Sistemes d'equacions, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Sistemes d'equacions y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

3. SISTEMESD’EQUACIONS3.1 Sistemes d’equacions3.2 Discussió3.3 Teorema de Rouché-Frobenius3.4 Regla de Cramer

„^ S’anomena^ sistema d’equacions

a un conjunt de m equacions amb n incògnites de la formaEls nombres aambij^

són els

coeficients del sistema Els nombres bambi^

són els termes independents

3.1 Sistemes d’equacions (I)

11 1 12 2

1 1 21 1 22 2

2 2 1 1 2 2

nn nn mn n^ m

a x^ a x^ m^ m

a^ x^ b

a x^ a^ x^

a^ x^ b

a^ x^ a^ x^

⎫+ + + = "⎪ + + + = "⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ a x b + + + = ⎭

"""""""""""""""""""""""""^1 ,1 i^ m^

j^ n ≤ ≤ ≤ ≤ 1 i m ≤ ≤

3.1 Sistemes d’equacions (III) „^ Donat un sistema d’equacions lineals AX = B, s’anomena

matriu

ampliada del sistema d’equacions, (A,b),

a la matriu que resulta d’afegir la matriu B a la matriu A com una darrera columna per ladreta >Resoldre un sistema d’equacions és trobar totes les solucions x

1 1 i^ n ≤^ ≤ ,i 11 12 1 21 22 2

2 ⎛^1

⎞ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎝^ … " ⎠ #^ #^ %^ #^ n n # " m^ m^ mn

b m a^ a^ a a^ a^ a^

b a^ a^ a^

b 1 11 12 1

1 21 22 2

2 2 n n mn^ 1 2 n m^ m^

b m a^ a^ a^

x a^ a^ a^

x^ b a^ a^ a^

⎛^ ⎞ x b ⎛^

⎞ ⎛^ ⎞^ ⎜^ ⎟ ⎜^

⎟ ⎜^ ⎟^ ⎜^ ⎟ ⎜^

⎟ ⎜^ ⎟ = ⎜^ ⎟ ⎜^

⎟ ⎜^ ⎟^ ⎜^ ⎟ ⎜^

⎟ ⎜^ ⎟ ⎜^

⎟ ⎜^ ⎟^ ⎜^ ⎟⎜^ ⎟ ⎝^ … " # # %^ #^ #^ # "⎠ ⎝^ ⎠^ ⎝^ ⎠

3.2 Discussió (I) „^ Discutir un sistema d’equacions és analitzar si conté algunasolució „^ Segons el nombre de solucions, els sistemes d’equacions esclassifiquen en:^ ƒ^ CAP SOLUCIÓ:

Sistemes incompatibles ƒ^ ALGUNA SOLUCIÓ:

Sistemes compatibles ¾ Una única solució:^ Sistemes compatibles determinats ¾ Vàries solucions:^ Sistemes compatibles indeterminats

(^ )^ (^ ,^ )≠ rang A^ rang A b^ ( )^ ( , )= rang A^ rang A b

3.3 Teorema Rouché-Frobenius (I) „^ És el mètode més complert per la discussió de sistemesd’equacions lineals^ n^ Un sistema de m equacions lineals amb n incògnites téalguna solució sí i només sí, el rang de la matriu decoeficients és igual al rang de la matriu ampliada^ o^ Si els dos rangs són iguals i iguals al nombre d’incògnites,el sistema d’equacions lineal té solució única^ p^ Si els dos rangs són iguals però menors que el nombred’incògnites, el sistema conté infinites solucions

3.3 Teorema Rouché-Frobenius (II)^ „^ DISCUSSIÓ:^ Si rang A^ ≠^ rang(A,b) :

Sistema incompatible ( no hi ha solució) Si rang A = rang(A,b) :

Sistema compatible (hi ha alguna solució) Sigui n el nombre d’incògnites:^ Si rang A = rang (A,b) = n:

Sistema compatible determinat Si rang A = rang (A,b) < n:

Sistema compatible indeterminat