Series de Fourier y
Transformadas de
Laplace
Series de Fourier y
Transformadas de
Laplace
Brian Alejandro Moreno López 405767
Jesús Aaron Mandujano Alcantar407493
Oscar Alidavid Rodríguez Mireles407800
Ricardo Silva Olvera 405403
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2021/2022
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Series de Fourier y
Transformadas de
Laplace
Series de Fourier y
Transformadas de
Laplace
Brian Alejandro Moreno López 405767 Jesús Aaron Mandujano Alcantar Oscar Alidavid Rodríguez Mireles Ricardo Silva Olvera 405403
¿Quién fue Jean-
Baptiste Joseph
Fourier?
¿Quién fue Jean-
Baptiste Joseph
Fourier?
Joseph Fourier nació en 1768 dentro de una familia humilde de Auxerre (Francia) y a la edad de 10 años se quedó huérfano. Eso no le impidió contribuir de forma importante a la egiptología, ostentar altos cargos políticos o escribir el primer texto científico sobre el efecto invernadero, además de convertirse en uno de los matemáticos más célebres de la historia.
¿Qué es una función periódica?
¿Qué es una
función
periódica?
Las funciones periódicas son funciones que se comportan de una manera cíclica (repetitiva) sobre un intervalo especificado (llamado un período).
Se ven ejemplos cotidianos cuando la variable es el tiempo; por ejemplo, las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico. El movimiento periódico es un movimiento en el que la(s) posición(es) del sistema son expresables como funciones periódicas, todas con el mismo período.
Ejemplo de una función periódica
Ejemplo de una
función periódica
Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.
Tipos de funciones
trigonometricas
Tipos de funciones
trigonometricas
El análisis de Fourier es el estudio de las integrales y series de Fourier. Una serie de Fourier es una expansión de serie de una función en una serie de funciones de seno y coseno. Esta es seccionalmente continua y periódica.
¿Qué es el análisis de
Fourier?
¿Qué es el análisis de
Fourier?
¿Qué es una serie de
Fourier?
¿Qué es una serie de
Fourier?
Una serie de Fourier es una representación de una forma de onda u otra función periódica como una suma de senos y cosenos.
Una serie de Fourier es una forma de representar ondas complejas, como el sonido, como una serie de ondas sinusoidales simples. La serie descompone una ola en una suma de senos y cosenos
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Sus áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo.
¿Estás en donde se
pueden aplicar?
¿Estás en donde se
pueden aplicar?
Los términos a0, an y bn que son coeficientes, números, que varían dependiendo de la función que queremos representar. n presente tanto en el seno como en el coseno viene del índice de la serie, es decir, haciendo n=1,2,3… encontramos los términos del sumatorio. Como queremos escribir una función f(x) en forma de serie, la variable x está dentro del sumatorio. Falta L, ¿qué significa? Viene del período de la función, f, que queremos representar.
Esta conformada
por:
Esta conformada
por:
Pero la fórmula de la serie de Fourier no sirve para nada si no tenemos los coeficientes an y bn. Estos vienen dados por las siguientes fórmulas:
Formula de an y bn Formula de an y bn
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
Una transformada es una funcional que convierte una función en un dominio en otra función en otro dominio. El ejemplo clásico es la Transformada de Laplace, que convierte funciones en el dominio del tiempo (t) en funciones en el dominio de una variable compleja (s), según la siguiente transformación.
Historia de las
Transformadas
Historia de las
Transformadas
Precursoras de las transformadas son las series de Fourier, que expresan funciones en intervalos finitos. Más tarde fue desarrollada la transformada de Fourier para quitar la exigencia de los intervalos finitos. Usando la serie de Fourier, más o menos cualquier función práctica de tiempo puede ser representada como una suma de senos y cosenos, cada uno convenientemente escalado desplazado o comprimido/expandido.
La transformada de Laplace es un caso de las, así llamadas, transformaciones integrales:
Transformadas integrales Transformadas integrales
donde K(s,t) es el kernel o núcleo de la transformación, ƒ(t) es la función cuya transformada se desea obtener y F(s) es la transformada de ƒ(t). El kernel de las transformaciones lineales puede tomar muchas formas. Por ejemplo, si K(s,t) = eiwt , entonces:
Esta es la transformada de Laplace de ƒ(t). La letra “L” cursiva matemática, se utiliza para representar esta transformación. En el cuadro 1, se muestran las transformadas de algunas funciones básicas.
Transformas de Laplace
básicas
Transformas de Laplace
básicas