Álgebra lineal para Matemáticas Empresariales en la URJC, Ejercicios de Matemáticas

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BLOQUE I: ÁLGEBRA LINEAL.

NOCIONES PREVIAS:

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

EJERCICIOS

Matematicas Empresariales. 2

Ejercicio 1

Realizar las siguientes sumas matriciales

a )

 ^    

 ^    

=(

−1 3 0 6 −5 2

)

b )

   ^  ^ ^  

= (

2 6 − 14 −4 2 + (^) √ 2 −10 21 −

)

Ejercicio 2

Comprobar de los productos de matrices siguientes se pueden realizar e indica el orden de la matriz producto

a ) A 3 4 (^) x B 4 5 x = 𝐶3× b ) B 4 5 (^) x A 3 4 x No se puede 5 ≠ 3 c ) A 3 3 (^) x B 3 4 (^) x C 3 4 x ....... No se puede 4 ≠ 3 d ) A 3 2 (^) x B 2 (^) x 4 C 4 3 x = 𝐷3×

Ejercicio 3

Realizar los siguientes productos matriciales

a )

  ^ 

  ^  

  ^ 

= (

−1 2 0 2 −5 0

)

b )

    ^ 

   ^  

    ^ 

=(

4 0 16 6 −2 −

)

Ejercicio 4

Comprobar que no se verifica la propiedad conmutativa ( AB^  BA ) utilizando la siguientes matrices

2 1 1 3 1 0 1 0

A  ^ ^ B ^ 

 ^    

𝐴𝐵 = ( −1^1 −3^6 ) ≠ 𝐵𝐴 = (−1−2^ −1^1 )

Ejercicio 5

Calcular los siguientes productos siendo la matriz

Matematicas Empresariales. 4

a )

=-

=

b )

=-

Ejercicio 9

Demostrar que la suma de determinantes no es igual al determinante de la suma,

A  B  A  B , con las siguientes las siguientes matrices 2 1 1 0

A  ^ 

B

det(𝐴 + 𝐵) = 𝑑𝑒𝑡 (^33 03 ) = 9 ≠ 𝑑𝑒𝑡𝐴 + 𝑑𝑒𝑡𝐵 = −1 + 5 = 4

Ejercicio 10

Averiguar si existe la matriz inversa de las siguientes matrices y en caso afirmativo calcularla.

a )

A  ^ 

 ^  

; 𝐴−1^ = 12 (−1 4 −1 2 )

b )

C

 ^  

D

 ^ 

𝐶−1^ = 16 (

0 0 6 3 0 − −1 2 5

) detD=0 No

tiene inversa

c )

F

𝐶−1^ = − 1691 (

−86 45 126 17 −3 − −10 −38 −

8 22 − 23 −14 −73 − 10 )

Ejercicio 11

Sabiendo que A y B son matrices 3x3 y que A  5 y B  3 , calcular X si se verifica que:

BA ^1 XB  B  2 B Det(BA-1XB)=Det(2B-B)=Det(B); Det(B)Det(A-1)Det(X) Det(B)= 31/5Det(X)3=9/5Det(X); 9/5*Det(X)=3  Det(X)=5/3.

Matematicas Empresariales. 5

Ejercicio 12

Simplificar las siguientes expresiones matriciales, suponiendo regulares todas las matrices a ) ( A  B )^2  ( A  B ) 2  2 A A (  B )=AA+AB+BA+BB-(AA-AB-BA+BB)-2AA-2AB=

= AA+AB+BA+BB-AA+AB+BA-BB-2AA-2AB=2BA-A^2 =(2B-A)A

b )    

1 2 12 AB ^ BA  =AB-1AB-1^ BA-1^ BA-1= AB-1AA-1^ BA-1= AB-1BA-1= AA-1= I

c )  A  B  ^1  AB  B^2^  A ^1 B  ^1 =(A+B)-1(AB+B^2 )B-1A = (A+B)-1(ABB-1A+B^2 B-1A)=

= (A+B)-1(AA+BA)= (A+B)-1(A+B)A= A

d )  

1 1 1 C BA ( ) C C B ( T^ T ) ( T BC )    =BAC-1C(BC) (BC) -1=BA

Ejercicio 13

Despejar la matriz X de la siguientes ecuaciones matriciales, suponiendo regulares las matrices y concordancia de ordenes a ) AX  BX  B  A ; (A+B)X=B+A=A+B; X=(A+B) -1(A+B)= I b ) AX ^1 B  B ^1 ; X-1=A-1B-1B-1; X=( A-1B-1B-1) -1=B^2 A c ) AX  B ^1 X^2 ; AXX-1=^ B-1XXX-1^ ; A=^ B-1X; X=BA

Ejercicio 14

Discutir y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

a )

x z x y z y z

 ^  

det A=2  SCD ; x=2, y=4, z= -

b )

x z x y z x y

 ^  

rg(A)=2; rg A*)=3  SI

c )

x z x y z x y z

 ^  

rg(A)=2=rg A*  SCI (^) 𝑥^3 +𝑥^ +𝑦 +^2 𝑧 𝑧^ = =^0

(x=2z/3; y=-z/3; z=z)

Matematicas Empresariales. 7

R A

Al no tener más columna, podemos afirmar que R A ( )  4

b) (2 ) (2 ) 3 (3 ) Desarrollando (3 ) (3 ) 3 (3 ) por la primeracolumna

FN F F FN F F

     

Ejercicio 17

Despejar la matriz X de la siguiente ecuación matricial

A ^1 X ^1 B  B ^1

Despejamos la matriz X

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1

A X B B AA X B AB X B AB

X BB AB B X AB B X AB B

X BBA B A

                   

Ejercicio 18

Simplificar, todo lo posible, las siguientes expresiones matriciales, suponiendo regulares todas las matrices

a )     

1 2 1 1 A B AB B A B  (^)    

b ) ^ ^

C BA ( ) ^1 ^1 C C B ( T^ T ) ( T BC )^1

1 2 1 1 1 1 1 (^1 ) I^ I

A B AB B A B A B A B B A B

A B A B BB A A

 (^)  ^     (^) 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

( ) ( T^ T^ ) ( T^ ) ( T^ T^ ) ( T ) ( )

I I I

C BA C C B BC BAC C C B BC BAC CBC BC

BAC C B CC B BA BB BA

          

Matematicas Empresariales. 8

Ejercicio 19

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones

2 0 3 2 2 2

x y z x y z ax y z

 ^ ^  

Discutir (sin resolver) el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro a Indicación: En este apartado únicamente tiene que indicarse para que valores del parámetro a el sistema es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado.

a) Calculamos el determinante de coeficientes: 1 1 2 3 1 1 3 6 2 1

A a a

Si igualamos el determinante a cero obtenemos A   3 a  6  0  a  2

Por tanto Si 2 ( ) 2 Si 2 ( ) 3

a R A a R A