Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Junio 2003
EJERCICIO A
PROBLEMA 2. Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámparas A y B. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de
20 minutos para el modelo A y 30 minutos para el modelo B; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo A y de 10
minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo manual de 6000 minutos al mes y para el de máquina de 4800 minutos al mes.
Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 € para el modelo A y de 10 € para el modelo B, planificar la producción mensual para
obtener el máximo beneficio y calcular éste.
Solución:
Resumiendo la información del ejercicio en una tabla,
Lámpara manual máquina beneficio
A 20 min 20 min 15 €
B 30 min 10 min 10 €
disponibles 6000 min 4800 min
Las incógnitas a utilizar son: x = nº de lámparas del modelo A
y = nº de lámparas del modelo B
El beneficio que se obtiene es: 15 x + 10 y
Las restricciones del problema son: trabajo manual 20 x + 30 y ≤ 6000
trabajo de máquina 20 x + 10 y ≤ 4800
El problema de programación lineal a resolver es:
maximizar z =15 x + 10 y
s.a. 20 x + 30 y ≤ 6000
20 x + 10 y ≤ 4800
x, y Є N
Las restricciones las simplificamos por 10 quedando:
maximizar z =15 x + 10 y
s.a. 2 x + 3 y ≤ 600
2 x + y ≤ 480
x, y Є N
Cálculos para representar gráficamente las restricciones,
2 x + 3 y ≤ 600
representación de 2 x + 3 y = 600
2 x + y ≤ 480
representación de 2 x + y = 480
x y x y
0 200 0 480
300 0 240 0
(0,0) ¿cumple la restricción? SÍ
2 . 0 + 3 . 0 ≤ 600
0 ≤ 600 sí
(0,0) ¿cumple la restricción? SÍ
2 . 0 + 0 ≤ 480
0 ≤ 480 sí
Cálculo del punto de corte de las dos rectas, ( 210 , 60 ),
=+
=+
4802
60032
yx
yx
Restando:
2y = 120
y = 60
Sustituyendo en 2ª ecuación
2x+60=480 ; 2 x= 420
x = 210
La región factible está formada por los puntos de coordenada natural de la zona doblemente rayada.
Estudiamos la función z en los extremos de la región factible,
(x,y) z =15 x + 10 y
(0,0) 0
(0,200) 15 . 0 + 10 . 200 = 2000
(210,60) 15 . 210 + 10 . 60 = 3750 máximo
(240,0) 15 . 240 + 10 . 0 = 3600
Para obtener el máximo beneficio la producción mensual debe ser:
210 lámparas del modelo A y 60 del modelo B.
Con esta producción el beneficio será de 3750 €