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SOLUCIONES ADA 3
- En cada inciso, calcula la derivada parcial que se pide.
a ) (5 puntos) f ( x , y ) = x^2 y^3 − 2 x^4 y , hallar ∂
(^3) f ∂x^3 Solución: ∂ f ∂x = 2 x y^3 − 8 x^3 y
∂^2 f ∂x^2 = 2 y^3 − 24 x^2 y
∂^3 f ∂x^3 = − 48 x y
b ) (5 puntos) f ( x , y , z ) = ex y z^ , hallar ∂
(^3) f ∂x∂z∂y Solución: ∂ f ∂y
= xzex y z^ ∂^2 f ∂z∂y
= xex y z^ + x^2 y zex y z^ ∂^3 f ∂x∂z∂y
= ex y z^ + 3 x y zex y z^ + x^2 y^2 z^2 ex y z
- Realiza lo que se solicita en cada inciso:
a ) (5 puntos) Investiga en fuentes confiables qué es una ecuación diferencial y qué es una solución de una ecuación diferencial. Incluye la bibliografía correspondiente. Solución:
- Ecuación diferencial: Es una ecuación que involucra una función y sus derivadas.
- Solución de una ecuación diferencial: Es una función que, al ser sustituida en la ecuación diferen- cial, la satisface.
- Bibliografía b ) (10 puntos) Calcula las derivadas parciales ut y uxx de la siguiente función:
u ( x , t ) = e − α (^2) k (^2) t sen( kx ) α , k constantes
Solución: ut = − α^2 k^2 e − α (^2) k (^2) t sen( kx ) ux = ke − α (^2) k (^2) t cos( kx ) −→ uxx = − k^2 e − α (^2) k (^2) t sen( kx ) c ) (10 puntos) Usa los incisos anteriores para verificar que la función u ( x , t ) es una solución de la siguiente ecuación diferencial (la cual se conoce como Ecuación de Calor ):
ut = α^2 uxx
Solución: Sustituyendo ut = − α^2 k^2 e − α (^2) k (^2) t sen( kx ) en el lado izquierdo de la ecuación, y uxx = − k^2 e − α (^2) k (^2) t sen( kx ) en el lado derecho, obtenemos:
ut = α^2 uxx ( − α^2 k^2 e − α
(^2) k (^2) t sen( kx )
= α^2
− k^2 e − α
(^2) k (^2) t sen( kx )
− α^2 k^2 e − α (^2) k (^2) t sen( kx ) = − α^2 k^2 e − α (^2) k (^2) t sen( kx )
Vemos que son iguales y se satisface la ecuación.
- Sea f ( x , y ) =
4 − x^2 − 2 y^2
a ) (5 puntos) Halla la ecuación del plano tangente a la gráfica de f ( x , y ) en el punto (1, −1, 1) Solución: ∂ f ∂x ( x , y ) =
− x √ 4 − x^2 − 2 y^2
∂ f ∂y ( x , y ) =
− 2 y √ 4 − x^2 − 2 y^2 La ecuación del plano tangente es
z = ∂ f ∂x
(1, −1)[ x − 1] + ∂ f ∂y
(1, −1)[ y + 1] + f (1, −1)
= (−1)( x − 1) + (2)( y + 1) + 1 = − x + 2 y + 4
b ) (5 puntos) Halla un vector normal a la gráfica de f ( x , y ) en el punto (1, −1, 1) Solución: Como la ecuación del plano tangente es − x + 2 y − z + 4 = 0, un vector normal es
N = (−1, 2, −1)
- En un estudio de penetración de hielo en el suelo se encontró que la temperatura en el punto de perforación depende de los días que han transcurrido, y de la profundidad de dicho punto. Cuando el tiempo es t (en días) y se tiene una profundidad x (en metros), la temperatura T (en °C) está dada por:
T ( x , t ) = T 0 + T 1 e − λx^ sen( ωt − λx )
donde ω = 2 π /365, λ = 0.2, T 0 = 0 y T 1 = 10 son constantes.
a ) (10 puntos) Calcula
∂T
∂x
(9, 5) e interpreta su significado en el contexto del problema. Solución: ∂T ∂x
( x , t ) = − 2 e −^0.^2 x^ sen
2 πt 365
− 0.2 x
− 2 e −^0.^2 x^ cos
2 πt 365
− 0.2 x
∂T
∂x
A los 5 días y a una profundidad de 9 metros, un aumento instantáneo de la profundidad causará un aumento de la temperatura a razón de 0.3743 °C/m.
b ) (10 puntos) Calcula
∂T
∂t (9, 5) e interpreta su significado en el contexto del problema. Solución: ∂T ∂t ( x , t ) =
4 π 73 e −^0.^2 x^ cos
2 πt 365 − 0.2 x
∂T
∂t
A los 5 días y a una profundidad de 9 metros, un aumento instantáneo de los días causará una disminución de la temperatura a razón de 0.004 °C/día.
