Teoría de Juegos: Equilibrios de Nash en Juegos Estáticos, Apuntes de Administración de Empresas

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Juegos est´aticos Forma Normal Equilibrio de Nash

Teor´ıa de juegos

Micro T

Departament d’Economia Universitat Rovira i Virgili

Juegos est´aticos Forma Normal Equilibrio de Nash

Teor´ıa de juegos

Teor´ıa de juegos

Estudia situaciones de decisi´on interactiva, en las que las acciones de un individuo de un grupo puede afectar al bienestar de los dem´as miembros del grupo.

Juegos est´aticos Forma Normal Equilibrio de Nash

Juegos no-cooperativos

Definition Los juegos est´aticos son aquellos en los que los jugadores adoptan acciones de forma simult´anea.

Definition Los juegos din´amicos se caracterizan por que en el proceso de toma de decisiones algunos jugadores reciben informaci´on nueva.

Juegos est´aticos Forma Normal Equilibrio de Nash

Juegos est´aticos

Tema 1: Juegos est´aticos

1 REPRESENTACI ´ON EN FORMA NORMAL DE UN JUEGO.

2 RACIONALIDAD E INFORMACI ´ON

3 SOLUCIONES A LOS JUEGOS EST ´ATICOS

Juegos est´aticos Forma Normal Equilibrio de Nash Soluciones Estrategias racionales

El dilema del prisionero

P 2 no confiesa P 2 confiesa P 1 no confiesa -1,-1 -9, P 1 confiesa 0,-9 -6,-

Cada jugador tiene dos estrategias posibles: confesar y no confesar. En cada casilla aparecen los pagos (o ganancias) de los jugadores. Primero con fila, segundo con columna.

Juegos est´aticos Forma Normal Equilibrio de Nash Soluciones Estrategias racionales

Representaci´on en forma normal de un juego

Representaci´on en forma normal de un juego: Los jugadores en el juego. Las estrategias que dispone cada jugador. El pago de cada jugador en cada combinaci´on posible de estrategias. Notaci´on: n – el n´umero de jugadores. Si – el conjunto de estrategias del jugador i. si – estrategia particular del jugador i. (s 1 , ..., sn) – combinaci´on de estrategias, una para cada jugador. ui – Funci´on de pagos del jugador i.

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Racionalidad e Informaci´on

Dos hip´otesis fundamentales sobre la conducta de los individuos y su informaci´on b´asica. Racionalidad: El objetivo de cada individuo es maximizar su bienestar. Conocimiento com ´un: todos saben que los jugadores son racionales, todos saben que todos saben que los jugadores son racionales, ....(ad infinitum) (Aumann 1976).

Juegos est´aticos Forma Normal Equilibrio de Nash Soluciones Estrategias racionales

SOLUCIONES A LOS JUEGOS EST ´ATICOS

Predecir estrategias elegidas: resultado del juego. Proponemos dos conceptos de soluci´on para los juegos est´aticos no cooperativos: El conjunto de estrategias racionales.

El conjunto de equilibrios de Nash.

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Estrategias racionales

Definition La estrategia s′ i est´a estrictamente dominada por si si por cada combinaci´on posible del resto de jugadores la ganancia de i para utilizar s′ i es estrictamente menor que la ganancia de i para utilizar si: ui (s 1 , ..., si− 1 , s′ i, si+ 1 , ..., sn) < ui (s 1 , ..., si− 1 , si, si+ 1 , ..., sn) , ∀ (s 1 , ..., si− 1 , si+ 1 , ..., sn) ∈ S 1 × ... × Si− 1 × Si+ 1 × ... × Sn

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Estrategias racionales: Dilema prisionero

P 2 no confiesa P 2 confiesa P 1 no confiesa -1,-1 -9, P 1 confiesa 0,-9 -6,-

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Ejemplo

Jugador 2 Izquierda Centro Derecha Jugador 1 Alto 1,0 1,2 0, Bajo 0,3 0,1 2,

Juegos est´aticos Forma Normal Equilibrio de Nash Soluciones Estrategias racionales

Estrategias racionales

Inconveniente: despu´es de eliminar todas las estrategias estrictamente dominadas no quedamos con una ´unica estrategia para cada jugador

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Equilibrio de Nash

Definition En el juego en forma normal G = {S 1 , ..., Sn; u 1 , ..., un}, las estrategias

s∗ 1 , ..., s∗ i− 1 , s∗ i , s∗ i+ 1 , ..., s∗ n

es un equilibrio de Nash si para cualquier jugador i estrategia s∗ i es la mejor respuesta de este jugador en las estrategias de los otros jugadores( s∗ 1 , ..., s∗ i− 1 , s∗ i+ 1 , ..., s∗ n

. Por lo tanto,

ui

s∗ 1 , ..., s∗ i− 1 , si, s∗ i+ 1 , ..., s∗ n

≤ ui

s∗ 1 , ..., s∗ i− 1 , s∗ i , s∗ i+ 1 , ..., s∗ n

∀ si ∈ Si, i = 1 , ..., n

Juegos est´aticos Forma Normal Equilibrio de Nash

Ejemplo

Jugador 2 Izquierda Centro Derecha Jugador 1 Alto 0,4 4,0 5, Medio 4,0 0,4 5, Bajo 3,5 3,5 6,