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simulación de sistemas temas básicos
Tipo: Resúmenes
Subido el 19/11/2020
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Actividad 1 Catedrático. Ing. Víctor Conejo Gutiérrez Alumno: Jesús Angel Martínez Obregón Matrícula: 89284891894 Hora: 8:00-9: Cd. Guadalupe, Nuevo León; a 13 de noviembre de 2020
Generación de variables aleatorias...................................................................................................................................... Conceptos básicos............................................................................................................................................................ Variables aleatorias discretas........................................................................................................................................... Variables aleatorias continuas......................................................................................................................................... Métodos para generar variables aleatorias..................................................................................................................... Método de la transformada inversa................................................................................................................................. Método de convolución................................................................................................................................................... Método de composición.................................................................................................................................................. Procedimientos especiales............................................................................................................................................... Pruebas estadísticas......................................................................................................................................................... Bibliografía...........................................................................................................................................................................
La variabilidad de eventos y actividades se representa a través de funciones de densidad para fenómenos continuos, y m mediante distribuciones de probabilidad para fenómenos de tipo discreto. La simulación de estos eventos o actividades se realiza con la ayuda de la generación de variables aleatorias.
Dado que el valor de una variable aleatoria (en adelante lo abreviaremos v.a.) es determinado por el resultado de un experimento, podremos asignar probabilidades a los posibles valores o conjuntos de valores de la variable. Ejemplo: Se arroja dos veces un dado equilibrado. Un espacio muestral asociado es: Posibles variables aleatorias asociadas con este experimento son: X: ”número de caras pares” Y: “máximo puntaje” Z: “suma de puntos” Definición: Sea S un espacio muestral asociado con un experimento aleatorio. Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada elemento w ∈ S un número real X(w)=x. Como se observa, en general representaremos a las v.a. con letras mayúsculas: X, Y, Z, etc. y sus valores con letras minúsculas, es decir X(w)=x significa que x es el número real asociado al resultado w ∈ S a través de X.
Una variable aleatoria continua teóricamente puede asumir cualquier valor entre dos límites dados, o sea que sus variaciones son infinitesimales, mientras que en las variables aleatorias discretas existen “saltos” o “interrupciones” entre los valores que puede tomar. De acuerdo a lo anterior podemos decir que: Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores. Como ejemplos de variables aleatorias discretas podemos mencionar: el número de libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc. La variable aleatoria, permite ofrecer una descripción de la probabilidad de que se adoptan ciertos valores. No se sabe de manera precisa qué valor adoptará la variable cuando sea determinada o medida, pero sí se puede conocer cómo se distribuyen las probabilidades vinculadas a los valores posibles. Las variables aleatorias discretas son aquellas cuyo rango está formado por una cantidad finita de elementos o que sus elementos pueden enumerarse de manera secuencial. Supongamos que una persona arroja un dado tres veces: los
resultados son variables aleatorias discretas, ya que pueden obtenerse valores del 1 al 6. En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un número, con el fin de poder realizar un estudio matemático.
Un modelo de simulación involucra variables aleatorias, las cuales siguen distribuciones de probabilidad teóricas o empíricas. Estas variables usualmente tienen un comportamiento no uniforme, por lo que es necesario simular estas variables mediante generadores que utilizan variables uniformes y una función de transformación a la distribución de probabilidad deseada. Existen varios procedimientos para lograrlo, entre ellos están el método de la transformada inversa, el método de convolución, método de aceptación y rechazo, y el método directo.
La transformada inversa en un método que usa la distribución acumulada F(x) de la distribución que se desea simular. La función F(x) se encuentra en el intervalo de cero a uno, y es posible generar un número pseudoaleatorio R y tratar de determinar el valor de 9 la variable aleatoria para la cual su distribución acumulada es igual a R. Se determina al resolver la siguiente ecuación: La dificultad en este método radica en que en algunas ocasiones es muy difícil encontrar la transformada inversa debido a que no es posible integrarse analíticamente (ej. distribución normal o gama). Cuando se presenta este caso se puede intentar el uso de propiedades estadísticas como el limite central o la propiedad de convolucion, como alternativas matemáticas exploratorias.
Este método permite la generación de variables aleatorias en función de una combinación lineal ponderada de otras variables aleatorias. Es decir, requiere que la variable a generar se pueda expresar como una suma lineal ponderada de otras variables aleatorias. Las variables aleatorias normal, binomial, Poisson, gamma y Erlang son un ejemplo de la aplicación de este método. Este método es posible aplicarse siempre y cuando la variable aleatoria x se pueda expresar como una combinación lineal de k variables aleatorias:
de ajuste (chicuadrada) y la prueba de Kolmogorov-Smirnov, descritas anteriormente en la sección 2.21, con la variante de que el cálculo de las frecuencias esperadas será de acuerdo a la función propuesta f(x), para luego obtener mediante integración la F(x) obteniendo la frecuencia esperada en el intervalo i con la siguientes expresiones: Donde f(x) es la función de probabilidad propuesta, los limites superior e inferior será de acuerdo al intervalo calculado y la N es la cantidad total de datos analizados.
