¡Descarga solucions dossier mates y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Aplicaciones de la derivada
L’equació de la recta tangent és
L’equació de la recta és
L’equació de la recta és
a)
b)
c)
d)
Per tal que la recta tingui pendent 3, cal que la derivada sigui 3 i per tant això passa per ,
amb rectes tangents
El primer que hem de fer és trobar el punt de tall amb l’eix OY quan x=0 i un cop trobat el punt
que és (1,0) ja podem trobar la recta que és
El punt és
y = 2 x − 9
y = 8 x + 1
y =
Ln 2
( x − 1 )
y =
x − 3
y =
e
y = − x + 1
y = −
x +
x = ± 1
y = 3 x i y = 3 x + 4
y = x + 1
(^1 ,−^3 )
Aplicaciones de la derivada
El punt és
L’abscissa és
El punt és
Els punts són
a) La recta és
b) La recta paral·lela és
El punt de tangència és i la recta tangent és
Cal comprovar que existeix com a mínim un punt que compleix. Si fem el càlcul veiem
que n’hi ha dos
Els punts són
( 3 ,^13 )
x =
, Ln
( 0 , 4 ) i ( 4 ,− 28 )
y = 11 x − 25
y = 11 x + 7
( −^1 ,−^4 ) y^ =^ x^ −^3
f '( x ) = 1
( 0 , 1 ) i ( 4 ,− 3 )
1 , e
− 1
2
i − 1 ,− e
− 1
2
Aplicaciones de la derivada
Primer trobem el pendent de la recta tangent per poder després escriure la perpendicular. El
pendent és la derivada en el punt 30º.
Per tant, el pendent de la perpendicular ha de ser 1 i això passa en el punt 150º o 330º , amb el
que l’equació de la recta és
Una recta que forma un angle de 45º amb l’eix OX, és una recta de pendent 1, ja que el pendent
coincideix amb la tangent de l’angle. Per trobar el punt de tangència derivem i igualem a 1 i a
partir del punt podem trobar la recta. La recta és
La recta serà horizontal en el punt (1,2) ja que és el punt que té derivada 0.
Per trobar l’àrea necessitem trobar la recta tangent en el punt (1,1). Aquesta recta és.
La recta ens permet trobar la base i l’altura del triangle, ja que coincideixen amb els punts de tall
amb els eixos. Aquests són (2,0) i (0,2). Amb el que podem concloure qu el’àrea és.
Busquem una recta paral·lela a la tangent en el punt -1, per tant el primer que necessitem és
trobar el pendent de la tangent que és 2.
Així la recta que busquem té pendent 2 i passa pel punt (3,4). Amb això ja tenim dades per
escriure l’equació de la recta que és
f '( x ) = − 2 sin x
f '(
π
y = x + 3 −
π
y = x −
y = − x + 2
2 u
2
y = 2 x − 2
Aplicaciones de la derivada
El primer que hem de fer és trobar el punt de tangència. El trobarem aplicant l’equació de la
recta però deixant com a incògnita el punt de tangència. Resolent l’equació trobem els punts 0 i
L’equació en el punt 0 és
L’equació en el punt 2 és
El que hem de fer és trobar els punts de tangència apartir de l’equació de la recta tangent. Els
punts són
a) La funció és continua ja que compleix les condicions. i a més la imatge i el
límit coincideixen.
b)
Per tal que sigui derivable en x=1, cal que
y = − 2 x + 1
y = 2 x − 3
( 4 ,^16 ) i^ ( −^4 ,−^16 )
f ( 0 ) = 1
lim
x → 0
−
f ( x ) = 1
lim
x → 0
f ( x ) = 1
lim
x →+∞
1 − x = −∞
lim
x →−∞
e
x
= 0
∃ f ( 1 ) = 0
∃lim
x → 1
f ( x ) ⇒
lim
x → 1
−
xLnx = 0
lim
x → 1
a ( 1 − e
− x
) = a ( 1 − e
− 1
)
⇒ 0 = a ( 1 − e
− 1
) ⇒ a = 0
Aplicaciones de la derivada
Definim la funció valor absolut com una funció definida a trossos:. És fàcil
veure que pel valor x=0 la funció serà continua ja que la imatge i el límit coincideixen i el seu
valor és 0. Mentre que si fem la funció derivada és veu que els límits laterals no coincideixen.
En la funció donada en l’enunciat trobem la funció valor absolut dins la funció que podem
definir com la següent funció definida a troços:
i per tant no és continua i per tant no és derivable.
Estudiarem la continuïtat en x=2. Apliquem les condicions que hem anat aplicant i el que ens
permetrà trobar el valor dels paràmetres serà la tercera condició de continuïtat: “la imatge ha de
ser igual al límit”.
El valor de m és 1 i el valor de n és 12.
Aquesta funció no és continua en x=0 ja que té una discontinuïtat asimptòtica.
Per k=-3 la discontinuïtat serà evitable, ja que el límit ens donarà una indeterminació.
Per definir la funció cal arreglar la discontinuïtat, haurem de definit la funció amb el valor -
quan la x sigui 1.
f ( x ) = x =
x x ≥ 0
− x x < 0
f ( x ) =
x
− x
x < 0
x
x
x ≥ 0
⇒ f ( x ) =
− 1 x < 0
1 x ≥ 0
f ( x ) =
2 x
2
− 12 x + 10
x − 1
x ≠ 1
− 8 x = 1
Aplicaciones de la derivada
Si m és 2 aleshores el límit és 2, ja que cal arreglar la indeterminació.
Si m és diferent de 2 el límit és infinit.
Per tal que la derivada sigui sempre positiva cal que m sigui més petit que 2. Ho trobem
derivant i mirant que el signe de la derivada sigui sempre positiu.
La funció ha de prendre el valor 3, ja que és el que ens dóna quan arreglem la indeterminació:
a) Màxim a i mínim a
b) Maxim a i mínim a
c) Màxim a i mínim a
d) Punt d’inflexió i mínim a
e) Màxim a i mínim a
f) Màxim a i mínim a
g) Màxim a , mínim a i punt d’inflexió
h) Màxim a i mínim a
i) Mínim a
j) No té ni màxims, ni mínims ni punts d’inflexió. La funció decreix en tots els punts del seu
domini
f ( x ) =
3 x = − 1
x
2
− x − 2
x
2
x ≠ − 1
( 0 ' 78 , 2 ' 11 ) ( 2 ' 54 , − 0 ' 63 )
( )
( )
( −^2 ,^5 )
Aplicaciones de la derivada
a)
b) La funció s’anul·la a x=-
c) La funció creix a i decreix a
d) L’equació de la recta tangent és
La funció és continua ja que es compleixen les tres condicions de continuïtat
La paràbola té un vèrtex en el punt , però el gràfic ens indica que també hi ha un mínim
en el punt.
a) No existeix un valor de x per al qual la funció és negativa ja que està formada per una
que sempre és positiva i la funció exponencial que també té signe positiu per totx. El valor
de x per al qual la funció és 0 és x=
f '( x ) =
2 x + 2 x ≤ 1
1 x > 1
y = 2 x − 1
x
2
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
0
f
g
Aplicaciones de la derivada
b) Per estudiar el creixement i el decreixement derivem i mirem el signe de la funció derivada
en x=-
per tant la funció és decreixent.
El valor de a és 7
El valor de a és -1 i el de b és 6
El primer que hem de trobar és el valor de per tal que tingui el màxim, aquest valor és.
Ara ja podem trobar el mínim que és a x=
El valor de a és -2 i el de b és 8. Aquest extrem és un màxim, ja que el coeficient que acompanya
la x al quadrat és negatiu.
a) El valor de a és -
b) L’extrem és un mínim
Per tal que la funció tingui dos punts d’inflexió cal que fem la segona derivada i que aquesta
tingui dues solucions ( recordem que una equació de segon grau té dues solucions quan el
discriminant és positiu) i per tant
f '( x ) = e
x
2 x + x
2
( )
f '(− 1 ) < 0
a = −
k ∈ ( 0 ,∞)
Aplicaciones de la derivada
a). La funció és positiva de
b). La funció és decreixent
c)
d)
a) L’equació de la recta tangent és y=x
b) Els punts cadidats a ser extrems són -3, 1 i 2. Si analitzem el signe de la derivad a podrem
veure de quin tipus d’extrem estem parlant.
- (^) El -3 és un mínim ja que el signe de la derivada passa de negatiu a positiu i per tant la funció
passa de ser decreixent a creixent.
- (^) L’1 és un màxim ja que la derivada passa de positiva a negativa i per tant la funció passa de
créixer a decréixer.
- (^) El 2 és un mínim per la mateixa raó que el -3.
Cal veure que podem aplicar el teorema de Bolzano
- (^) La funció és continua ja que és una funció polinòmica
Per tant, com que es compleixen les condicions del teorema la funció té un zero, és a dir
x = {− 1 , 2 } ( −∞, 1 )
x = {− 2 , 0 } ( − 1 , 0 ) ∪ ( 2 ,∞)
y = 0
a = −
f ( 2 ) = − 2 < 0
f ( 3 ) = 16 > 0
∃ c ∈ ( 2 , 3 ) f ( x ) = 0
Aplicaciones de la derivada
Per trobar el zero anem aproximant l’interval
, de
moment el tenim aproximat a les dècimes en l’interval [2’2,2’3]
Ens demanen a les centèssimes si fem el mateix procediment podem concloure que el zero està
dins l’intervla
No podem aplicar el teorema de Bolzano ja que la funció no és continua en l’interval, presenta
una discontinuïtat asimptòtica.
No podem aplicar el teorema perquè no tenen el mateix signe
. Com que a més és continua per tractar-se d’una funció polinòmica podem
aplicar el teorema de Bolzano que ens demostra que la funció talla l’eix d’abscisses almenys en
un punt.
Busquem un interval on podem aplicar el teorema de Bolzano. Com que es compleixen
les condicions del teorema la funció té almenys una solució real.
Construim la funció , podem aplicar Bolzano ja que la funció és continua en
l’interval donat i a més.
f ( 2 , 5 ) = 4 > 0 , f ( 2 , 4 ) = 1 , 6405 > 0 , f ( 2 , 1 ) = − 1 , 208 > 0 , f ( 2 , 2 ) = − 0 , 224 , f ( 2 , 3 ) = 0 , 964
(^2 '^21 ,^2 '^24 )
f ( 0 ) i f ( 1 )
f ( 0 ) = 3 , f ( 1 ) = − 1
[ −^1 ,^0 ]
h ( x ) = sin x −
x
h ( 2 π ) = − 0 , 2 < 0
h (
5 π
Aplicaciones de la derivada
b)
c)
d)
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
2
4
6
8
0
g
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
2
4
6
8
0
f
-15 -10 -5 5 10 15 20 25
5
10
15
20
25
30
0
f
Aplicaciones de la derivada
e)
Funcions racionals
a)
b)
-15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35
5
10
15
20
25
30
0
f
-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
0
f
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
0
f
Aplicaciones de la derivada
f)
g)
h)
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
2
4
6
f 0
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
2
4
6
0
f
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16
2
4
6
f 0
Aplicaciones de la derivada
i)
j)
Funcions irracionals
a)
-15 -10 -5 5 10 15 20
2
4
6
8
10
0
f
-15 -10 -5 5 10 15 20
2
4
6
8
10
0
f
-15 -10 -5 5 10 15 20
2
4
6
8
10
0 f
