son puntos de tangencia.
O
M P
L
Q
A
6cm
O’
10. En la figura AB = 9 m y AC = 41 m, calcula la medida del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC. («O» es centro)
B
A
R
C
11. Por un punto «P» que dista 100 m del centro de una circunferencia de radio 60 cm, se trazan tan- gentes a la circunferencia denotados por «Q» y «R» a los puntos de tangencia. Determine la lon- gitud del segmento QR.
UNI
12. Las longitudes de dos circunferencias coplanares están en relación de 5 a 2 y su suma es 14 pm; si la distancia entre sus centros es dos veces la di- ferencia de sus radios, podemos afirmar que las circunferencias son: Resolución: Sabemos que:^2 p^ R 2 p r
R = 5k y r = 2k Además 2pR + 2pr = 14p R + r = 7 ⇒ R = 5 m y r = 2 m Dicen que su distancia es 2 veces la diferencia de sus radios: R – r = 3 ⇒ Distancia = 6 m < R + r ∴ son secantes
13. Las longitudes de 2 circunferencias coplanares es- tán en relación de 7 a 3 y su suma es 20 pm; si la distancia entre sus centros es 2 veces la diferencia de sus radios, podemos afirmar que las circunfe- rencias son: 14. En un triángulo ABC se cumple que AB = BC = 5 cm y AC = 6 cm. Encuentre la longitud de la circunferencia que pasa por los puntos A y C sabiendo que los lados AB y BC son tangentes a dicha circunferencia.
O
