SISTEMES DE PARTÍCULES, Diapositivas de Física

¡Descarga SISTEMES DE PARTÍCULES y más Diapositivas en PDF de Física solo en Docsity!

Física I: Fonaments de Mecànica

TEMA 5

Sistemes de partícules

Tema 5: Sistemes de partícules

1.- Centre de masses: definició i propietats

2.- Forces sobre un sistema de partícules

3.- Conservació del moment lineal

4.- Energia cinètica d’un sistema de partícules, xocs elàstics i

inelàstics

5.- Descripció del moviment i energia respecte el centre de masses

6.- Coeficient de restitució; problemes més avançats amb xocs

Posició, Velocitat i Acceleració del Centre de Masses (CM)

Tant la massa total del sistema, M, com la massa m i de cada partícula són constants.

Per tant, derivant la definició de CM s’obtenen les seves velocitat i l’acceleració:

posició del CM

(posició mitjana de les partícules, ponderada per la seva massa)

velocitat mitjana del CM

(velocitat mitjana de les partícules, ponderada per la seva massa)

acceleració mitjana del CM

(acceleració mitjana de les partícules, ponderada per la seva massa)

De l’equació de veiem que la quantitat de moviment total del sistema de partícules val:

1. Centre de masses

 (^)  i CM mir i M R  (^1)   (^)  i CM miv i M V  (^1)   (^)  i CM mia i M A  (^1)  R CM  V CM  A CM  CM i i i i p i mv MV       V CM 

CM

P MV   

Ens diu el centre de gravetat:

condicions d’equilibri d’un sòlid

Ens permet dividir els moviments en

Translació + rotació , o sigui:

moviment del CM + moviment relatiu al CM

Propietats del Centre de Masses (CM)

El moment lineal total del sistema de partícules:

Com demostrem a continuació, la acceleració del CM es pot calcular amb la llei de Newton

aplicada al conjunt (on F es la suma de totes les forces exteriors aplicades al conjunt):

1. Centre de masses

P MV CM    VCM MA CM dt d P M dt d F       

3. Quantitat de moviment i la seva llei de conservació

Teorema de conservació del moment lineal

Si 

Si la força externa es nul·la el moment lineal es conserva. Aplicació  explosions, xocs

El centre de masses es mou

amb la velocitat i moment

inicials de la bola blanca!

El CM dels focs després la explosió

segueix la trajectòria (paràbola)

inicial del coet!

El CM del martell té una

trajectòria parabòlica!

 0 ext F  CM ext P MA dt d F     

(i VCM const )

P MV CM   

Pinicial mblancav blanca

P 0 dt d 

Pfinal P inicial

blanca blanca i i

i totselscolors

m v m v

 (^) 

P final

Per tant, en un xoc o explosió, el moment lineal total es conserva.

Per a dues partícules, això significa que:

Exemple senzill en 2D:

Solució: 0.82 m/s

3. Xocs i explosions entre partícules

En un xoc o explosió només intervenen forces internes entre les partícules.

final inicial

P P    1 1 (fi ) 2 2 (fi) 1 1 (ini) 2 2 (ini ) m v m v mv m v        m 1 v 1( ini)  v 1( fi)  m 2 v2( ini)  v2( fi)  m 1 m 2

Suposem un xoc elàstic unidimensional

Fext=0Conservació del moment

ElàsticConservació de energia

Calculem la velocitat final... Però sempre ens queden dues solucions i tenim

que escollir entre les dues o dir quina de elles és físicament possible

Per exemple un xoc frontal v1i>0 ; v2i< Per exemple un xoc per darrera v1i>0 ; v2i>0 i v1i>v2i Per exemple un xoc amb m 2 quieta V2i= Objectiu: canviar l’equació de conservació per una sense quadrats

4. Energia de un sistema de partícules. Xoc elàstic

2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

i i f f i i f f

m v m v m v m v

m v m v m v m v

m 1 m 2 v 1 i v 2 i m 1 m 2 v 1 i 2 i v m 1 m 2 v 1 i v 2 i  0

Per tant tenim una nova equació de “conservació” de l’energia que és lineal en v

Simplifiquem el “1/2”

i

Agrupem termes amb

m 1 i m 2

Apliquem:

Dividim la primera equació

entre la segona

Agrupant velocitats inicials i finals

4. Energia de un sistema de partícules. Xoc elàstic

2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 i f f i i f f i

m v m v m v m v

m v m v m v m v

v 1 i  v 1 f v (^2) f v 2 i             1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 i f i f f i f i i f f i m v v v v m v v v v m v v m v v         v 2 f  v 1 f  (^)  v (^2) i  v 1 i     (^)   2 2

a  b a  b  a  b

Calculem per fi les velocitats finals

Suposem que v2i=

Si volem que la segona partícula tingui velocitat màxima: m 2 molt petita

Si m 1 =m 2 : transferència total de moment!

Fext=0Conservació del moment

ElàsticConservació de energia

Aïllant:

Obtenim

4. Energia de un sistema de partícules. Xoc elàstic

2 1 ^2 1  1 1 2 2 1 1 2 2 f f i i i i f f

v v v v

m v m v m v m v

2 2 ^1 2  1 1 1 2 (^2) i i f m v m m v v m m     1 1 2 1 2 (^2) i f m v v m m    1 2  1 1 1 1 2 i f i m m v v v m m     1 1 2 1 1 2 2 2 i f i m v v v m m     1 2  1 1 1 2 0 i f m m v v m m     1 1 2 1 1 2 (^2) i f i m v v v m m    1 1 ^1 2  2 2 1 2 (^2) i i f m v m m v v m m     m 1 m 2 v 1 i v 2 i  (^0)   1 2 1 1 1 2 i f m m v v m m   

Velocitat i quantitat de moviment respecte del CM i el laboratori

Laboratori

C.M.

Partícula i

La posició i velocitat del CM respecte del CM mateix són sempre nul·les:

El moment lineal total respecte al CM és ZERO

Llavors:

5. Descripció del moviment i energia relatius al CM

CM

i CM i

v V v   

CM

V 

i

v 

CM

i

v 

CM CM

CM CM

R V 

0

CM CM

P CM MV (^) CM   

Energia cinètica respecte el CM

Energia cinètica total d’un sistema de partícules és:

(velocitats relatives al laboratori)

Considerem la velocitat relativa de cada partícula respecte del centre de masses:

Podem escriure l’energia cinètica total del sistema de partícules, recordant que:

Llavors:

La energia cinètica de un conjunt de partícules és igual a la energia cinètica del centre de masses, , més la energia cinètica relativa al centre de masses.

5. Descripció del moviment i energia relatius al CM

     i Ec mv m v miv i 2 2 2 2 2 1 1 2 1 ... 2 1 2 1 1 1 CM v v V CM  ^  2 2 CM v v V CM ^ ^    ^      1 2 1 1 (^2 ) 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 ... ... 2 2 2 2 1 1 1 1 ... 2 2 2 2 1 1 1 ( ...) ( ....) ( ....) 2 2 2 1 2 CM CM CM CM CM c CM CM CM CM CM CM CM CM CM c E m v m v m v V m v V m v m v V m V m v m v V m V m v m v m v m v m m V E P                                         2 1 2 2 MV CM E (^) c  MVCM 2 ( ) 1 2 E c  MVCM Ec CM 2 2 1 MVCM 0 CM P  

En general per a un xoc és: Per a un xoc elàstic: Per a un xoc INelàstic:

... I si el xoc NO és elàstic

Fext=0Conservació del moment

ElàsticConservació de energia No es compleix

Si el xoc no és elàstic, es perd energia: la velocitat relativa final serà més petita que la inicial

Definim el coeficient de restitució per quantificar la pèrdua “de velocitat relativa”

Coeficient de restitució

e  1 e = 1 e < 1 Per a un objecte que xoca ortogonalment amb un terra/paret, el coeficient de restitució es defineix com el quocient entre la component de la velocitat perpendicular al terra/paret després i la velocitat abans del xoc.

6. Coeficient de restitució

2 1 ^2 1  1 1 2 2 1 1 2 2 f f i i i i f f

v v v v

m v m v m v m v

v (^2) f  v 1 f  v 2 i  v 1 i 2 1 2 1 f f i i

v v

e

v v

A

D

v

v

e

Resum/comparació de la mecànica de una partícula vs sistemes de partícules 2ª Llei de Newton (1ª Llei de Newton) conservació de P Conservació de l’energia total E: 1 partícula més partícules Ex: Ep = mgh Ej: Epkext^ = mk ghk Eint^ = Equímica Energia i treball conservació de L dt d p F m a   (^)   

Fk m kak dpk dt , k  1 , 2 , ...

dt

d P

F M ACM

ext

F   pconst  v  const  (^)   0 F P const ext      0

NC

m

W E (^12) 2 m E  mv  Ep (^12) 2

ext INT

m k k k

k k

E  (^)  m v  (^) Ep E a , v, p paral·lelsaF!        dt d L

Q

Q

    dt d L

ext Q

Q

    L const (Q) ext Q      0 ( )  (Q ) ^0  L^ (Q) const    0

m f mi

Em   E E

NC

W Em Em  0  Em f Emi