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SOLUCIÓN DE EJERCICIOS CAPÍTULO 7
LIBRO: CONTROL ESTADISTICO DE LA
CALIDAD Y SEIS SIGMA
2. Con sus palabras, y de forma gráfica, conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Como es un proceso estable o en control estadístico?
Un proceso estable es aquel que tiene una variación a través del tiempo que es predecible. Este proceso trabajo solo con causas comunes de variación, además independientemente de que su variabilidad sea mucha o poca, el desempeño el desempeño es predecible en el futuro inmediato, en el sentido en que su tendencia central y la amplitud de su variación se mantiene sin cambios en el corto plazo.
b) ¿Como se sabe si un proceso es estable?
Cuando su variación que ocurre en el tiempo no sigue un patrón o una secuencia respecto a su tendencia central, es por eso que se ajusta a una distribución normal donde el 99.73% de los datos se encuentra dentro de las especificaciones y limites reales.
c) ¿Cual es el objetivo básico de una carta de control?
Es una grafico que nos servirá para observar y analizar la variabilidad y el comportamiento de un proceso a través del tiempo.
d) Explique las diferentes formas de inestabilidad de un proceso
Las formas de inestabilidad que hay son:
Desplazamientos o cambios en el nivel del proceso Tendencias en el nivel del proceso Ciclos recurrentes (periodicidad) Mucha variabilidad Falta de variabilidad (estatificación)
3. ¿Cuáles son las causas comunes de variación y cuáles las especiales?
Variación por causas comunes : Es aquella que se presenta a diario en un proceso, lote a lote y es aportada en forma natural por los factores que influyen en éste y por las condiciones de las 6M (Métodos, maquinarias, medio ambiente, medición, mano de obra y material).
Variación por causas especiales : Es aquella causada por situaciones o circunstancias especiales que no están de manera permanente en el proceso o son ajenas a éste, pueden ser causas sorpresivas e imprevistas.
4. ¿Como se debe resolver un problema ocasionado por causas especiales? ¿Qué se debe hacer cuando el problema se debe a causas comunes?
Para resolver una causa especial se debe atender el problema con los especialistas, por ejemplo, si una carretera queda bloqueada por algún desastre natural, se debe acceder al lugar de destino por medio de otro transporte como la vía aérea, los problemas comunes son algo que siempre va a existir por lo cual la mejora continua ayudara de hacer de estos problemas una fortaleza para mejorar la calidad.
5. De manera general, ¿como se obtienen los límites de control en las cartas de control de Shewhart?
El proceso debe ser estable Los datos del proceso deben obedecer a una distribución normal El número de datos a considerar debe ser de aproximadamente 20 a 25 subgrupos con un tamaño de muestras de 4 a 5, para que las muestras consideradas sean representativas de la población. Los datos deben ser clasificados teniendo en cuenta que, la dispersión debe ser mínima dentro de cada subgrupo y máxima entre subgrupos
Se deben disponer de tablas estadísticas
6. Señale cuándo se debe aplicar cada una de las siguientes cartas: ̅ - R, ̅ - s y de individuales.
Carta ̅ - R : Es un diagrama para variables aplicadas a procesos masivos de producción, en donde periódicamente se obtienen subgrupos de datos de los productos, se miden y se halla la media y el rango de éstos para así poder graficarlos y registrarlos en la carta que le corresponda.
Carta ̅ - s : Es similar a la carta X barra – rango, se aplica para procesos masivos y se usan las desviaciones estándares pero sirve para tener una mayor potencia para detectar pequeños cambios. Los subgrupos, en esta carta, deben ser tomados o considerados mayores a 10 unidades.
Carta de individuales : Es un diagrama que se realiza o aplica a procesos continuos pero lentos o donde el espacio de tiempo de medición entre uno y otro producto es largo.
importantes, con lo cual podemos ver cambios en la media y evaluar su estabilidad y capacidad, mientras que con la carta de control R podemos ver la variación para los rangos muéstrales y ver la variación de su amplitud y magnitud pero no su capacidad, en cambio con los limites reales se espera ver la variación de las piezas metálicas en sí y no del proceso, juntas se puede observar el proceso en su totalidad.
f) el proceso es capaz. argumente su respuesta
cp=51-49/6*0.26= 1.28, el proceso es parcialmente adecuado al estar en el rango 1 < cp < 1.33, por lo cual requiere un control estricto.
g) si, ya que se cuenta con las especificaciones del proceso, también con los rangos y las medias muéstrales por lo cual toda esta información a llevado a encontrar la capacidad del proceso.
8. El peso ideal del contenido neto de una caja de cereal es de 250 g, y se tiene una tolerancia de +- 2,5 g. Para monitorear tal peso se usa una carta de control X-R. De datos históricos se tiene que la media y la desviación estándar son u=249 y o =0,70. Con esta información conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Cuáles son las especificaciones para el peso? Y explique ¿por qué es importante cumplirlas? ES = 250 +2.5 =252.5g EI = 250 – 2.5 = 247.5g Es importante cumplir las especificaciones debido a que es el rango de variación que, en condiciones normales, un proceso tiene debido a las variables.
b) Explique en forma gráfica y con sus palabras, ¿qué se le controla al peso con la carta X y qué con la carta R? En la Carta X se controla las medias promedio a un margen que tiene que estar con la media del proceso y la Carta R son el rango en el cual la media puede variar y se encuentra dentro de este rango.
c) Considerando un tamaño de subgrupo de 4, obtenga la línea central y los límites de control para la correspondiente carta X, e interprete.
X = 249 √ = 250.05 g √ = 247.95 g Los límites reflejan la variación esperada de las medias muestrales.
d) Haga lo mismo que en el inciso anterior, pero suponiendo un tamaño de subgrupo de n=9. X = 249
√ = 249.7 g
√ = 248.3 g
e) Son diferentes los límites obtenidos en los incisos c) y d)? ¿Por qué? Sí, debido a los tamaños de muestra los límites varían. f) En general. ¿Qué efecto tiene el incremento el tamaño del subgrupo en la amplitud de los límites de control de la carta X? Mientras más grandes los tamaños de subgrupos, los valores que toman los límites son más pequeños.
g) Obtenga los límites reales del proceso y dé una primera opinión sobre la capacidad del proceso.
= 249+3(0.70) =251.1g = 249 - 3(0.70) = 246.9g
h) Calcule los índices Cp, Cpk, K y Cpm e interprételos.
Cp = 1. Parcialmente adecuado, requiere un control estricto
Cpk = 0. Si Cpk <1 entonces el proceso no cumple con por lo menos una de las especificaciones. Como era de esperarse el proceso no cumple con la especificación inferior.
K = - 40 %
La media del proceso esta desviada 40% a la izquierda del valor nominal, por lo que el centrado del proceso es inadecuado y esto contribuye de manera significativa a la baja capacidad del proceso para cumplir con la especificación inferior.
Cpm = 0. Significa que el proceso no cumple con especificaciones, ya sea por problemas de centrado o por exceso de variabilidad.
1 2 3 4
252
251
250
249
248
247
246
245
Observación
Valores Individuales
_ X=248.
UCL=251.
LCL=245.
Cuadro de Individuales de Medias
La gráfica de control de individuales de medias nos indica que el proceso es aceptable o estable según los datos obtenidos.
10. En la fabricación de artículos de plástico se debe asegurar una resistencia mínima de 65 kg fuerza, para ello, cada dos horas se hacen pruebas destructivas a cuatro artículos seleccionados de manera aleatoria de uno de los lotes. los datos se registran en una carta de control X-R. de acuerdo con estudios anteriores, las cartas de control muestran que el proceso es estable y en particular los limites de control en la carta X son los siguientes:
LCS = 80, Línea central = 74, LCI = 68
a. el proceso cumple con la especificación inferior las especificación inferior es 65 y el proceso registra un límite de control 68 el cual es mayor por lo cual no cumple. b. estime la desviación estándar del proceso u= LCS = 74 + 3(desv./ √ ) 80 = 74 + 3(desv/2) 6 * 2 = 3 desv. 12/3 = desv desv = 4 c. calcule el Cpi e interprételo en función de la tabla 5.1 (capitulo 5) Cpi = 74– 68/ 3*4 = 0.
El proceso tiene una clase mundial de 3 por lo cual no es adecuado para el proceso, requiere modificaciones serias para alcanzar una calidad sastisfactoria. d. con base en la tabla 5.2, estime el porcentaje de producto que no cumple con la especificación inferior 6.6807% es el porcentaje de los productos que no cumplen con la especificación inferior.
11) En una fábrica de bolsas de plástico un aspecto importante de calidad es la dimensión de las bolsas. En una fase del proceso una máquina debe cortar automáticamente las bolsas, la medida ideal es de 30cm, con una tolerancia de +-0,5cm. Para asegurar que las dimensiones de la bolsa son correctas, "de vez en cuando" el operador mide una bolsa y dependiendo de tal medida decide ajustar o no la máquina. Conteste:
a) ¿Cree que es una forma adecuada de asegurar la calidad?
De acuerdo a lo leído, es una forma de asegurar la calidad, pero no es lo más óptimo porque tiene perdida de tiempo. Lo recomendable sería tomar muestras de acuerdo a un tiempo periódico, como puede ser cada 30 minutos o dándole un rango mayor.
b) ¿Una carta de control podría ser de utilidad para ayudar al trabajador a hacer los ajustes? ¿Cuál? Explique
La Carta X-R porque la producción de bolsas es masivamente, producen muchos artículos en un tiempo pequeño. El proceso es de tipo continuo lo más recomendable para usar este tipo de cartas.
c) ¿Los límites de control en esta carta deben ser las especificaciones de la bolsa para que así el trabajador pueda reaccionar cuando los cortes se salen de las especificaciones? Los límites nos dan a conocer el rango del proceso y las especificaciones la capacidad del sistema en forma natural del proceso, y si salen fuera nos dice que no es un proceso estable, por lo tanto las especificaciones que coincidan con los límites nos daría a conocer que es estable y capaz.
d) Explique cómo haría el muestreo y el tamaño de muestra para la carta que considere apropiada. El muestro sería de forma aleatoria sistemática, debido a un cierto tiempo tomaríamos la muestra.
12. En una empresa en la que se fabrican corcholatas o tapas metálicas para bebidas gaseosas, un aspecto importante es la cantidad de PVC que lleva cada corcholata, el cual determina el espesor de la película que hace
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
235
230
225
220
215
210
Observación
Valor individual _ X=215.
UCL=224.
LCL=206.
1 1
Gráfica I de C
i) Calcule los limites reales del proceso e interprételos
̅
̅
ii) Calcula los índices Cp, Cpk y K, e interprételos
14) Se desea que la resistencia de un artículo sea de por lo menos 300psi. Para verificar que se cumple con tal característica de calidad, se hacen pequeñas inspecciones periódicas y los datos se registran en una carta X-R. El tamaño del subgrupo que se ha usado es de 3 artículos, que son tomados de manera consecutiva cada dos horas. Los datos de los últimos 30 subgrupos se muestran en la tabla 7.5. Conteste:
Subgrupo Datos Media Rango 1 315,6 319,2 303,8 312,87 15, 2 318,8 309,2 321,4 316,47 12, 3 311,2 312,1 342,9 322,07 31, 4 322 321,1 329,1 324,07 8
a) Calcule los límites de la carta X-R e interprételos.
b) Obtenga las cartas e interprételas (punto fuera, tendencias, ciclos, alta
2 3 4 5 6 7 8 9
10
1.93 1.97 1.89 1. 1.92 1.95 1.90 1. 1.89 1.89 1.90 1. 1.95 1.93 1.90 1. 2.00 1.95 1.94 1. 1.95 1.93 1.97 1. 1.87 1.98 1.96 2. 1.96 1.92 1.98 1. 1.99 1.93 2.01 2.
12 13 14 15 16 17 18 19 20
1.95 1.98 1.89 1. 1.88 1.93 1.88 1. 1.97 1.88 1.92 1. 1.91 1.91 1.96 1. 1.98 1.90 1.92 1. 1.93 1.94 1.95 1. 1.82 1.92 1.95 1. 2.00 1.97 1.99 1. 1.98 1.94 1.96 1.
a) Realice un estudio de estabilidad mediante la carta ̅
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
M uestr a
M edia de la muestr a
__ X=1.
U C L=1.
LC L=1.
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
M uestr a
Rango de la muestr a
_R=0.
U C L=0.
LC L=
Gráfica Xbarra-R de C1, ..., C
b) Comente los resultados obtenidos en cuanto a estabilidad
Es un proceso estable, porque los datos no siguen ningún patrón de referencia y su variabilidad se muestra respecto al tiempo.
c) Haga un estudio de capacidad. Reporte los principales estadísticos obtenidos y coméntelos
Estadísticas descriptivas: C
Variable Media Desv.Est. Varianza Mínimo Q1 Mediana Q3 Máximo C1 1.9341 0.0406 0.00165 1.8200 1.9000 1.9300 1.9600 2.
N para Variable Modo moda Sesgo Kurtosis C1 1.93 11 -0.01 0.
Las estadísticas mostrados nos muestran la variabilidad y tendencia de nuestros datos observador, lo mas reflejante seria el considerar el sesgo negativo que nos indica que el promedio del curva normal tiene una inclinación hacia la derecha y también los cuartiles que nos reflejan el 25 y 75% de los datos como se agrupan.
d) ¿Cuál es el estado del proceso?
Es un proceso estable, porque no muestra algún patrón de referencia y también porque ninguno de sus puntos sale fuera de los límites de control.
16. En la fabricación de discos ópticos una máquina metaliza el disco. Para garantizar la uniformidad del metal en el disco, la densidad debe ser de 1.93, con una tolerancia de ±0.12. En la tabla se muestran los datos obtenidos para un estudio inicial con tamaño de subgrupo 5.
a) Calcule los límites de control para las cartas ̅ - R e interprételos.
Los límites de control para la carta ̅ :
̅ = 1.924 n= 5
̅ = 0.095 A 2 para n = 0.
LCS = ̅ + A 2 ̅ = 1.924 + (0.577)(0.095) = 1.
LCI = ̅ + A 2 ̅ = 1.924 - (0.577)(0.095) = 1.
Las medias de la densidad de los discos deben estar ubicadas en un intervalo de [1.869; 1.978] para que sean de calidad.
Los límites de control para la carta ̅ :
̅ = 0.095 n= 5
D 3 para n = 0 D 4 para n = 2.
LCI = D 3 ̅ = 0 x 0.095 = 0 LCS = D 4 ̅ = (2.1144)(0.095) = 0.
El promedio de los rangos de la densidad de los discos debe estar ubicado en un intervalo de [0; 0.2008] para que sean de calidad.
b) Grafique la carta ̅ - R e interprétela.
Las densidades de los discos deben estar ubicadas en un intervalo de [1.8034; 2.0452] para que el proceso sea estable, no varíe ni esté fuera de control.
iii) Obtenga un histograma para los datos individuales, inserte especificaciones e interprete a detalle.
1.820 1.855 1.890 1.925 1.960 1.995 2.
6 5 4 3 2 1 0
MEDIAS
Frecuencia
1.81 2.
1
4
11
22
6
1
4
2 1
Histograma de MEDIAS
El promedio de las medias se encuentran dentro del intervalo de aceptación de las especificaciones, sin embargo se encuentran agrupadas al centro o a la media.
0.00 0.06 0.12 0.18 0.
10
8
6
4
2
0 RANGOS
Frecuencia
0 0.
1 1 0
1
4
10
5
2 1
Histograma de RANGOS
El promedio de los rangos se encuentran tanto dentro como fuera del intervalo de aceptación de las especificaciones por lo tanto no sería capaz o se necesitaría analizar cuidadosamente.
iv) Calcule los índices de capacidad e interprételos.
Ei = 1.81 σ = 0.
Es = 2.
Cp=(Es-Ei)/ 6σ = 0.24/6(0.0403) = 0.
Según la capacidad potencial, el proceso no es adecuado y además requiere un análisis riguroso urgente.
Cr= 6σ / (Es-Ei) = 1
La proporción de la banda de especificaciones es de 100%
Cpi= (μ – Ei) / 3σ = (1.9243 – 1.81) / 3(0.0403) = 0.1143/0.1209 = 0.
El proceso no cumple con la especificación inferior, no es capaz por la parte inferior.
Cps= (Es – μ) / 3σ = (2.05 – 1.9243) / 3(0.0403) = 1.
El proceso cumple con la especificación superior.
Cpk = mín [Cpi; Cps] = 0.
El proceso no cumple con al menos una especificación.
K = [μ – N / 0.5 (Es-Ei)] x 100
N = 0.5 (Es+Ei) = 0.5 (3.86) = 1.
K = [μ – N / 0.5 (Es-Ei)] x 100 = [1.9243 – 0.12 / 1.93] x 100 = 0.9348 = 93.48%
El proceso está centrado, cumple con las especificaciones.
Cpm = Es - Ei / 6 τ
Τ = √σ^2 + (μ – N)^2 = √ (0.0403)^2 + (1.8043)^2 = 1.
Cpm = Es - Ei / 6 τ = 0.24 / 6(1.8047) = 0.
El proceso no cumple con especificaciones por centrado o por variabilidad.
v) Con apoyo de la tabla 5.2 (capítulo 5), estime el porcentaje de producto que no cumple con especificaciones.
0.9 0.6934% 6934.046 PPM Fuera.
**17. En la prestación de servicios en una empresa se registra diariamente la evaluación de los clientes. La forma operativa es la siguiente: todos los días en forma aleatoria se le pide a cinco clientes atendidos que contesten una encuesta de satisfacción en el servicio, la escala de satisfacción va de 0 a
- Los datos obtenidos durante el último mes se muestra a continuación:**
DÍA CALIFICACIÓN SERVICIOS MEDIA
MEDIA 79,
a) Mediante una carta de medias analice la estabilidad de la calidad de servicio.
b) interprete los límites de control
Los límites nos facilitan la interpretación del proceso, nos indica los puntos máximos aceptables. Si los datos se encuentran dentro significa que el proceso es estable, por lo contrario si algún dato se encuentra fuera nos dice que el hubo una falla en el sistema.
c) ¿El proceso es estable?
El proceso es estable, ya que ningún valor está fuera de los límites.
d) Haga un estudio de los datos individuales (no de los promedios), calcule estadísticos básicos e histograma
Variable N N* Mean SE Mean TrMean StDev Variance CoefVar Sum C1 110 0 79,400 0,981 79,561 10,290 105,875 12,96 8734,
Variable Sum of Squares Minimum Q1 Median Q3 Maximum IQR C1 705020,000 50,000 72,000 80,000 87,000 100,000 15,
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
95
90
85
80
75
70
65
Sample
Sample Mean
__ X=79,
UCL=92,
LCL=66,
Xbar Chart of C1; ...; C
