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ANÁLISIS VECTORIAL
1 .- Calcula el módulo de la resultante del sistema de
vectores mostrados:
A. √𝟐 𝒖
B. √𝟑 𝒖
C. √𝟓 𝒖
D. 1 𝒖
E. 0 𝒖
SOLUCIÓN:
De la figura:
Eje “x”: Rx: 4 + 24 - 27 = 1u
Eje “y”: Ry: 3 – 9 +7 = 1u
R = 1
RESPUESTA: “A”
2 .- El módulo de la resultante máxima de dos vectores es 18
u y el módulo de la mínima resultante de los mismos es 6 u.
Calcular el módulo de la resultante cuando los vectores 90°.
A. 𝟔√𝟑 𝒖
B. √𝟑 𝒖
C. 𝟐𝟒 𝒖
D. 𝟔
E. 𝟏𝟓 𝒖
SOLUCIÓN:
P + Q = 18
P - Q = 6
Entonces A = 12 u y B = 6 u
Por lo tanto: R = √𝑃
2
2
R = √ 12
2
2
R = 6 √ 5 𝑢
RESPUESTA: “D”
3 .- En la figura calcula el valor de la resultante:
A. √𝟑 𝒖
B. 𝒂√𝟑 𝒖
C. 𝒂
D. 𝒂 𝒖
E. √𝟑𝒂 𝒖
SOLUCIÓN:
De la figura:
Hallando la resultante:
R = √𝑃
2
2
R = √𝑎
2
2
R = 𝑎√ 3
RESPUESTA: “B”
4 .- Del gráfico,
determine el módulo
del vector resultante
si sabemos qué |𝒃
A. 18 𝑚/𝑠
B. 20 𝑚/𝑠
C. 12 𝑚/𝑠
D. 24 𝑚/𝑠
E. 25 𝑚/𝑠
SOLUCIÓN:
Graficamos:
Entonces la resultante es:
Como conocemos el módulo de 𝑏
entonces por triángulos
notables:
Finalmente:
RESPUESTA: “D”
27 u
5 u
25 u
9 u
X
Y
5 .- En física, la fuerza es una cantidad física vectorial.
Según una definición clásica, fuerza es todo agente capaz
de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los
materiales. Si jalamos al carrito por medio de las cuerdas
mostradas, ¿Qué módulo debe tener la fuerza resultante (en
N) que reemplazaría a ambas fuerzas?
A. 140
B. 50
C. 120
D. 100
E. 150
SOLUCIÓN:
Aplicando la ley de cosenos:
2
2
2
2
RESPUESTA: “A”
6 .- Los puntos “A”, “B” y “C” forman un triangulo equilatero de
lado 5 m. Determine el mo dulo del vector resultante.
A. 0 𝑚
B. 5 𝑚
C. 10 𝑚
D. 15 𝑚
E. 5
SOLUCIÓN:
Graficamos:
Hallamos el vector resultante:
Como A, B,C es equilátero entonces:
Por lo tanto:
RESPUESTA: “C”
7 .- A partir del siguiente gráfico se pide calcular el módulo
del vector resultante
(en N).
A. 15 √ 51
B. 10 √ 7
C. 5 √ 14
D. 20
E. 10
SOLUCIÓN:
Aplicando la ley de cosenos:
2
2
2
2
RESPUESTA: “E”
8 .- Hallar el ángulo “𝜶” si la resultante se encuentra sobre
el eje “x”
A. 30 °
B. 37 °
C. 53°
D. 45 °
E. 60°
SOLUCIÓN:
Descomponiendo el vector de módulo 30 u 15 √𝟐u:
Por dato: 𝑅
𝑦
Luego:
𝟑𝟎𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝟏𝟓
𝒔𝒆𝒏𝜶 =
𝟏
𝟐
𝜶 = 𝟑𝟎°
RESPUESTA: “A”
𝟏𝟓 u
𝟑 u
𝟏𝟓 u
𝟑𝟎𝒔𝒆𝒏𝜶
𝟏𝟓√𝟐 u
𝟏𝟓√𝟑 u
𝟒𝟓°
𝜶
30 u
Y
𝟑𝟎𝒄𝒐𝒔𝜶
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
RESPUESTA: “C”
1 1.- Hallar el vector 𝑿
en función de los vectores 𝑨
y 𝑩
A. 2 𝐀
B. 2 𝐁
C. 𝐀
D. 𝐁
E. 𝟑𝐀
SOLUCIÓN:
Completando la figura con el vector auxiliar 𝐥, tenemos:
De la figura: 𝑿
Luego. 𝑿
Reemplazando (1) en (2): 𝑿
RESPUESTA: “A”
12 .- En la fig. el radio de la circunferencia es igual a 5u.
Hallar el módulo de la resultante.
A. 𝟐√𝟓𝒖
B. 𝟑√𝟓𝒖
C. 𝟒𝒖
D. 𝟓𝒖
E. 𝟎𝒖
SOLUCIÓN:
Sumando los dos vectores que forman 120°, encontramos la
resultante R
R1 = √𝑭
𝟐
𝟐
R1 =
𝟐
R1 = √𝟐𝑭
𝟐
R1 = F
R1 como resultante forma 60° con cada vector que se sumó.
Y ahora se forma un ángulo de 127° con el vector F que falta
sumar. Ahora hallando la resultante total:
RTOTAL = √𝑭
𝟐
𝟐
RTOTAL = √𝟐𝑭
𝟐
− 𝟐𝑭. 𝑭. 𝒄𝒐𝒔𝟓𝟑
RTOTAL = √𝟐𝑭
𝟐
𝟐
𝟑
𝟓
RTOTAL =
𝟒
𝟓
𝟐
𝟐𝑭
√𝟓
𝟐𝑭√𝟓
𝟓
(Pero F = 5u)
RTOTAL = 𝟐√𝟓u
RESPUESTA: “A”
13 .- Determinar el módulo del vector 𝑷
, tal que su resultante
) sea la menor posible sabiendo que el módulo del
vector |𝑸
| = 30 u. Dato: tg𝜽=
𝟖
𝟏𝟓
A. 17 u
B. 32 u
C. 33 u
D. 34 u
E. 35 u
SOLUCIÓN:
P
Q
180°-
Pcos
Por dato para que sea resultante mínima se cumple que:
RESPUESTA: “D”
14 .- Determine el vector resultante de los vectores que se
muestran en la figura.
A. ( 6 𝑖 − 2 𝑗)𝑢
B. ( 2 𝑖 + 6 𝑗)𝑢
C. ( 6 𝑖 + 2 𝑗)𝑢
D.
E. ( 8 𝑖 + 3 𝑗)𝑢
SOLUCIÓN:
Determinamos las componentes de los vectores:
Nos piden la resultante entonces:
RESPUESTA: “D”
15 .- A partir de la
siguiente imagen se
pide determinar el
vector 𝑹
A. − 3 𝑖 𝑢
B. − 3 𝑗 𝑢
C. − 4 𝑖 𝑢
D. − 5 𝑖 𝑢
E. − 4 𝑗 𝑢
SOLUCIÓN:
Denotamos individualmente los vectores:
Luego:
RESPUESTA: “A”
16 .- Si ABCD es un rectángulo, determine el vector
resultante del sistema de vectores mostrados.
A.
B. (− 4 𝑖 − 6 𝑗) 𝑢
C. (− 4 𝑖 − 3 𝑗) 𝑢
D. ( 8 𝑖 + 6 𝑗) 𝑢
E. (− 4 𝑖 + 6 𝑗) 𝑢
SOLUCIÓN:
Se traslada el vector 𝒃
Trazamos la resultante 𝑹
usando el método del polígono.
Determinamos la resultante en función de los componentes:
RESPUESTA: “B”
17 .- Si la resultante de los vectores 𝑨
es nula, donde:
Hallar el valor de "𝒙 + 𝒚 + 𝒛".
A. - 2
B. - 6
C. 8
D. - 5
E. 7
SOLUCIÓN:
Sumamos cada una de las componentes de los tres vectores
y los igualamos: 𝑹
−y + 4 − 7
1 + 2 + 3z
Entonces: 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = −𝟏 − 𝟑 − 𝟏 = −𝟓
RESPUESTA: “D”
X
Y
X
Y
𝑅
RESPUESTA: “B”
21 .- Si la arista del hexágono regular mide 2 u. Halle el
vector resultante del sistema de vectores mostrados.
A. − 4 𝑖 − 6 √ 3 𝑗
B. − 2 𝑖 + 6 √ 3 𝑗
C. 2 𝑖 − 3 √ 3 𝑗
D. 2 𝑖 + 3
E. 4 𝑖 + 6
SOLUCIÓN:
Trazamos por el método del polígono, la suma de los
vectores marcados de verde y rojo:
Identificamos las componentes:
Realizamos la resultante:
RESPUESTA: “E”
22 .- Sean 𝒗⃗⃗ y 𝒖⃗⃗ vectores unitarios perpendiculares. Indique
las proposiciones falsas:
I.
II.
III.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I, III
E. I, II, III
SOLUCIÓN:
I. |𝒖⃗⃗ + 𝒗⃗⃗ | = 𝟐 𝒖 FALSO
2
2
II.
= 𝟐 𝒖 VERDADERO
Como
= 1 𝑢 y
= 1 𝑢. Entonces:
III.
= √𝟐 𝒖 VERDADERO
2
2
RESPUESTA: “A”
23 .- Determine el vector unitario paralelo a la resultante de
los vectores mostrados en la figura.
A.
1
3
B.
1
3
C.
1
3
D.
1
√ 3
E.
1
3
SOLUCIÓN:
Expresamos cada uno de los vectores en función de las
componentes rectangulares:
Expresamos el vector unitario:
𝑅
RESPUESTA: “B”
24 .- Sean los vectores 𝑨
Determine el valor de 𝑨
A. 𝟎
B. 𝟐
C. 𝟔
D. 𝟏𝟐
E. 𝟏𝟓
SOLUCIÓN:
Resolvemos el Producto punto:
RESPUESTA: “D”
25 .- Sobre los siguientes vectores, 𝑨
), podemos afirmar al respecto, sobre ellos:
A. 𝐒𝐨𝐧 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐨𝐬
B. 𝐓𝐢𝐞𝐧𝐞𝐧 𝐞𝐥 𝐦𝐢𝐬𝐦𝐨 𝐦ó𝐝𝐮𝐥𝐨
C. 𝐒𝐨𝐧 𝐩𝐞𝐫𝐩𝐞𝐧𝐝𝐢𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫𝐞𝐬
D. 𝑺𝒐𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒆𝒏 ℝ
𝟐
E. 𝐒𝐨𝐧 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨𝐬
SOLUCIÓN:
Hallemos su producto escalar:
Como el producto escalar nos dio 0, podemos afirmar que los
vectores son perpendiculares.
RESPUESTA: “C”
26 .- Se tiene los vectores 𝑨
que forman entre sí 𝟑𝟎° y
además es sabido que el módulo del primero es √𝟑𝒖.
Determine el módulo del segundo vector, si la diferencia de
los vectores, resulta ser perpendicular con el primer vector.
A. 𝟏
B. 𝟒
C. 𝟓
D. 𝟔
E. 𝟐
SOLUCIÓN:
Del enunciado se desprende:
A
2
− A. B. Cos 30 ° = 0 → √ 3
2
− √ 3. B.
∴ B = 2
RESPUESTA: “E”
27 .- Se sabe que los vectores 𝑨
). Son perpendiculares entre sí, halla el valor de
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
E. 6
SOLUCIÓN:
Recordemos si 2 vectores son perpendiculares el producto
punto, de ambos es igual a 0.:
= (1x4) + (−2ax1) + (0x0) = 0
4 − 2a = 0
RESPUESTA: “D”
28 .-Se tiene los vectores 𝑨
= (𝟐; 𝒙) determina
el valor de 𝒙 (donde x ∈ ℝ) de modo que los vectores sean
paralelos:
A. 3 / 2
B. 1 / 2
C. − 4 / 3
D. − 3 / 4
E. 6 / 5
SOLUCIÓN:
Recordemos que para que sean paralelos en ángulo entre
los vectores será 0°, en tal caso podemos aplicar:
𝒂𝒅𝒆𝒎á𝒔 𝑪𝒐𝒔 𝟎° = 𝟏 → 𝟏 =
𝟐
RESPUESTA: “C”
29 .- Halle un valor para “m” (𝒎 ∈ ℝ) tal que 𝑨
= (𝟐𝒎; 𝒎; −𝟒) son ortogonales.
A. 𝟑 𝒐 − 𝟏
B. −𝟐 𝒐 𝟏
C. −𝟑 𝒐 − 𝟐
D. 𝟐 𝒐 − 𝟏
E. −𝟑 𝒐 𝟏
SOLUCIÓN:
Para que 𝐴 𝑦 𝐵
sean ortogonales, se debe de cumplir:
2
RESPUESTA: “D”
30 .- Determinar el mayor valor entero de “n” para que los
vectores 𝑨
= (𝟑, 𝒏) y 𝑩
= (𝟐, −𝟏) formen un ángulo de 45 °.
A. 4
B. 3
C. 5
D. 1
E. 0
SOLUCIÓN:
Aplicamos el producto punto:
| cos(45°)
2
2
2
2
) cos(45°)
2
2
) (√ 5 )
2
2
36 .- Sean los vectores 𝐀
y 𝐁
; de las
siguientes opciones, señale cuál es el vector perpendicular
a los vectores dados 𝐀
y 𝐁
A. − 6 î + 19 j+̂ 8 k
B. 6 î − 11 j+̂ 8 k
C. − 6 î − 11 j+̂ 8 k
D. 6 î + 19 j+̂ 8 k
E. − 6 î − 11 ĵ − 8 k
SOLUCIÓN:
El vector perpendicular pedido, está dado por el producto
vectorial:
𝐴 × 𝐵
∴ 𝐴 × 𝐵
RESPUESTA: “B”
37 .- La interpretación geométrica del |𝐀
× 𝐁
|, es el área del
paralelogramo de lados "𝑨" y "𝑩", entonces para los vectores
= 𝟐𝐢̂ + 𝟑𝐣̂ y 𝐁
. Determine el área del
paralelogramo de lados "𝑨" y "𝑩".
A. √ 66 𝑢
2
B. √ 55 𝑢
2
C.
2
D.
2
E. √ 11 𝑢
2
SOLUCIÓN:
El área del paralelogramo está dada por: |𝐴 × 𝐵
Calculamos el módulo de 𝐴 × 𝐵
𝐴 × 𝐵
𝐴 × 𝐵
∴ |𝐴 × 𝐵
2
RESPUESTA: “C”
38 .- Para los vectores 𝐀
y 𝐁
determine la altura del paralelogramo respecto al lado "𝑨".
A. √ 6
B. 2 √ 6
C. 2
D. √ 5
E. √ 30
SOLUCIÓN:
Recordemos que:
|𝐴 × 𝐵
| = 𝐴𝐵 sen 𝜃, donde "𝜃" es el menor ángulo entre "𝐴" y
"; de modo que la altura pedida será ℎ = 𝐵 sen 𝜃. Entonces:
|𝐴 × 𝐵
Calculamos el módulo de 𝐴 × 𝐵
𝐴 × 𝐵
𝐴 × 𝐵
⇒ |𝐴 × 𝐵
El módulo de 𝐴:
Luego:
RESPUESTA: “D”
39 .- Dados los vectores 𝐀
y 𝐁
encuentre la magnitud del vector (𝐀
) × (𝐀
A. 5 √ 6
B. 4 √ 6
C. 3 √ 6
D. 2 √ 6
E.
SOLUCIÓN:
El vector suma y diferencia:
El producto:
) × (𝐴 − 𝐵
) × (𝐴 − 𝐵
) × (𝐴 − 𝐵
Luego, la magnitud:
) × (𝐴 − 𝐵
2
2
2
) × (𝐴 − 𝐵
RESPUESTA: “D”
40 .- Sean los vectores 𝐀
y 𝐁
= 𝐢̂ + 𝟐𝐣̂. Determine un
vector unitario que sea perpendicular a los vectores 𝐀
y 𝐁
A. (− 2 î − ĵ − k
B. (− 2 î + ĵ − k
C. ( 2 î − ĵ + k
D. ( 2 î − ĵ − k
E. ( 2 î + j ̂− k
SOLUCIÓN:
El vector unitario perpendicular a los vectores 𝐴 y 𝐵
, está
dado por:
𝐴 × 𝐵
|𝐴 × 𝐵
El producto:
𝐴 × 𝐵
𝐴 × 𝐵
El módulo:
|𝐴 × 𝐵
2
2
2
Luego:
RESPUESTA: “D”
41 .- La figura muestra un hexaedro de 𝟐 𝒎 de lado,
determine un vector unitario que sea perpendicular al plano
que contiene a los puntos
𝑶, 𝑷 y 𝑸.
A.
2 î − j ̂
B. (− 2 î + ĵ ) ⁄√ 2
C. (î − ĵ ) √
D. (−î + ĵ ) √
E.
î + 2 ĵ
SOLUCIÓN:
Los vectores 𝑂𝑃
y 𝑂𝑄
, determinan un plano; entonces un
vector unitario perpendicular a dicho plano, está dado por:
× 𝑂𝑄
× 𝑂𝑄
Los vectores:
El producto:
× 𝑂𝑄
× 𝑂𝑄
El módulo:
× 𝑂𝑄
2
2
= 4 √ 2
Luego:
RESPUESTA: “C”
42 .- Determinar el área (𝒆𝒏 𝒎
𝟐
) de la figura mostrada.
A. 0 , 5 √ 33
B. 1 , 5 √ 33
C. 2 , 5
D. 3 , 5
E. 4 , 5 √ 33
SOLUCIÓN:
El área del triángulo está dada por:
× 𝐴𝐶
Los vectores:
El producto:
× 𝐴𝐶
× 𝐴𝐶
El módulo:
× 𝐴𝐶
2
2
2
Luego:
2
RESPUESTA: “B”
