salidas derecho, Apuntes de Administración de Empresas

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Matem´aticas para la

econom´ıa y la empresa

M. J. Can´os Dar´os, C. Ivorra Castillo, V. Liern Carri´on

Departamento de Econom´ıa Financiera y Matem´atica

iv

´

INDICE GENERAL

5.2 Nociones de topolog´ıa en R n

• 1 Algebra matricial Algebra Lineal
  • 1.1 Definici´on de matriz y operaciones
  • 1.2 Tipos de matrices
  • 1.3 Determinantes
  • 1.4 Rango de matrices
  • 1.5 C´alculo de matrices inversas
  • 1.6 Ejercicios
• 2 Sistemas de ecuaciones lineales
  • 2.1 Conceptos b´asicos
  • 2.2 Resoluci´on de sistemas
  • 2.3 Aplicaciones
  • 2.4 Ejercicios
• 3 Espacios vectoriales reales
  • 3.1 Espacios y subespacios vectoriales
  • 3.2 Sistemas generadores
  • 3.3 Dependencia e independencia lineal
  • 3.4 Bases y dimensi´on
  • 3.5 Ejercicios
• 4 Aplicaciones lineales
  • 4.1 Definici´on y propiedades b´asicas
  • 4.2 N´ucleo e imagen de una aplicaci´on lineal
  • 4.3 Valores propios y vectores propios
  • 4.4 Ejercicios
• 5 L´ımites ycontinuidad de funciones C´alculo diferencial e integral
  • 5.1 Funciones de varias variables
  • 5.3 L´ımites
  • 5.4 Continuidad
  • 5.5 Ejercicios
• 6 Derivaci´on
  • 6.1 Incrementos parciales
  • 6.2 Derivadas parciales
  • 6.3 Aplicaciones de las derivadas parciales
  • 6.4 Conceptos relacionados con las derivadas
  • 6.5 Algunas demostraciones
  • 6.6 Ejercicios
• 7 Diferenciabilidad
  • 7.1 Incrementos totales
  • 7.2 Funciones diferenciables
  • 7.3 Derivadas direccionales
  • 7.4 El polinomio de Taylor
  • 7.5 Ejercicios
• 8 Funciones compuestas yhomog´eneas
  • 8.1 Composici´on de funciones
  • 8.2 Funciones homog´eneas
  • 8.3 Ejercicios
• 9 Convexidad
  • 9.1 Conjuntos convexos
  • 9.2 Funciones c´oncavas y convexas
  • 9.3 Ejercicios
• 10 Optimizaci´on cl´asica
  • 10.1 Conceptos de programaci´on matem´atica
  • 10.2 Optimizaci´on sin restricciones
  • 10.3 Optimizaci´on con restricciones
  • 10.4 Interpretaci´on de los multiplicadores de Lagrange
  • 10.5 Algunas aplicaciones
  • 10.6 Ejercicios
• 11 La integral definida
  • 11.1 La integral de Riemann
  • 11.2 La integral impropia
  • 11.3 La integral m´ultiple
  • 11.4 Ejercicios

INDICE GENERAL v

12 Ecuaciones diferenciales 179

12.1 Ecuaciones con variables separables.................. 180

12.2 Ecuaciones lineales........................... 181

12.3 Ejercicios................................ 183

Ap´endices

A Formas cuadr´aticas 187

B Tablas 199

Prólogo

Este manual recoge los contenidos de las asignaturas Matem´aticas Empresa-

riales y Matem´aticas Econ´omico-empresariales (plan 2000) que se imparten en la

Universitat de Val`encia. En cada tema, se exponen los resultados te´oricos necesa-

rios acompa˜nados de ejercicios resueltos a modo de ejemplo y destacando los hechos

m´as relevantes que el alumno debe recordar a la hora de resolver problemas. Se

incluye tambi´en la demostraci´on de algunos teoremas. M´as concretamente, hemos

seleccionado aquellas que consideramos que —sin exceder el nivel exigible a los

alumnos— pueden ayudarles a familiarizarse con los conceptos que va a manejar.

As´ı mismo, cada tema termina con una colecci´on de ejercicios propuestos.

En todos los temas hemos intentado mostrar la conexi´on de las t´ecnicas ex-

puestas con la teor´ıa econ´omica y sus aplicaciones a la empresa. Para ello hemos

incluido numerosos ejemplos con enunciado econ´omico, los cuales no han de en-

tenderse como aplicaciones realistas de la teor´ıa, sino como una forma de que

el alumno entienda el uso que se dar´a en otras asignaturas de su carrera a los

conceptos estudiados.

Queremos agradecer a nuestros compa˜neros el apoyo y la ayuda que nos han

prestado, especialmente a Manuel Mochol´ı, que nos anim´o a emprender el trabajo.

Valencia, octubre de 2001,

los autores

vii

2 1. ALGEBRA MATRICIAL

Producto por un escalar Si α ∈ R y A = (aij ) es una matriz m × n, entonces

αA = (αaij ). Por ejemplo,

Producto de matrices Si A = (aij ) es m × n y B = (bij ) es n × r, entonces AB

es la matriz m × r que en la posici´on (i, j) tiene el n´umero ai 1 b 1 j + · · · + ainbnj.

Por ejemplo,

Trasposici´on Si A es una matriz m × n, se llama matriz traspuesta de A a la

matriz n × m representada por A

t dada por a

t ij =^ aji, es decir,^ A

t es la matriz que

resulta de cambiar filas por columnas. Por ejemplo,

A =

, A

t

1.2 Tipos de matrices

Matrices cuadradas Las matrices con el mismo n´umero de filas que de co-

lumnas se llaman cuadradas, mientras que las que no son cuadradas se llaman

rectangulares. Normalmente, en lugar de decir que una matriz cuadrada es n × n

se dice que es de orden n.

Matriz nula La matriz nula m × n es la matriz cuyos coeficientes son todos 0.

Matrices fila ycolumna Una matriz fila (o vector fila) es una matriz 1 × n.

Una matriz columna (o vector columna) es una matriz n×1. Por ejemplo, la matriz

A es una matriz fila y la matriz B es una matriz columna

A = (2, − 2 , 5), B =

Matrices diagonales Decimos que una matriz cuadrada A = (aij ) es diagonal

si aij = 0 para i = j. Por ejemplo,

A =

1.2. TIPOS DE MATRICES 3

Matriz identidad La matriz identidad m × m es la matriz Im que tiene unos

en la diagonal y el resto ceros. Por ejemplo,

I 1 = (1), I 2 =

, I 3 =

Matrices triangulares Una matriz cuadrada A = (aij ) es triangular superior

si todos los elementos que est´an por debajo de la diagonal son cero, es decir, si

aij = 0 cuando i > j. Diremos que A = (aij ) es triangular inferior si son cero

los elementos que est´an arriba de la diagonal, es decir, aij = 0 cuando i < j. Por

ejemplo, A es triangular superior, B triangular inferior y C triangular superior e

inferior:

A =

 , B =

 , C =

N´otese que las matrices diagonales son triangulares superiores e inferiores a la vez.

Matrices ortogonales Una matriz cuadrada A es ortogonal si al multiplicarla

por su traspuesta se obtiene la identidad, es decir, A · A

t = A

t · A = Im. Por

ejemplo, la matriz O es ortogonal:

O =

√ 3 2

1 2

1 2

√ 3 2

O · O

t

Matrices sim´etricas Una matriz cuadrada A es sim´etrica si coincide con su

traspuesta A = A t , es decir, si aij = aji. Por ejemplo, la matriz S es sim´etrica,

pero T no lo es:

S =

 , T =

Matrices antisim´etricas Una matriz cuadrada A es antisim´etrica si coincide

con su traspuesta cambiada de signo, A = −A

t , es decir, si aij = −aji. Por

ejemplo, la matriz S es antisim´etrica:

S =

1.3. DETERMINANTES 5

Por ejemplo,

Para dimensiones superiores conviene manipular los determinantes para sim-

plificarlos y reducirlos a otros de dimensi´on menor. Para ello debemos conocer

las siguientes propiedades de los determinantes (v´alidas para determinantes de

cualquier dimensi´on):

1. Si una fila o columna contiene s´olo ceros, el determinante es nulo.
2. Si intercambiamos dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo.
3. Un escalar que multiplique a toda una fila (o columna) puede extraerse del

determinante.

1. Si a una fila (o columna) le sumamos otra multiplicada por un n´umero, el

determinante no var´ıa.

1. Si la matriz es triangular o diagonal, el determinante es el producto de los

elementos de la diagonal principal.

1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
2. El determinante del producto de dos matrices es el producto de los dos

determinantes.

Aplicando estas propiedades siempre podemos conseguir que una fila (o co-

lumna) de un determinante tenga nulos todos sus coeficientes salvo a lo sumo uno

de ellos. Por ejemplo,

Aqu´ı, a la primera fila le hemos sumado la tercera multiplicada por 2/3 y a

la cuarta le hemos sumado la tercera. Una vez el determinante tiene una fila

o columna de ceros salvo un coeficiente aij (en nuestro ejemplo a 32 = 3) el de-

terminante es igual a (−1)

i+j aij multiplicado por el determinante que resulta de

eliminar la fila i y la columna j. En nuestro caso

3+ 3

1 3

6 1. ALGEBRA MATRICIAL

1.4 Rango de matrices

Rango Dada una matriz A llamaremos rango de A, y lo denotaremos rang A, al

orden de la mayor submatriz cuadrada contenida en A que tenga determinante no

nulo. Es decir, diremos que el rango de A es r si contiene al menos una submatriz

cuadrada de orden r con determinante distinto de cero y cualquier submatriz de

A de orden r + 1 tiene determinante nulo.

Ejemplo Calcula el rango de la matriz

A =

Soluci´on: Sabemos que rang A es a lo sumo 3, puesto que es el orden de la mayor

submatriz cuadrada de A. Ahora bien, como

det A = 0 =⇒ rang A < 3.

Consideramos la submatriz ( 1 2

3 − 2

Como (^) ∣

∣ ∣ ∣

= − 8 = 0 =⇒ rang A = 2

Para facilitar el c´alculo del rango, conviene introducir el siguiente concepto:

Matrices orladas Dada una submatriz B de A, cuando a˜nadimos a B una fila y

una columna respetando la ordenaci´on original de la matriz A decimos que hemos

orlado la matriz B.

Es f´acil probar que el rango de una matriz A verifica las siguientes propiedades:

a) Supongamos que existe una submatriz Ar de orden r tal que det Ar = 0.

Si las matrices de orden r + 1 obtenidas orlando la matriz Ar tienen deter-

minante nulo, entonces todas las submatrices de A de orden r + 1 tienen

determinante nulo.

b) Las ´unicas matrices con rango 0 son las nulas.

c) Dos matrices equivalentes tienen el mismo rango.

Como veremos en el ejemplo siguiente, la propiedad (a) en ocasiones permite

ahorrar muchos c´alculos.

8 1. ALGEBRA MATRICIAL

Matriz adjunta Dada la matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y

se representa ad(A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por

su adjunto.

Ejemplo Calcula la matriz adjunta de

A =

Soluci´on: Calculamos los adjuntos de cada elemento:

ad(A) =

Matriz inversa Dada la matriz cuadrada A de orden n, se llama matriz inversa

de A a una matriz A

− 1 que cumpla

A · A

− 1 = A

− 1 · A = In.

Si existe A

− 1 , la matriz A se le llama matriz regular y si no existe se llama matriz

singular. Para que exista la matriz inversa es condici´on necesaria y suficiente que

|A|  = 0 y la forma de calcularla es la siguiente:

a) Calculamos |A|. Si vale 0 no existe A − 1 , y si |A|  = 0 continuamos.

b) Calculamos ad(A), la matriz adjunta de A.

c) Calculamos la traspuesta de la adjunta, es decir ad(A) t .

d) La matriz inversa es

A

− 1

|A|

ad(A)

t .

Ejemplo Calcula la matriz inversa de

A =

Soluci´on: Como |A| = 4, existe A − 1

. La matriz adjunta y su traspuesta son

ad(A) =

 (^) ad(A)t^ =

1.6. EJERCICIOS 9

Por tanto,

A

− 1

1 2

1 2

−

1 2

1 2

1 2

1 2

1.6 Ejercicios

1. Consideramos las matrices

A =

 , B =

 , C =

Calcula:

(a) A + B + C.

(b) A − 2 C + 3B.

(c) 2[A − 3 B] − 2 C.

(d) A

t − 2 B

t .

(e) A · B.

(f) B · A.

(g) (A + B) · C.

1. Comprueba:

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 3 − 1

1 2 8

2 2 3

a b c

1 1 2

2 1 1

= −a+3b−c,

a 2 − 1

1 b 2

2 1 c

= abc− 2 a+2b− 2 c+7,

a 3 1 a

0 a a 1

5 2 16 1

1 3 2 4

= − 7 a

2 +39a− 14.

1.6. EJERCICIOS 11

1. Tres empresas E 1 , E 2 , E 3 , necesitan cuatro materias primas P 1 , P 2 , P 3 , P 4.

El consumo mensual medio de estas empresas se puede expresar mediante la

matriz siguiente:

P 1 P 2 P 3 P 4

A =

E 1

E 2

E 3

donde las cifras est´an dadas en Tm.

En el primer trimestre del a˜no 2001, los precios de estas materias primas,

expresados en C por Tm., han sido

E F M

P =

P 1

P 2

P 3

P 4

donde las columnas E, F, M representan los meses de enero, febrero y marzo

respectivamente. Expresa mediante una matriz el gasto total de cada em-

presa cada mes.

1. Una empresa de importaci´on de veh´ıculos recibe pedidos de tres concesiona-

rios A, B y C. El primer concesionario ha solicitado 50 coches del modelo T 1 ,

15 del modelo T 2 , 10 coches del modelo T 3 y 2 del modelo T 4 , el concesiona-

rio B ha solicitado 17 coches del modelo T 1 , 12 del modelo T 2 , 7 del modelo

T 3 y 3 del modelo T 4 ; y el concesionario C ha pedido 11, 7 , 5 y 4 coches

de los modelos T 1 , T 2 , T 3 y T 4 respectivamente. Los concesionarios aportan

una parte del capital al efectuar la compra y aplazan a 90 d´ıas el resto. El

concesionario A paga el 50 por cien del total y aplaza el resto, B aplaza un

tercio y C aplaza un cuarto del pago. Calcula la cantidad de coches de los

tipos T 1 , T 2 , T 3 y T 4 que la empresa vende al contado y cu´antos con pago

aplazado.

1. Una empresa produce cuatro bienes diferentes P 1 , P 2 , P 3 y P 4 , para los que

utiliza cuatro materias primas m 1 , m 2 , m 3 y m 4. El consumo en kg. para

obtener 1 unidad de cada producto es el siguiente:

m 1 m 2 m 3 m 4

A =

P 1

P 2

P 3

P 4

y los costes, en C por kg., de cada una de las materias es:

B =

m 1

m 2

m 3

m 4

12 1. ALGEBRA MATRICIAL

Dos distribuidores, D 1 y D 2 , adquieren las siguientes unidades:

P 1 P 2 P 3 P 4

C =

D 1

D 2

(a) Calcula e interpreta el significado de los productos AB y CAB.

(b) ¿Cu´antos kg. se consumen de cada materia prima para satisfacer las

demandas de D 1 y D 2?