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- La gráfica inferior muestra la respuesta de la fracción molar de benceno en cabeza de una columna de destilación cuando la relación de reflujo cambia bruscamente de 10 a 10. m^3 /h. a) Identificar la función de transferencia que relaciona la fracción molar de benceno en cabeza con el caudal de reflujo. b) Indicar cual será la respuesta de este sistema ante un cambio en el caudal de reflujo dado por la siguiente función: X(t) = 0.5 sen(ωt) (donde ω = 0.25 rad/min), una vez alcanzado el estado estacionario.
0
1
2
3
4
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 tiempo (min)
Y(t)
Gráfica de Harriot:
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
Y(t)/AK
Solución:
a) La respuesta del sistema ante un cambio en escalón puede ajustarse a la de un elemento de segundo orden. Véase que a tiempo cero el elemento comienza a responder pero la pendiente en ese punto es cero, por lo que no cabe una dinámica de primer orden. Tampoco parece que el sistema tenga tiempo muerto. Según eso, la respuesta será la de un elemento de segundo orden sobreamortiguado ya que no presenta oscilaciones.
( s 1 )( s 1 )
K
G(s) τ 1 + τ 2 +
La ganancia K se calcula como la variación de la respuesta 3,75 dividida por la amplitud del escalón, 0,5 m^3 /h. Luego K = 7,5 s/m^3.
Para calcular las constantes de tiempo primero se mira el tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 73% de su valor. Es decir, se entra por el valor de 2,74 en ordenadas y se mira el tiempo transcurrido. El valor es 15,5 minutos. Luego 15,5/(τ 1 +τ 2 ) = 1,32, por lo que τ 1 +τ 2 = 11,75 minutos.
Para calcular el valor de cada constante vamos a la plantilla de la figura de Harriot. Esa figura corresponde a los valores de la respuesta fraccional para t/(τ 1 +τ 2 ) = 0,5. Entonces vemos cual es la respuesta para t = (τ 1 +τ 2 ) x 0,5 = 5,87 minutos. A ese valor de tiempo le corresponde una respuesta de 1 que fraccionalmente equivale a 1/3,75 = 0,266. Entrando con ese valor en la figura de Harriott se obtiene que τ 1 /(τ 1 +τ 2 ) =0,56. Luego se deduce fácilmente que τ 1 = 6,58 min y τ 2 = 5,17 min.
( 6 , 58 s 1 )( 5 , 17 s 1 )
G (s)
b) Si el caudal de reflujo cambia según una señal sinusoidal 0.5 sen(0,25t), la respuesta del sistema será también una señal sinusoidal de la misma frecuencia pero diferente amplitud y retrasada: B.sen(0,25t+φ).
La amplitud la podemos obtener a partir de la relación de amplitudes de la respuesta en frecuencias de un elemento de segundo orden:
[ ]
[ ]
B
K
A
B
x^22 x x x^2
x
22 2
− ωτ + ξωτ
Donde 1 , 007 2
1 2 5 ,^83 ;^12 =
τ
τ +τ τ= ττ = ξ=
El retraso se puede calcular a partir de la expresión:
1 , 936 rad 1 ( 0 , 255 , 83 )
tan 1 ( )
tan (^2) x
1 x x x 2
− ωτ
ξωτ φ = − − −
Luego la respuesta será: 1,193.sen(0,25t-1,936), donde el tiempo está en minutos.
Luego la función de transferencia será: ( 66 , 6 s 1 )
0 ,9e G(s)
11 , 9 s
−
b) Si se produce un aumento repentino de la apertura desde el 45% al 55% durante 15 segundos y luego vuelve a 45%, el sistema ha sido sometido a un pulso de amplitud 10% y duración 15 segundos. Entonces:
s( 66 , 6 s 1 )
9 e s( 66 , 6 s 1 )
9 e e s
s
( 66 , 6 s 1 )
0 ,9e Q(s)
11 , 9 s 26 , 9 s 15 s
11 , 9 s
− − −
−
La inversa será:
− − − − 66 , 6
(t 26 , 9 ) 66 , 6
(t 11 , 9 ) Q(t) 91 e 91 e
La respuesta en el tiempo será:
− − − −
− −
q(t) 240 9 e e l/h ; 2 6,9 t
q(t) 240 91 e l/h ; 1 1,9 t 26 , 9
q(t) 240 l/h ; 0 t 11 , 9
66 , 6
(t 11 , 9 ) 66 , 6
(t 26 , 9 )
66 , 6
(t 11 , 9 )
El valor máximo se alcanzará al cabo de 11,9+15 segundos, es decir, 26,9 segundos y será de 241,81 l/h
- La siguiente función de transferencia se obtuvo correlacionando datos de entrada/salida recogidos de una batería de tres reactores de mezcla perfecta usados en la sulfonación en un proceso de fabricación de un detergente. La entrada al proceso es la fracción molar del reactante principal en la corriente de alimentación al primer reactor; la salida es el porcentaje en peso normalizado (adimensional) del producto a la salida del tercer reactor. El tiempo está en minutos.
G(s) = ( 12 1 )( 15 1 )( 20 1 )
3 , 6 s + s + s +
a) Obtener una expresión analítica de la respuesta del sistema frente a un cambio en escalón de 0,1 en la entrada. b) El último reactor, que se ha identificado aisladamente del resto como un elemento de primer orden con constante de tiempo 20 min y con ganancia 1,5, se va a poner fuera de servicio temporalmente. Si el resto permanece igual ¿cual será la función de transferencia de la batería con los dos reactores restantes? ¿Cuál será el valor final de la respuesta ante el mismo escalón anterior de esta batería de dos reactores? c) Dibujar cualitativamente ambas respuestas en un mismo gráfico
Solución:
a) La respuesta del sistema será:
s 1 / 20
D s 1 / 15
C s 1 / 12
B s
A
s(s 1 / 12 )(s 1 / 15 )(s 1 / 20 )
0 , 36 / 3600 s
0 , 1 ( 12 s 1 )( 15 s 1 )( 20 s 1 )
3 , 6 Y(s)
= +
=
=
=
Para calcular A se multiplica a los dos miembros de la igualdad por s y se hace s=
A 0 , 36 (s 1 / 12 )(s 1 / 15 )(s 1 / 20 )
10 s 0
4 = =
−
Para calcular B se multiplica a los dos miembros de la igualdad por s+1/12 y se hace s=-1/
B 2 , 16 s(s 1 / 15 )(s 1 / 20 )
10 s 1 / 12
4 = = −
−
Para calcular C se multiplica a los dos miembros de la igualdad por s+1/15 y se hace s=-1/
C 5 , 4 s(s 1 / 12 )(s 1 / 20 )
10 s 1 / 15
4 = =
−
Para calcular D se multiplica a los dos miembros de la igualdad por s+1/20 y se hace s=-1/
D 3 , 6 s(s 1 / 12 )(s 1 / 15 )
10 s 1 / 20
4 = = −
−
Luego s 1 / 20
3 , 6 s 1 / 15
5 , 4 s 1 / 12
2 , 16 s
0 , 36 Y( s)
−
− = +
C 1 , 20 s(s 1 / 12 )
1 , 3333. 10 s 1 / 15
3 = = −
−
Luego s 1 / 15
1 , 20 s 1 / 12
0 , 96 s
0 , 24 Y( s)
−
= +
Tomando la inversa de la transformada de Laplace:
15
t 12
t Y (t) 0 , 24 0 , 96 e 1 , 20 e
− − = + −
- En un reactor continuo agitado de mezcla perfecta (CSTR) de 1 m^3 , se lleva a cabo una reacción química de primer orden, en fase líquida cuya constante de velocidad sigue la expresión de Arrhenius, con ko = 1.0 10^10 min-1, E/R = 8330.1 K. La reacción es endotérmica y su entalpía de reacción es ΔHr = 130 10^5 cal/kmol. Puede suponerse que las propiedades físicas del fluido son constantes, y valen: Cp = 1 cal/(g K), ρ = 10^6 g/m^3.
CAo q (^) o(t),T (^) o(t)
Q(t) (^) CA(t), q(t),T(t)
V=cte
El aporte necesario de calor para la reacción, Q, se obtiene mediante un serpentín por cuyo interior circula vapor de agua. La concentración de entrada del fluido al tanque se mantiene constante en el valor de CAo= 2 kmol/m^3 , pero pueden producirse variaciones eventuales en la temperatura y caudal de entrada al tanque, así como en la cantidad de calor aportada desde el serpentín. a) Plantee un modelo matemático que describa la variación de la concentración y temperatura en el reactor con el tiempo y calcule el aporte de calor necesario correspondiente al estado estacionario dado por: qos= 1 m^3 /min, Tos = 323 K , Ts=394 K. b) Linealice el modelo y obtenga un modelo en el dominio de Laplace que relacione las variables de salida con cada una de las tres variables perturbación. c) Especifique el signo de la ganancia para las funciones de transferencia que relacionan la concentración de salida con cada una de las variables perturbación, y determine la naturaleza oscilatoria o no de la respuesta de la concentración de salida ante cambios en dichas variables perturbación, para las condiciones de operación nominal del apartado a) Solución:
a) Modelo matemático:
REACTOR
T 0 (t) q (t) Q(t)
El sistema se puede describir como (^) CA(t T(t)
El resto de variables son constantes en el tiempo y como el volumen no cambia, el caudal de salida q(t) es igual al de entrada q 0 (t) en todo instante de tiempo.
Balance de materia: dt
dC qC (^) A − qCA − Vke T CA = V A
− 8330 ,^1 0 0
Balance de calor: dt
dT
q ρ C pT − q ρ CpT + Q −Δ HrVke T CA = V ρ Cp
− 8330 ,^1 0 0
En estado estacionario:
q C qC Vk e T CAs 0
8330 , 1 s A 0 s As 0 − − s^ =
−
q C T q C T Q HVk e T CAs 0
8330 , 1 s p 0 s s p s s r 0 ρ − ρ + −Δ s^ =
−
Sustituyendo los valores en estado estacionario se puede obtener la concentración en el reactor CAs y el aporte de calor Qs.
dt
d(C C ) V
e (T T) T
(C C )(q q ) (q Vk e )(C C ) Vk C
A As
s
T
8330 , 1
2 s
A As 0 As
T
8330 , 1 A 0 As s s 0 s s
− −
dt
dT e (T T) H Vk e (C C ) V C T
H Vk C
C T (q q ) C q (T T ) CT(q q ) C q (T T) (Q Q )
A As p
T
8330 , 1 s r 0
T
8330 , 1 2 s
r 0 As
p 0 s s p s 0 0 s p s s p s s s
s (^) − −Δ s − = ρ ⎟
ρ − +ρ − −ρ − −ρ − + − −
− −
dt
d(T T) e (T T) HVk e (C C ) V C T
H Vk C
C (T T)(q q ) Cq (T T ) C q(T T) (Q Q )
s A As p
T
8330 , 1 s r 0
T
8330 , 1
2 s
r 0 As
p 0 s s s p s 0 0 s p s s s
s (^) − −Δ s − = ρ − ⎟
ρ − − +ρ − −ρ − + − − − −
Sustituyendo los valores numéricos en las dos expresiones queda:
dt
d(C C ) 1 , 736 (q qs) 7 , 576 (CA CAs) 0 , 09316 (T Ts) A As
dt
d(T T)
- 10
7 , 1. 10 (q q ) 1. 10 (T T ) 2 , 211. 10 (T T) (Q Q ) 8 , 549. 10 (C C ) (^6) s
A As
7 s s
6 0 0 s
6 s
7
−
Tomando variables desviación: q’ = q-qs, T’ 0 = T 0 -T0s, T’ = T-Ts, Q’ = Q - Qs, C’A = CA-CAs
dt
dC ' 1 , 736 q'− 7 , 576 C'A − 0 , 09316 T'= A
dt
dT' − 7 , 1. 107 q'+ 1. 106 T' 0 − 2 , 211. 106 T'+Q'− 8 , 549. 107 C'A= 1. 106
Tomando transformadas de Laplace:
T'(s ) 0 , 132 s 1
q'(s) 0 , 132 s 1
C' (s)
T'(s) s 7 , 576
q'(s) s 7 , 576
C' (s)
1 , 736 q'(s) 7 , 576 C' (s) 0 , 09316 T'(s) sC' (s)
A
A
A A
C' (s ) 0 , 4523 s 1
Q'(s) 0 , 4523 s 1
T' (s) 0 , 4523 s 1
q'(s) 0 , 4523 s 1
T'(s)
C' (s)
- 10 s 2 , 211. 10
Q'(s)
- 10 s 2 , 211. 10
T'(s)
- 10 s 2 , 211. 10
q'(s)
- 10 s 2 , 211. 10
T'(s)
7 , 1. 10 q'(s) 1. 10 T'(s) 2 , 211. 10 T'(s) Q'(s) 8 , 549. 10 C' (s) 1. 10 sT'(s)
A
7 0
6 6 A
7 6 6
6 6 0
6 6 6
7
6 A
6 7 0
7 6
−
Sustituyendo C’A(s) por su expresión:
−
T'(s ) 0 , 132 s 1
q'(s) 0 , 132 s 1
0 , 4523 s 1
Q'(s) 0 , 4523 s 1
T'(s) 0 , 4523 s 1
q'(s) 0 , 4523 s 1
T'(s)
7 0
T'(s ) ( 0 , 4523 s 1 )( 0 , 132 s 1 )
Q'(s) 0 , 4523 s 1
T' (s) 0 , 4523 s 1
q'(s) ( 0 , 4523 s 1 )( 0 , 132 s 1 )
0 , 4523 s 1
T'(s)
7 0
−
Q'(s)
( 0 , 4523 s 1 )( 0 , 132 s 1 )
0 , 4523 s 1
T'(s)
( 0 , 4523 s 1 )( 0 , 132 s 1 )
0 , 4523 s 1
q'(s)
( 0 , 4523 s 1 )( 0 , 132 s 1 )
( 0 , 4523 s 1 )( 0 , 132 s 1 )
0 , 4523 s 1
T'(s)
7
0
−
Q'(s) ( 0 , 4523 s 1 )( 0 , 132 s 1 ) 0 , 4755
4 , 523. 10 ( 0 , 132 s 1 )
T'(s) ( 0 , 4523 s 1 )( 0 , 132 s 1 ) 0 , 4755
0 , 4523 ( 0 , 132 s 1 ) q'(s) ( 0 , 4523 s 1 )( 0 , 132 s 1 ) 0 , 4755
32 , 11 ( 0 , 132 s 1 ) 8 , 857 T'(s)
7
0
−
Q'(s) 0 , 0597 s 0 , 5843 s 0 , 5245
5 , 97. 10 s 4 , 523. 10
T' (s) 0 , 0597 s 0 , 5843 s 0 , 5245
0 , 0597 s 0 , 4523 q'(s) 0 , 0597 s 0 , 5843 s 0 , 5245
4 , 238 s 40 , 967 T'(s)
2
8 7
2 2 0
− −
Q'(s) ( 0 , 1138 s 1 )(s 1 )
1 , 138. 10 s 8 , 623. 10 T' (s) ( 0 , 1138 s 1 )(s 1 )
0 , 1138 s 0 , 8623 q'(s) ( 0 , 1138 s 1 )(s 1 )
8 , 08 s 78 , 1 T'(s)
7 7 (^0) + +
− −
Q'(s) ( 0 , 1138 s 1 )(s 1 )
8 , 623. 10 ( 0 , 132 s 1 ) T'(s) ( 0 , 1138 s 1 )(s 1 )
0 , 8623 ( 0 , 132 s 1 ) q'(s) ( 0 , 1138 s 1 )(s 1 )
78 , 1 ( 0 , 1035 s 1 ) T'(s)
7 0
−
- El proceso de ingestión de un medicamento, distribución en el organismo y posterior metabolización del mismo en un individuo, puede representarse por el siguiente modelo matemático simplificado:
kx u dt
dx (^1) = − 11 +
11 2 2
(^2) kx k x dt
dx = −
Tracto gastrointestinal
Torrente sanguineo
Ingestión
Distribución Eliminación
u(t) (^) x 1 x (^2)
donde, x 1 , x 2 , y u, representan (como desviaciones de los valores iniciales en estado estacionario) la masa del medicamento en el tracto gastrointestinal, la masa del medicamento en el torrente sanguíneo, y la velocidad de ingestión del medicamento, respectivamente. Para un pequeño mamífero (usado en el laboratorio de toxicología) los valores de las constantes que aparecen en las ecuaciones anteriores son: k 1 = 5.63 min-1^ y k 2 = 12.62 min-1. Utilizando la función de transferencia del modelo del proceso: a) Obtenga la respuesta de la masa del medicamento en el torrente sanguíneo ante un programa de ingestión del mismo consistente en una velocidad de ingestión de 10 mg/min a t = 0, sostenida durante 5 min, y suprimida a partir de entonces. ¿Cuál es el valor máximo de masa del medicamento en el torrente sanguíneo?
(^0 5) tiempo, min
10 u(t)
b) Repetir el apartado a) para la situación en que: ⎩
⎨
⎧ ≥
< = (^) − 10 e ; t 0
0 ; t 0 u( t) k 2 t
correspondiente a un programa de ingestión del medicamento de 10 mg/min y disminución exponencial con una velocidad caracterizada por k 2 , la misma constante asociada con la eliminación del medicamento del torrente sanguíneo.
Solución:
a) Para responder a esta pregunta hay que usar la función de transferencia que relaciona x 2 con u. La función de transferencia se obtendrá al tomar transformadas de Laplace en las dos ecuaciones diferenciales que describen el proceso.
s 1 k
1 /k u(s)
x (s) sx(s) kx(s) u(s)
1
1 1 1 1 1
s 1 k
k /k x(s)
x (s) sx (s) kx (s) k x (s)
2
1 2 1
2 2 1 1 2 2
Luego: ( 0 , 1776 s 1 )( 0 , 07924 s 1 )
s 1 k
s 1 k
1 /k u(s)
x (s)
1 2
2 2
e^5 s s
s
u (s)= − −
Se trata de obtener la respuesta de un elemento de segundo orden sobreamortiguado.
( )( ) ( )( ) ( ) ( s 12 , 62 )
C
s 5 , 63
B
s
A
ss 5 , 63 s 12 , 62
s
0 , 1776 s 1 0 , 07924 s 1
Para calcular A multiplicamos ambos miembros de la igualdad por s y hacemos s=
( )( )
A 0 , 7924
s 5 , 63 s 12 , 62
s 0
Para calcular B multiplicamos ambos miembros de la igualdad por s+5,63 y hacemos s=-5,
( )
B 1 , 4306
ss 12 , 62
s 5 , 63
Para calcular C multiplicamos ambos miembros de la igualdad por s+12,62 y hacemos s=-12,
( )
C 0 , 6382
ss 5 , 63
s 12 , 62
Luego la respuesta en el tiempo será:
5 , 63 t 12 , 62 t x 2 (t) 0 , 7924 1 , 4306 e 0 , 6382 e = − −^ + − ; 0 ≤ t < 5
x 2 (t)= 0 , 7924 − 1 , 4306 e−^5 ,^63 t+ 0 , 6382 e−^12 ,^62 t− ( 0 , 7924 − 1 , 4306 e−^5 ,^63 (t−^5 )+ 0 , 6382 e−^12 ,^62 (t−^5 ))= = − 1 , 4306 e−^5 ,^63 t( 1 −e^28 ,^15 )+ 0 , 6382 e−^12 ,^62 t( 1 −e^63 ,^1 ); t ≥ 5
El valor máximo corresponderá a t = 5 min, luego x 2 (t) = 0,
b) En este caso s 12 , 62
s k
u(s) 2 +
( )( ) (^) ( )( )
(s 12 , 62 )
0 , 1776 s 1 0 , 07924 s 1
( ) (^ )^ (s^5 ,^63 )
C
s 12 , 62
B
s 12 , 62
A
Para calcular A multiplicamos ambos miembros de la igualdad por (s+12,62)^2 y hacemos s=-12,
( )
A 8 , 054
s 5 , 63
s 12 , 62
Para calcular B derivamos la expresión anterior respecto de s y hacemos s=-12,
