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HOJA 2: Límites y Continuidad
1. (*)Calcular:
a) lim x→ 0
4 x^3 2 x^2 −x 5 x^2 2 x b) lim x→ 2
x^3 −x^2 −x− 2 x− 2 c) lim x→ 0
2 x − 2 x
d) limx→
x^2 − x x^3 3 x^4
e) limx→^ senxx f) limx→−^ x
(^2) cosx 1 x^2 1
g) limx→−^3 x
(^3) 2 x (^2) x 2 x^2 − 7 x 1 h) limx→−
x^4 −ax^3 x^2 1 i) lim x→ 0
x^4 −x^3 x^2 b a) lim x→ 0 4 x
(^3) 2 x (^2) −x 5 x^2 2 x ^ −1/2. b) lim x→ 2 x
(^3) −x (^2) −x− 2 x− 2 ^7 c) lim x→ 0 2 x x^ − 2 (^2 )
d) limx→
x^2 − x x^3 3 x^4
e) limx→^ senxx 0. f) limx→−^ x
(^2) cosx 1 x^2 1 no existe. g) limx→−^3 x
(^3) 2 x (^2) x 2 x^2 − 7 x 1 ^ −. h) limx→−^ x
(^4) −ax 3 x^2 1 ^ . i) lim x→ 0 x
(^4) −x 3 x^2 b ^ 0. .
2. Sabiendo que lim x→ 0 senxx 1, calcular:
a)lim x→ 0
sen^2 2 x x^2 b)lim x→ 1
senx^2 − 1 x− 1
a) lim x→ 0
sen^2 2 x x^2 ^4 b) lim x→ 1 senx
(^2) − 1 x− 1 ^2 .
3. Hallar las discontinuidades (si las hay) de las funciones que siguen:
a)(*)fx |x x−−3| 3 b)fx
x si x ≤ − 2 xsenx 1 −cosx si^ −^
2 ^ x^ ^
2 ;^ x^ ≠^0 1 si x 0 0 si 2 ≤ x
c) fx
x 1 −x si^ x^ ≤ −1. −1/2 1 − x−^2 si − 1 x ≤ 1 senx −^1 si^1 ^ x
d) (*)fx
2 x x 1 si^ x^ ^ −1. e1/x^ si − 1 ≤ x 0 si x 0 1/x si 0 x
a) f es discontinua en x3.
b) f es continua en −/2. Por otra parte, f no es continua en x0. Por último, luego f no es continua en /2. c) f es continua en −1. Por otra parte, f no es continua en 1. d) f no es continua en −1. Por otro lado, f no es continua en 0. .
4. (*)Calcula los siguientes límites:
i) lim x→ 1
x − 1 arcsen tg
(^4) x 1 tg^4 x ii) lim x→ 2 1 h
(^2) x |x−2| , con^ hx^ una función con límite finito cuando^ x^ →^ 2. i) lim x→ 1 x − 1 arcsen tg
(^4) x 1 tg^4 x ^ ^ 0. ii) lim x→ 2
1 h^2 x |x−2| ^ . .
5. (*)Calcular
a) lim x→− 3 ^ x
2 x^2 − 9 b) lim x→− 3 −
x^2 x^2 − 9 c)lim x→ 0
2 senx d)lim x→ 0 −^1 −^ 1/x^
(^1) x e)lim x→ 0 −^ x
(^2) − 2 x x^3 a) lim x→− 3
x^2 x^2 − 9 ^ −. b) lim x→− 3 −
x^2 x^2 − 9 ^ . c)lim x→ 0
2 senx ^ . d)lim x→ 0 − 1 − 1/x
(^1) x 0.
e)lim x→ 0 −^ x
(^2) − 2 x x^3 ^ − .
6. Calcula todas las asíntotas de las siguientes funciones:
(*)fx x
3 x^2 − 1 gx^ ^
x^2 − 1 x (*)hx^ ^ x
(^2) − 1 ()mx 1 lnx ()nx^ ^ e
1/x
a) y x es asíntota oblicua en (y, análogamente, en −. Por otra parte, x −1, x 1 son las asíntotas verticales. b) y x es asíntota oblicua en (y, análogamente, en −. Por otra parte, x 0 es la única asíntota vertical. c) y x es asíntota oblícua en . Sin embargo, la asíntota en − es y −x. d) y 0 es la asíntota horizontal en , x 0 no es una asíntota vertica, x 1 es una asíntota vertical. e) y 1 es la asíntota horizontal en y en -, x 0 es la única asíntota vertical. .
7. Demuestra que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz.
.
8. ()a) Usar el teorema de los valores intermedios para comprobar que las funciones que siguen tienen un cero en el intervalo indicado. i) fx x^2 − 4 x 3 en 2, 4; ii) gx x^3 3 x − 2 en 0, 1. b) Obtener mediante particiones del intervalo y aplicaciones sucesivas de Bolzano, el cero con un error de 0. 25. x3 es un cero de f con total exactitud. Por otra parte, x3/4 es un cero de g con un error menor que 0. 25. . 9. ()Comprueba que las ecuaciones x^4 − 11 x 7 0 y 2x^ − 4 x 0 tienen al menos dos
19. (*)a) Sea Cx 3 x
(^2) x x− 1 ^ 100, la función de costes totales de producción, suponiendo x ≥ 7. Comprueba si tiene asíntota oblicua cuando x → . b) Considera la función Cmx
Cx x , es decir, los costes medios de producción. Comprueba que tiene asíntota horizontal cuando x → . c) ¿Hay alguna relación entre la asíntota oblícua de la parte a) y la horizontal de la parte b? .
a) y 3 x 104 es la asíntota oblicua en de Cx. b) Obviamente, es y 3. c) En efecto, el coeficiente de la x en la asíntota oblicua de la parte a) es el término constante en la parte b). .
20. (*)Una entidad bancaria ofrece una cuenta corriente con las siguientes condiciones: los 250.000 primeros euros sin remunerar, el resto al 7% de interés anual. Considera la siguiente función: i : 0, → IR definida como ix”interés obtenido en % al depositar un capital x y mantenerlo durante un año”. i) Obtener ix. ii) Calcular limx→ ix. iii)¿Existe algún capital c para el que ic 7? iv) ¿A partir de qué capital se obtiene al menos un 6% de interés? v) Dibuja la función i. . a) ix 7 x − 250. 000/x, si x 250. 000; 0, si x 250. 000. b) 7. c) No. d) cuando x 1. 750. 000
