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a las Enseñanzas Académicas 3 Matemáticas orientadas Página 231 Resuelve
- En el triángulo de la figura A, ¿qué ángulo gira cada una de las piezas recortadas para dar lugar a la pieza con forma de “pajarita”? Cada una de las piezas recortadas gira 180°. (^) Figura A
- Describe los movimientos que se mencionan arriba, para la transparencia que calca la figura B.
P 1 P 2 P 4
P (^3)
Para que P 1 se superponga sobre P 2 hay que mover el papel a la derecha la distancia Figura B AB. Para que P alrededor de Para que P 32 se superponga sobre P se superponga sobre P B. 4 hay que mover el papel hacia abajo la distancia 3 hay que girar 60°, en el sentido de las agujas del reloj, BC y girar 60°, en sentido contrario al de las agujas del reloj, alrededor de C. P (^1) A B C
P 2 P 4
P 3
- Supón que la figura B se expande indefinidamente en todas direcciones. ¿En qué punto clavarías un alfiler para que, al girar la transparencia, desaparezca el color blanco? Pondríamos el alfiler en cualquiera de los vértices de cualquier pajarita.
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3 Estudio de las traslaciones
Página 234 1. El mosaico de abajo se llama “multihueso”. H 1 , H 2 , H 3 y H 4 son “huesos”. Se pueden estudiar las transformaciones por las que se pasa de unos a otros. H 4 H 1 H^3 H (^2) a) b) ¿Cuáles de estas transformaciones son traslaciones?¿Cuál es el vector que caracteriza la traslación que transforma H transforma H 2 en H 3? ¿Y el que transforma H 3 en H 1? 1 en H 2? ¿Y el que a) b) Son traslaciones HEl vector que transforma H 1 , H 2 y H 1 3 en H. 2 es (8, 0). H 4 H 1 H^3 H 2 El vector que transforma H 2 en H 3 es (– 4, 4). H 4 H 1 H^3 H 2 El vector que transforma H 3 en H 1 es (– 4, – 4). H 4 H 1 H^3 H 2
a las Enseñanzas Académicas 3 Matemáticas orientadas b) 246
(^10128) 14
–4 –2 2 4
Y
X
A' = (–1, 7) A = (0, 3)
C' = (–3, 15) C = (–2, 11) B' = (0, 3)
- Dibuja unos ejes coordenados sobre papel cuadriculado. Traza^ B^ = (1, –1) con compás la circunferencia a) Comprueba que C pasa por C (^) P de centro(0, 0), Q (^) (6, 8) y O (3, 4) y radio 5. R (3, –1). b) c) Traslada los puntos de vectorComprueba que la circunferencia cuyo centro es t (6, –2). O , P , Q y R mediante la traslación T O' = T( O ) d) y radio 5 pasa porTrasladando algunos de sus puntos, averigua en qué recta se transforma el eje^ P' ,^ Q'^ y^ R'. X. e) ¿En qué recta se transforma el eje Y?
O (3, 4)
a) La circunferencia pasa por P , Q y Y R.
X
O (3, 4)^ Q (6, 8) P (0, 0) R (3, –1) b) Los puntos trasladados son P' , Q' (^) Y y R'.
X
O (3, 4)^ Q (6, 8) R^ P (3, –1)(0, 0) O' (9, 2)^ Q' (12, 6) P' (6, –2) R' (9, –3)
a las Enseñanzas Académicas 3 Matemáticas orientadas c) Al trasladar de P , Q y OR ., encontramos el centro Y O' (9, 2). La circunferencia pasa por los trasladados
X
O (3, 4)^ Q (6, 8) R^ P (3, –1)(0, 0)
Q' (12, 6) O' (9, 2) d) La recta obtenida al trasladar el eje X es y = –2:^ P' (6, –2)^ R' (9, –3) Y A (–4, 0) PA' (0, 0)(2, –2) B (5, 0) P' (6, –2) B' (11, –2) X
e) La recta obtenida al trasladar el eje Y (^) Y es x = 6.
B^ A^ P (0, –3)(0, 3)(0, 0) A'^ P' B' (6, 1)(6, –2)(6, –5)^ X
a las Enseñanzas Académicas 3 Matemáticas orientadas b) c) Se transforma en otra recta perpendicular a la primera.La circunferencia se transforma en ella misma.
- Recuerda el mosaico “multihueso” que ya hemos visto en un ejercicio anterior. H 4 H 1 H^3 H (^2) a) b) Describe un giro que transforme HDescribe un giro que transforme H 11 en Hen H 43 .. a) Es un giro de 90° con centro el punto marcado: H90° 4 H 1 H^3 H (^2) b) Es un giro de 180° y de centro el punto marcado: H 4 H 1 H^3 180°H (^2)
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5 Simetrías axiales
Página 238 1. Copia esta figura en tu cuaderno y señala en ella los ejes de simetría.
- Consideramos la simetría S de eje la recta de: a) Los puntos A (3, 1), B (4, 0), C (0, 4), D (^) (5, 5). y = x. Dibuja los transformados mediante S b) c) El ejeEl eje XY .. d) e) La circunferenciaLa circunferencia CC 12 de centro (1, 4) y radio 2.de centro (3, 3) y radio 5. a) (^) Y b) c) X
C ≡ B' C' ≡ B A' A D'^ ≡^ D^ Y X
Eje X' Y Eje Y' X d) (^) Y e) X
c (^1) c 1'
Y X
c 2 c 2'
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7 Mosaicos, cenefas y rosetones
Página 240 1. Copia y completa en tu cuaderno los siguientes mosaicos: a) b) c)
a)
b)
c)
a las Enseñanzas Académicas 3 Matemáticas orientadas Página 241 2. Copia y completa en tu cuaderno los siguientes frisos. ¿Cuál es el menor trozo que se repite en cada uno? A B A B
A
B
A Motivo mínimo: B Motivo mínimo:
a las Enseñanzas Académicas 3 Matemáticas orientadas Página 242 Hazlo tú Encuentra movimientos que dejen invariante la cenefa (^) XI de la página anterior. XI
a) b) Con color.Sin color. a) b) Dejan invariante la cenefa, respetando los colores, la traslación de vector e Si no tenemos en cuenta el color, también deja invariante la cenefa el giro de centro. t y la simetría de eje O y ángulo 180°. XI O
(^8) t e
Hazlo tú ¿Qué movimientos dejan invariante el rosetón XIII de la página anterior? XII
Llamamos es el de centro Otros giros de centro O (^) al centro del rosetón. Prescindiendo del color, el giro que deja invariante el rosetón O y ángulo 90°. Por tanto, O y ángulos 180°, 270°, 360°… también dejan invariante la figura. O es un centro de orden 4. Si tenemos en cuenta los colores, el giro de centro O y ángulo 180° lo deja invariante.
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Página 243^ Ejercicios y problemas
Practica Traslaciones y giros
- (^) diante el vector b) Dibuja la figuraa) Representa en papel cuadriculado la figura t 1 (6, 1). Llamamos H 2 transformada de H 1 a la figura resultante. H 1 mediante la traslación H y trasládala me- c) Indica el vector de traslación que permite obtener^ t^2 (3, –^ 4). H 2 a partir de H.^ H d) a) ¿Qué traslación habría que aplicar ay b) H 2 para obtener H? H H^1 H 2
(^8) t (^188) t 2 t 3 c) d) El vector esEs el vector – t (^3) t 3 = (6, 1) + (3, – = (–9, 3). 4) = (9, –3), respresentado en la imagen.
- (^) de las otras figuras.Halla los vectores t 1 , t 2 , t 3 y t 4 que nos permiten transformar F en cada una F 1^ F^2 F F 3 F 4 3.^ t^1 = (–5, 1);Se ha realizado un giro de centro^ t^2 = (–1, 2);^ t^3 = (3, –3); O t^4 que transforma= (7, 1) A en D. a) b) Indica en qué puntos se transforman los puntos¿En qué se convierten los trapecios circulares 1, 3, 6 y 7? E , G y H. c) ¿Ha cambiado la disposición de colores de la figura original?
(^8 ) (^654) E D^7 OC^ BA d) Define el giro realizado (centro y ángulo) en el caso de que sea positivo y en el que sea F G H e) negativo.Si nos fijamos en los colores, ¿cuál es el menor ángulo de giro que hace que la figura se quede igual?
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- (^) formada mediante: a) La simetría de ejeCalcula las coordenadas de los vértices de la figura X. F trans- b) c) La simetría de ejeLa simetría central que tiene por centro el origen de coordenadas. Y. D C
AF (^) B d) e) La simetría que tiene por eje la recta que pasa porLa simetría central que tiene por centro el vértice BC. y B. f ) a) ¿Qué puntos o segmentos son invariantes con respecto a las simetrías de los apartados d) y e)? A' B' = (–3, –5)= (1, – 4) C C' D' = (–3, –1)= (– 4, – 4) D A^ B D'C' A' (^) B' b) A' B' = (3, 5)= (–1, 4) D (^) C C'D' C' D' = (3, 1)= (4, 4) AB' (^) B A' c) A' = (3, –5) B' C' = (–1, –= (3, –1) 4) C C' D' = (4, – 4) D D'
A A'
B d) B' A' = (0,84; –0,12) B' C' == BC = (1, 4)= (–3, 1) C D' = (– 0,4; – 0,8) D D'
A A'B
e e) A' B' = (5, 3)= B = (1, 4) C^ C' D'^ = (5, 7)= (6, 4) D A C'D' B A' f ) Con respecto a la simetría del apartado d), el segmento e), es invariante el punto B. BC es invariante, y con respecto a la del apartado
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- (^) centro de una simetría central.Copia en tu cuaderno y completa la figura de la derecha para que el punto O sea el O O
- a) Completa en tu cuaderno estos mosaicos: I II
b) a) Identifica, en cada uno de ellos, algunos movimientos que lo transformen en sí mismo.
b) • En Traslación de vector la primera figura podemost = (1, 3) encontrar diferentesTraslación de vector traslaciones y giros: t = (2, 0)
Giro de centro O y ángulo α = 180° O
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Resuelve problemas 10. a) Indica dónde tienen el centro de giro cada una de las siguientes figuras:
A B C D E
b) c) Halla el orden de cada uno de estos centros y calcula el ángulo mínimo de coinciden cia mediante giro.¿Cuáles tienen, además, centro de simetría? - a) b) El centro de cada figura es su centro de giro.Todas tienen centro de giro de orden la figura y que coincida con ella misma n (^) n porque el punto central de cada una permite girar veces. Los órdenes de giro de cada una y sus ángulos mínimos de coincidencia son: figura (^) A B C D E orden ángulo de mínimo giro (^) 45° (^8) 90° (^4) 120° (^3) 60° (^6) 30° 12
- c)^ Todas las figuras tienen centro de simetría excepto la C.a) Representa, en tu cuaderno, las transformadas de estas figuras b) ¿Cuál es la ecuación de la transformada de la recta que pasa por^ mediante la simetría cuyo eje es la recta^ y^ = – x^ : A y B? c) ¿Alguna de las figuras es invariante? A B a) A
F' A'G' FGB B' H b) c) La transformada de la recta que pasa por al eje de simetría. Su ecuación esSí, es invariante el círculo. y = x + 2. A y B es la misma recta, ya que es perpendicular
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- (^) de b) Dibuja C a) Dibuja en tu cuaderno la imagenmediante la simetría de eje C 2 , transformada de Cr 1. mediante la simetría C 1 transformada c) de ejeDefine el giro equivalente a la composición de las dos simetrías que transforman^ s. C en C 2. C^ O
r s a) y b) C O
r C 1^ s C 2
- c)^ El giro equivalente a la composición de las dos simetrías es de centroObserva la cuadrícula.^ O^ y ángulo –90°. Un giro de 180° alrededor de P a)(1, 1) en Identifica otros tres movimientos que transformen P' (5, 5). O (3, 3) transforma el punto P en P'.^ YAP O P' X b) a) ¿Cuál es la imagen deOtros movimientos que convierten A (1, 3) en cada uno? P en P' son:
- – La simetría central de centroEl giro de centro O y ángulo –180°. O (mismo movimiento que el giro descrito en el enunciado).
- – La traslación de vectorLa simetría axial de eje la recta que pasa por t = (4, 4). O y es perpendicular a PP'. b) En la simetría central y los giros, En la traslación, A' = (5, 7). A' = (5, 3).
- En la simetría axial,Determina cada uno de los tres movimientos que transforma^ A'^ = (3, 5). Δ en Δ' y designa en cada caso los vértices y los lados de nen. Por ejemplo: Un giro de centro C y ángulo – 60° transforma: Δ' teniendo en cuenta de qué vértices de Δ provie- A B →→ BB' = A' C → C = C'^ A^ C^ =^ aC'^ =^ b' B'
B = A' Movimiento 1: giro de centro B y ángulo 60°. bc a'c' A B →→ A'B == B'C C → C'^ A^ ∆ C = aA'^ ∆' C'
B = B' bc
