El pendulo simple: modelación, objetivos y ecuaciones, Apuntes de Ética

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SNLAs 2D: El p´endulo simple

Rafael Ram´ırez Ros

Clase SNL

Problema

Queremos modelar y analizar el movimiento de una masa que est´a suspendida de un punto fijo mediante una varilla. Variable independiente: t = tiempo [s]. Variable dependiente: θ = ´angulo que forma la varilla con el eje vertical inferior [rad]. Es una variable adimensional. Par´ametros: m = masa [kg]; l = longitud de la varilla [m]; y g = aceleraci´on debida al campo gravitatorio [m/s^2 ]. Idealizaciones: La masa es puntual; La varilla es completamente r´ıgida y tiene masa cero; Despreciamos los t´erminos de fricci´on; La intensidad de la gravedad es constante; y El p´endulo est´a aislado del resto del Universo.

Ecuaci´on del movimiento

Velocidad angular: ω = θ′^ [rad/s]. Velocidad (lineal): lω = lθ′^ [m/s]. Aceleraci´on angular: θ′′^ [rad/s^2 ]. Aceleraci´on (lineal): lθ′′^ [m/s^2 ]. Componente tangencial del peso: −mg sin θ [N=kg·m/s^2 ]. 2a Ley de Newton: masa × aceleraci´on (lineal) =

fuerzas. La ecuaci´on del movimiento es la EDO de 2o orden mlθ′′^ = −mg sin θ ⇒ θ′′^ = −gl−^1 sin θ. Variable auxiliar: ω = θ′. La EDO de 2o orden se convierte en el SNLA 2D de 1er orden { θ′^ = ω ω′^ = −gl−^1 sin θ.

El espacio de fases es un cilindro

El ´angulo θ est´a definido m´odulo 2π: θ ∈ T = R( mod 2π). Notaci´on: θ 1 = θ 2 ( mod 2π) ⇔ θ 1 − θ 2 = 2πk con k ∈ Z. Por tanto, (θ, ω) = T × R es un cilindro. Solo dibujaremos el croquis en el trozo de plano [−π, π] × R.

Posiciones de equilibrio

Las coordenadas (θ, ω) no determinan (solo) una posici´on. Sus derivadas (θ′, ω′) no determinan (solo) una velocidad. Un ´angulo θ? es una posici´on de equilibrio cuando la funci´on constante θ(t) ≡ θ? es una soluci´on de la EDO de 2o orden. En cuyo caso, (θ?, ω? = 0) es un PEQ del SNLA 2D. Buscamos los puntos donde se anulan ambas derivadas:

θ′^ = ω = 0 ω′^ = −gl−^1 sin θ = 0

⇒ (θ, ω) = (kπ, 0), k ∈ Z

Obtenemos dos posiciones de equilibrio: 1 θ? = 0( mod 2π) = posici´on de equilibrio inferior; y 2 θ? = π( mod 2π) = posici´on de equilibrio superior.

Linealizaci´on en el PEQ superior

Si θ? = π( mod 2π), entonces Aπ =

g /l 0

Polinomio caracter´ıstico: QAπ (λ) = λ^2 − g /l. VAPs: λs^ = −

g /l < 0 y λu^ =

g /l > 0.

VEPs: v s^ =

g /l

y v u^ =

√^1

g /l

Conclusiones: 1 El SLH es una silla inestable no repulsor; 2 El PEQ P = (±π, 0) es una silla no lineal inestable no repulsor; 3 Existen unas CIs estable e inestable (C s(P) y C u(P)) que en el PEQ P tienen las direcciones de los VEPs v s^ y v u; 4 C s^ tiene pendiente −

√ g /l en (±π, 0); y 5 C u^ tiene pendiente

√ g /l en (±π, 0).

Linealizaci´on en el PEQ inferior

Si θ? = 0( mod 2π), entonces A 0 =

−g /l 0

Polinomio caracter´ıstico: QA 0 (λ) = λ^2 + g /l. VAPs: λ± = ±βi con β =

g /l. Conclusiones: 1 El SLH es un centro (horario) estable no atractor; 2 La linealizaci´on no decide la estabilidad del PEQ O = (0, 0); 3 Las trayectorias cerca de O = (0, 0) giran en sentido horario; y 4 Si T (Q) es el tiempo que tarda en completar una “vuelta” la trayectoria que empieza en un punto Q ' O, entonces

Qlim→O T^ (Q) =^2 βπ = 2π

√ l g.

Consecuencias f´ısicas de la conservaci´on

1 El p´endulo pierde energ´ıa cin´etica (y, por tanto, velocidad en valor absoluto) cuando se aleja de la PEQ inferior. 2 Si el p´endulo tiene ‘poca’ energ´ıa: 0 < E 0 < 2 mgl, entonces: |ω| es m´axima cuando el p´endulo pasa por la PEQ inferior; El p´endulo oscila en el rango [−θ 0 , θ 0 ], donde mgl(1 − cos θ 0 ) = E 0 ⇒ cos θ 0 = 1 − E 0 /mgl ∈ (− 1 , 1); ω = 0 cuando el p´endulo alcanza su m´axima amplitud ±θ 0. 3 Si el p´endulo tiene ‘mucha’ energ´ıa: E 0 > 2 mgl, entonces |ω| es m´axima cuando el p´endulo pasa por la PEQ inferior; |ω| es m´ınima cuando el p´endulo pasa por la PEQ superior; y El p´endulo rota sin restricciones. 4 ¿Qu´e pasa cuando el p´endulo tiene energ´ıa E = 2mgl?

Consecuencias din´amicas de la conservaci´on

1 O = (0, 0) es un centro no lineal (horario) estable no atractor; 2 Todas las soluciones cerca de O son peri´odicas; 3 Si T = T (θ 0 ) es el periodo de las oscilaciones entorno a la PEQ inferior cuando dejamos caer el p´endulo desde un ´angulo θ(0) = θ 0 con velocidad angular nula: θ′(0) = 0, entonces

lim θ 0 → 0

T (θ 0 ) = 2π/β = 2π

l/g ;

4 Las ´orbitas del SNLA est´an contenidas en las curvas de nivel C (E 0 ) = {(θ, ω) ∈ T × R : E (θ, ω) = E 0 }

=

{ (θ, ω) ∈ T × R : ω = ±

√ 2 g l

√ E 0 mgl −^ 1 + cos^ θ

} .

Croquis global (con el sentido de las trayectorias)

Las curvas de nivel se recorren hacia la derecha/izquierda mientras est´an en el semiplano superior/inferior, pues θ′(t) = ω(t).

Periodo de las oscilaciones no peque˜nas (1a parte)

Sea T = T (θ 0 ) el periodo de la oscilaci´on que corresponde a las condiciones iniciales

θ(0) = θ 0 ∈ (0, π), θ′(0) = 0.

Este p´endulo repite las siguientes cuatro acciones de forma c´ıclica: 1 Cae ganando velocidad y pasa por la posici´on θ(T /4) = 0; 2 Sube perdiendo velocidad y llega a la posici´on θ(T /2) = −θ 0 ; 3 Cae ganando velocidad y pasa por la posici´on θ(3T /4) = 0; 4 Sube perdiendo velocidad y vuelve a la posici´on θ(T ) = θ 0. Para calcular el periodo T basta calcular el tiempo se invierte en realizar la primera acci´on y multiplicar por cuatro.

Simetr´ıa & reversibilidad

Si θ(t) es una trayectoria, entonces θ˜(t) = −θ(t) tambi´en:

θ^ ˜′′(t) = −θ′′(t) = gl−^1 sin(θ(t)) = −gl−^1 sin(−θ(t)) = −gl−^1 sin(θ˜(t)).

El movimiento es sim´etrico respecto la PEQ inferior. Si θ(t) es una trayectoria, entonces θ̂(t) = θ(−t) tambi´en:

θ̂′′(t) = (−1)^2 θ′′(−t) = −gl−^1 sin(θ(−t)) = −gl−^1 sin(̂ θ(t)).

El movimiento es reversible. Al ver un video del p´endulo no sabemos si lo estamos viendo hacia adelante o hacia atr´as. Pregunta: ¿Cu´al de estas dos propiedades fallar´a al tener en cuenta la fricci´on?

Escalado del tiempo

Cambiamos la escala del tiempo: s = ct, donde las unidades del factor c =

g /l son [1/s]. El nuevo “tiempo” s es adimensional. Si expresamos el ´angulo como ϑ(s) = θ(t), entonces dϑ ds =

dθ dt

dt ds =

1 c

dθ dt , d^2 ϑ ds^2 =^

d ds

[ (^1) c

dθ dt

] =^1 cd^ ds

[ (^) dθ dt

] =^1 c^1 cd^ dt

[ (^) dθ dt

] = (^) c^12 d

(^2) ϑ dt^2 =^

l g

d^2 ϑ dt^2. Por tanto, la EDO de 2o orden original se tranforma en d^2 ϑ ds^2

= l g

d^2 ϑ dt^2

= − l g

g l

sin θ = − sin ϑ.

Moraleja: La ´unica diferencia entre p´endulos simples sin fricci´on es un escalado en el tiempo.