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An´alisis Matem´atico. Convocatoria de enero. 19-01-2016.
Prueba Global. Evaluaci´on Continua
Instrucciones:
- No abandonar el examen durante los primeros 30 minutos.
- Tiempo para esta parte del examen: 2 horas y 30 minutos.
- No est´a permitido usar calculadora ni tel´efono m´ovil.
- Las soluciones del examen se publicar´an, esta tarde o ma˜nana, en el Moodle de la asig- natura, junto con la fecha de salida de las notas y el d´ıa de la revisi´on.
Test (20%)
En cada pregunta de test, una y s´olo una de las afirmaciones (a), (b) y (c) es cierta. Poner la letra elegida en la casilla correspondiente. Calificaci´on: acierto = +1, fallo = − 0 ′ 5 y blanco = 0.
La ecuaci´on del plano tangente a la superficie z = x^2 cos(y) en el punto (1, 0) es: (a) z = 2x − 1. (b) z = 2x − 3.
(c) z = 2x − y − 3. A
La integral impropia
1
epx^ dx es convergente si y solo si:
(a) p > 0. (b) p < 0.
(c) |p| < 1. B
La integral impropia
0
x^2 e−^3 x^ dx es convergente y su valor es:
(a)
(b)
(c)
. C
La soluci´on del problema de valor inicial y′x = 2y ln(y), con y(1) = e, es: (a) y = ex. (b) y = e^2 x.
(c) y = ex^2. C
La ecuaci´on en diferencias xn+2 = 7xn+1 − 12 xn tiene como polinomio caracter´ıstico (a) x^2 − 7 x + 12. (b) 12x^2 − 7 x + 1.
(c) x^2 + 7x − 12. A
La sucesi´on an =
n^2 cos(n!) √ n^5 + n (a) es convergente pero no es mon´otona. (b) es acotada pero no es convergente.
(c) es mon´otona pero no est´a acotada. A
Sea an una sucesi´on que verifica que existe un t´ermino n 0 tal que an > 106 , para todo n ≥ n 0. Se puede asegurar que (a) an no est´a acotada. (b) an diverge a infinito.
(c) si an es convergente a l, entonces l ≥ 106. C
Sean
n=
an una serie de t´erminos positivos y Sn =
∑n k=
ak su sucesi´on de sumas parciales.
(a) Si an converge a 0, entonces la serie converge. (b) Si Sn est´a acotada, entonces la serie converge.
(c) Si an est´a acotada, entonces la serie converge. B
Dada la serie
n=
(−4)n^
, se puede asegurar que
(a) es convergente, y su suma es 4/ 5 (b) es convergente, y su suma es − 3 / 5
(c) es convergente, y su suma es − 3 / 7 B
El polinomio de Taylor de orden 6 de f (x) = ex^2 centrado en x = 0 es
(a)
∑^3
n=
x^2 n (2n)!
(b)
∑^6
n=
x^2 n n!
(c)
∑^3
n=
x^2 n n!
C
Cuesti´on 1 (5%)
Hallar los puntos cr´ıticos de f (x, y) = 7x^2 −x^3 +y^2 +2xy y determinar si son m´aximos, m´ınimos o puntos de silla.
Soluci´on La funci´on f es diferenciable en todo punto, por lo que sus ´unicos puntos cr´ıticos ser´an los que anulen las derivadas parciales.
∂f ∂x
(x, y) = 14x − 3 x^2 + 2y,
∂f ∂y
(x, y) = 2y + 2x.
Por tanto, los puntos cr´ıticos de f son las soluciones de
0 = 14x − 3 x^2 + 2y 0 = 2y + 2x.
De la segunda ecuaci´on, se obtiene y = −x. Sustituyendo en la primera queda − 3 x^2 + 12x = 0, que tiene soluciones x = 0 y x = 4. Concluimos que los puntos cr´ıticos son (0, 0) y (4, −4).
Las derivadas segundas de f (x, y) son:
A =
∂^2 f ∂x^2
(x, y) = 14 − 6 x, C =
∂^2 f ∂y^2
(x, y) = 2, B =
∂^2 f ∂x∂y
(x, y) = 2.
En el punto (0, 0) tenemos que A = 14, C = B = 2, y as´ı AC − B^2 = 24 > 0, A > 0. Por tanto en (0, 0) hay un m´ınimo local.
En el punto (4, −4) tenemos que A = −10, C = B = 2, y as´ı AC − B^2 = − 24 < 0. Por tanto en (4, −4) hay un punto de silla.
Cuesti´on 2 (5%)
Hallar la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial y′′^ − 6 y′^ +13y = 0 con y(0) = 0, y′(0) = 2.
Soluci´on Se trata de una EDO lineal homog´enea de orden dos con coeficientes constantes. El polinomio caracter´ıstico es z^2 − 6 z + 13, cuyas ra´ıces son
z =
= 3 ± 2 i
Por lo tanto, la soluci´on general de la ecuaci´on es de la forma y(t) = e^3 t^ (α cos(2t) + β sen(2t)).
Sustituimos ahora las condiciones iniciales: Como y(0) = e^0 (α cos 0+β sen 0) = α = 0, queda y(t) = e^3 t^ (β sen(2t)), cuya derivada es y′(t) = e^3 t^ (3β sen(2t) + 2β cos(2t)). Ahora y′(0) = e^0 (2β cos 0) = 2β = 2, por tanto β = 1.
Concluimos que la soluci´on particular es y(t) = e^3 t^ sen(2t).
Cuesti´on 3 (5 %)
Calcular el l´ımite de la sucesi´on n
3 n^ + 7n.
Soluci´on
Puesto que 0 ≤ 3 n^ ≤ 7 n^ para todo n ≥ 0, la regla del Sandwich implica que
7 = lim n
7 n^ ≤ lim n
3 n^ + 7n^ ≤ lim n
7 n^ + 7n^ = lim n
2 · 7 n.
Pero lim n
2 · 7 n^ = lim n
2 · lim n
7 n^ = 1 · 7 = 7, de modo que concluimos que
lim n→∞
√ n 3 n (^) + 7n (^) = 7.
Cuesti´on 4 (5 %)
Hallar el intervalo de convergencia de la serie de potencias
∑^ ∞
n=
(n + 1)(x + 1)n 2 n
Soluci´on Se trata de una serie de potencias centrada en x 0 = −1 y con coeficientes an =
n + 1 2 n^
. El radio
de convergencia es
R =
lim n
|an|
lim n
n+ 2 n
Se deduce que la serie es absolutamente convergente (y por tanto convergente) para todo x del intervalo (− 3 , 1).
Si x > 1 o x < −3 la serie es divergente. Veamos ahora la convergencia en los extremos del intervalo, x 0 ± R:
Para x = 1, la serie es
n=
(n + 1)(2)n 2 n^
n=
n + 1, que es divergente porque el t´ermino
general no tiende a 0.
Para x = −3, la serie es
n=
(n + 1)(−2)n 2 n^
n=
(n + 1)(−1)n, que tambi´en es divergente
(por igual motivo).
En conclusi´on el intervalo de convergencia es (− 3 , 1).
Problema 2 (15 %)
Se consideran las sucesiones
an =
(n + 1)! + sin(n) (n − 1)! (^12 )n^
Sn =
∑^ n
k=
log(kk^ + 1) k
(a) (3 puntos) Obtener el orden de magnitud de an. (b) (3 puntos) Justificar que Sn es divergente y obtener su orden de magnitud. (c) (2 puntos) Comparar los ´ordenes de magnitud de las sucesiones an y Sn. (d) (2 puntos) Justificar cu´ales de las sucesiones an y Sn est´an en O(3n) y cu´ales en O(n^2 ).
Soluci´on
(a) Puesto que sin n << n << (n + 1)!, tenemos que
an ∼
(n + 1)! (n − 1)! (^12 )n^
= (n + 1)n · 2 n^ ∼ n^2 · 2 n.
(b) El t´ermino general de la sucesi´on de sumas parciales Sn es
log(nn^ + 1) n
n log(n) n
= log(n).
Puesto que log(n) no converge a 0, deducimos que la sucesi´on de sumas parciales Sn es divergente (por la condici´on necesaria de convergencia de series).
Para obtener el orden de magnitud de Sn, que es el mismo que el de
∑^ n
k=
log(k), utilizamos
el criterio integral para series. La funci´on f (x) = log(x) es continua, positiva y creciente en (1, ∞). Adem´as ∫ (^) n
1
log(x) dx = [x log(x) − x]n 1 = n log(n) − n ∼ n log(n) >> f (n).
Por lo tanto se concluye que
Sn ∼
∑^ n
k=
log(k) ∼
∫ (^) n
1
log(x) dx ∼ n log(n)
(c) Se tiene que an ∼ n^2 · 2 n^ >> n^2 >> n log(n), puesto que 2n^ >> 1 y n >> log(n). Por lo tanto an Sn.
(d) Como np^ << sn^ para todo s > 1, por la jerarqu´ıa de infinitos, deducimos que n^2 << (3/2)n^ y, por tanto, an ∼ n^22 n^ << (3/2)n 2 n^ = 3n, por lo que an ∈ O(3n). Adem´as, Sn << an, de modo que Sn ∈ O(3n). Por otra parte, 2n^ >> 1, de modo que an ∼ n^22 n^ >> n^2 , por lo que an ∈ O/ (n^2 ). Sin embargo, log(n) << n, por lo que se tiene que Sn ∼ n log(n) << n^2 y Sn ∈ O(n^2 ).
An´alisis Matem´atico. 19-01-2016. Modelo A
Tiempo para esta parte del examen: 50 minutos.
Problema 3 (5%)
La entrada u(t) y la salida y(t) de cierto sistema est´an relacionadas por la ecuaci´on diferencial: y′′^ + 5y′^ + 6y = u(t). Se sabe que en el instante t = 0, es y(0) = 1 e y′(0) = 0 y se pide: (a) (4 puntos) Determinar la salida del sistema cuando la entrada es constante u(t) = 1. Introducimos en Maxima la ecuaci´on diferencial con la instrucci´on ecuac1:’diff(y,t,2)+5·’diff(y,t)+6·y=1;
La soluci´on general se obtiene con el comando Resolver EDO: y = k 1 ·e−^2 t^ +k 2 ·e−^3 t^ +
Obtenemos ahora la soluci´on particular, con la instrucci´on ic2(%,t=0, y=1, ’diff(y,t)=0);
y =
e−^2 t^ −
e−^3 t^ +
(b) (4 puntos) Determinar la salida del sistema cuando la entrada es peri´odica u(t) = sin(t). Introducimos la ecuaci´on diferencial ecuac2:’diff(y,t,2)+5’diff(y,t)+6y=sin(t);
La soluci´on general es y = k 1 · e−^2 t^ + k 2 · e−^3 t^ +
sin(t) − cos(t) 10
La soluci´on particular en este caso es y =
e−^2 t^ −
e−^3 t^ +
sin(t) − cos(t) 10
(c) (2 puntos) Explicar la diferencia entre las salidas anteriores para valores grandes de t. El l´ımite cuando t tiende a infinito de la primera soluci´on es y = 1/6, lo que significa que para valores grandes de t, la salida se comporta como la constante 1/6. Sin embargo, para la segunda soluci´on no existe l´ımite cuando t tiende a infinito y la salida para valores grandes se comporta como una funci´on peri´odica.
Problema 4 (5%)
Un algoritmo emplea una instrucci´on para resolver un problema cuando hay un solo dato de entrada. Si el n´umero de datos es n ≥ 2, utiliza 2n instrucciones para reducir el problema a dos problemas an´alogos con n − 1 datos y ejecuta sobre ellos el mismo algoritmo. Sea xn el n´umero de intrucciones necesarias para resolver el problema con n datos, se pide: (a) (3 puntos) Definir xn recursivamente. La sucesi´on recursiva es x(n) = 2n + 2x(n − 1), con x(1) = 1.
(b) (5 puntos) Obtener la expresi´on expl´ıcita de xn resolviendo la ecuaci´on en diferencias. Para obtener la forma expl´ıcita basta resolver la ecuaci´on en diferencias, ejecutando las instrucciones: load(solve rec); solve rec(x(n)=2n+2x(n-1), x(n), x(1)=1); Se obtiente x(n) = 7 · 2 n−^1 − 2(n + 2).
(c) (2 puntos) Determinar el orden de magnitud de xn. El orden de magnitud es x(n) ∼ 2 n. (El l´ımite del cociente es 72 ∈ R − { 0 }.)
An´alisis Matem´atico. 19-01-2015. Modelo B
Tiempo para esta parte del examen: 50 minutos.
Problema 3 (5%)
La entrada u(t) y la salida y(t) de cierto sistema est´an relacionadas por la ecuaci´on diferencial: y′′^ + 4y′^ + 4y = u(t). Se sabe que en el instante t = 0, es y(0) = 0 e y′(0) = 0 y se pide: (a) (4 puntos) Determinar la salida del sistema cuando la entrada es constante u(t) = 4. Introducimos en Maxima la ecuaci´on diferencial con la instrucci´on ecuac1:’diff(y,t,2)+4·’diff(y,t)+4·y=4; La soluci´on general se obtiene con el comando Resolver EDO: y = (k1 + k 2 · t)e−^2 t^ + 1. Obtenemos ahora la soluci´on particular, con la instrucci´on ic2(%,t=0, y=0, ’diff(y,t)=0);
y = (− 2 t + 1)e−^2 t^ + 1
(b) (4 puntos) Determinar la salida del sistema cuando la entrada es u(t) = t. Introducimos la ecuaci´on diferencial ecuac1:’diff(y,t,2)+4·’diff(y,t)+4·y=t;
La soluci´on general es y = (k1 + k 2 · t)e−^2 t^ +
t − 1 4
La soluci´on particular en este caso es y =
t 4
e−^2 t^ +
t − 1 4
(c) (2 puntos) Explicar la diferencia entre las salidas anteriores para valores grandes de t. El l´ımite cuando t tiende a infinito de la primera soluci´on es y = 1, lo que significa que para valores grandes de t, la salida se comporta como la constante 1. Sin embargo, para la segunda soluci´on el l´ımite cuando t tiende a infinito es infinito.
Problema 4 (5%)
Un algoritmo emplea una instrucci´on para resolver un problema cuando hay un solo dato de entrada. Si el n´umero de datos es n ≥ 2, utiliza n^2 instrucciones para reducir el problema a uno an´alogo con n−1 datos y ejecuta sobre ´el el mismo algoritmo. Sea xn el n´umero de intrucciones necesarias para resolver el problema con n datos, se pide: (a) (3 puntos) Definir xn recursivamente. La sucesi´on recursiva es x(n) = n^2 + x(n − 1), con x(1) = 1.
(b) (5 puntos) Obtener la expresi´on expl´ıcita de xn resolviendo la ecuaci´on en diferencias. Para obtener la forma expl´ıcita basta resolver la ecuaci´on en diferencias, ejecutando las instrucciones: load(solve rec); solve rec(x(n)=n^ 2+x(n-1), x(n), x(1)=1);
Se obtiene x(n) =
(n − 1)(2n^2 + 5n + 6) 6
(c) (2 puntos) Determinar el orden de magnitud de xn. El orden de magnitud es x(n) ∼ n^3. (El l´ımite del cociente es 13 ∈ R − { 0 }.)
Problema 5 (10 %)
(a) (3 puntos) Usando el desarrollo en serie de potencias de f (x) = ex, demostrar que
1 √ e
∑^ ∞
n=
(−1)n n! 2n
Usando el comando An´alisis, Calcular Serie se obtiene la serie de potencias
f (x) =
∑^ ∞
i=
xi i!
cuyo campo de validez es toda la recta real. Teniendo en cuenta que √^1 e = f (− 1 /2), basta sustituir x = − 1 /2 en la serie anterior para obtener el resultado pedido.
(b) (7 puntos) Aproximar la suma de la serie anterior con un error menor que 10−^8.
Definimos el t´ermino general de la serie, a(n) :=
(−1)n n! 2n^
La serie es convergente, por el criterio de Leibniz, ya que claramente |a(n)| es decreciente y converge a 0. Para aproximar el valor de la suma con error menor que 10−^8 , hay que sumar hasta un n tal que |a(n + 1)| < 10 −^8. Buscamos n, explorando con la siguiente instrucci´on de Maxima: makelist([n, is(abs(a(n+1))<10^ (-8))], n,0,10); Se obtiene n = 9. Por tanto basta ejecutar sum(a(n),n,0,9), numer;
y se obtiene la aproximaci´on
e
