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TEMA 1:
SUCESIONES
Contenidos:
**1. Operaciones en el conjunto R: Potencias y logaritmos.
- Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas.
- Límite de una sucesión. Sucesiones convergentes y divergentes.
- Operaciones con límites. Indeterminaciones.**
OBJETIVOS GENERALES
Con el desarrollo de este tema se pretende que el alumno alcance los siguientes objetivos:
- Operar con soltura con potencias, exponenciales y logaritmos neperianos.
- Reconocer cuando un límite de una sucesión es un valor determinado o una indeterminación.
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
1. Operaciones en el conjunto R: Potencias y logaritmos
El conjunto formado por los números racionales e irracionales se denomina conjunto R de los
números reales. Cuando las 4 operaciones aritméticas se aplican en R, el resultado siempre es de R,
excepto la división por 0, que no está definida.
En R también se definen potencias. En general, consideraremos siempre potencias de la forma
b a ,
donde la base a es un número real positivo (a > 0) y el exponente b es un número real cualquiera. En
este caso
b a siempre es un número real positivo.
Observación : Si la base a es negativa la expresión
b a (^) no existe en muchos casos. Por ejemplo,
( 2 ) (^2)
1 / 2 − = − , que no es un número de R.
Propiedades
i) Relativas a potencias con la misma base:
1. a 1
0 =. 2.
m n mn a a a
⋅ =. 3.
m n mn a /a a
− =.
m n mn ( a ) a
⋅ =. 5.
m m a = 1 /a
−
. 6.
m/ n n m a = a.
ii) Relativas a potencias con bases distintas:
n n n ( a⋅ b) =a ⋅b. 2.
n n n (a /b) = a /b. 3.
n n (a /b) =(b/a)
− .
iii) El valor de la potencia ab^ es mayor o menor que la unidad según el siguiente esquema:
1. Si a > 1, entonces
⎪⎭
b 0 a 1
b 0 a 1
b
b
. 2. Si 0 < a < 1, entonces
⎪⎭
b 0 a 1
b 0 a 1
b
b
Potencias de base e
Las potencias que usaremos más frecuentemente son las que tienen como base el número e. El
número e es un número irracional, que tiene mucha importancia en matemáticas. Se define en el apartado 3
de este tema. Sus primeras cifras decimales son: e = 2,718281828459045…
Se llama exponencial del número real x a la potencia ex, donde x es cualquier número real. Las
exponenciales verifican las mismas propiedades que las potencias de base mayor que 1: el valor de e
x (^) es
siempre positivo, e^0 = 1, ex^ > 1 si x > 0, ex^ < 1 si x < 0, etc.
Una propiedad importante de las potencias con base el número e es que conservan igualdades y
desigualdades; es decir:
x y x , ≤, ≥, = ó ≠.
Logaritmos en base e ( logaritmos neperianos)
Se define el logaritmo (neperiano) del número x, se escribe ln x , como el exponente al que hay que
elevar e para obtener x. Es decir:
ln x y e x
y = ⇔ =
De la definición se deduce que ln x existe (es un número real) si, y sólo si, x > 0.
Ejemplo 2
a) Los primeros términos de la sucesión de término general 2
n n n
3 n 1 a ( 1 )
= − ⋅ son:
b) El término general de la sucesión (^) ⎟ ⎠
,K
es n 2
2 n a (^) n
Operaciones con sucesiones
Dadas las sucesiones { } nnN a ∈
y { } nnN b ∈
se pueden realizar con ellas las siguientes operaciones:
Suma: { a (^) n }n (^) ∈N + { bn}n (^) ∈N={ an+bn}n (^) ∈N=( a 1 +b 1 ,a 2 +b 2 ,a 3 +b 3 ,K ,an+bn,K).
Diferencia: { a } { b} { a b} ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ,K ,an bn,K) n (^) nN n nN n n nN
∈ ∈ ∈
Producto: { a (^) n }n (^) ∈N { bn}n (^) ∈N= { anbn} (^) n∈N=(a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ,K ,anbn,K).
Cociente: Si todos los términos de la sucesión { } nnN b ∈
son distintos de cero, entonces se puede
definir el cociente
{ }
{ }
∈ ∈
∈ K ,K b
a , , b
a , b
a , b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1
n nN
n
n nN
n (^) nN .
Exponencial:
{ } e nN { en} (e 1 ,e^2 ,e^3 ,K ,en,K)
n a a a a nN
a (^) a ∈ (^) = (^) ∈ =.
Potencia: Si todos los términos de la sucesión { } nnN a ∈
son positivos, entonces se puede definir la
potencia { }
{ } a n^ nN { a n} (a 1 ,a^2 ,a^3 ,K ,a n,K)
b n
b 3
b 2
b nN^1
b n
b n (^) nN
∈ ∈
Logaritmo: Si todos los términos de la sucesión { an }n (^) ∈N son positivos, entonces se puede definir el
logaritmo ln ({ an }n∈N ) = { ln(an)}n (^) ∈N=(ln( a 1 ),ln(a 2 ),ln(a 3 ),K ,ln(an),K).
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término, excepto el primero, se obtiene
sumando al anterior una cantidad fija, que se llama diferencia o razón de la progresión aritmética.
El término general de la progresión aritmética, cuyo primer término es a 1 y de diferencia d, vale:
a (^) n =a 1 +(n− 1 )⋅d
La suma de los n primeros términos o suma parcial n-ésima de una progresión aritmética
S (^) n = a 1 +a 2 +a 3 +K +an vale:
(a a )n S
1 n n
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término, excepto el primero, se obtiene
multiplicando el anterior una cantidad fija, que se llama razón de la progresión geométrica.
El término general de la progresión geométrica, cuyo primer término es a 1 y de razón r, es:
n 1 a (^) n a 1 r
− = ⋅
La suma de los n primeros términos o suma parcial n-ésima de una progresión geométrica
S (^) n = a 1 +a 2 +a 3 +K +an vale:
1 r
a a r
1 r
1 r S a
1 n
n
n 1 −
3. Límite de una sucesión. Sucesiones convergentes y divergentes
Límite de una sucesión
Dada la sucesión { a (^) n}n (^) ∈N , si cuando n crece indefinidamente los términos de la sucesión se
aproximan cada vez más e infinitamente a un número real L se dice que la sucesión es convergente a L o
que su límite es L. Se escribe lim an L n
→∞
Si cuando n crece indefinidamente los términos de la sucesión también lo hacen, haciéndose además
infinitamente grandes, se dice que la sucesión es divergente a + ∞. Se escribe =+∞ →∞
n n
lim a.
Si por el contrario, cuando n crece indefinidamente los términos de la sucesión decrecen, haciéndose
además infinitamente negativos, se dice que la sucesión es divergente a − ∞. Se escribe =−∞ →∞
n n
lim a.
Propiedad
El límite de una sucesión, si existe, es único.
Ejemplo 3
a) La sucesión n (^1) nN
n
es convergente a 1.
b) La sucesión
nN
n 2
es convergente a 0.
c) La sucesión ⎟
⎠
2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 ,K es convergente a 2.
Operaciones con límites infinitos
Las propiedades anteriores se pueden extender a los casos en los que aparecen sucesiones
divergentes; aunque es necesario saber cómo se debe operar cuando en el cálculo de límites aparecen + ∞
ó − ∞. Es decir, necesitamos saber cómo operar en la recta ampliada R = R∪{+ ∞,−∞}, donde
− ∞
B
RESTA
A–B
- ∞ b^ + ∞
- ∞ Indeterminación – ∞ – ∞
A a + ∞ a – b – ∞
- ∞ + ∞ + ∞ Indeterminación
B
MULTIPICACIÓN
A B
Indetermi-
nación
a < 0 (^) + ∞ a⋅b > 0 0 a⋅b < 0 – ∞
Indetermi-
nación
Indetermi-
nación
a > 0 – ∞ a⋅b < 0 0 a⋅b > 0 + ∞
A
Indetermi-
nación
DIVISIÓN B
B
A
Indetermi-
nación
Indetermi-
nación
a < 0 0 a/b > 0 ∞ a/b < 0 0
Indetermi-
nación
a > 0 0 a/b < 0 (^) ∞ a/b > 0 0
A
Indetermi-
nación
Indetermi-
nación
NOTA:
Las indeterminaciones que aparecen en los cuadros anteriores se resumen en las siguientes:
a) Suma y resta: ∞ −∞.
b) Producto: 0 ⋅∞.
c) Cociente: 0/0 e
POTENCIA^ B
A
B − ∞ − ∞ < b < 0 0 0 < b < + ∞ + ∞
− ∞ = + ∞ 0 b^ = + ∞
0 0 = Indeter-
minación
0 b^ = 0 0
0 < a < 1 a
− ∞ = + ∞ a b^ > 1 a 0 = 1 a b^ < 1 a
− ∞ = Indeter-
minación
1 b^ = 1 1 0 = 1 1 b^ = 1
minación
1< a < + ∞ a
− ∞ = 0 a b^ < 1 a 0 = 1 a b^ > 1 a
A
− ∞ = 0 (+∞) b^ = 0
Indeter-
minación
(+∞) b^ = + ∞ (+∞)
Observación:
Para deducir el valor de cada celda de la tabla anterior hemos utilizado la fórmula
B BlnA
A e
⋅
=. Las
indeterminaciones son: 0
0 , ( + ∞ )
0 y 1
± ∞ .
AUTOEVALUACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS
Bibliografía: CABALLERO, Mª V.-GÓMEZ, F.-ALACID, V. (2005). Preguntas tipo test de Matemáticas para
la Empresa. Ed. DM.
1.- Si el término a 5 de una progresión aritmética vale 17 y el término a 18 vale 56, la suma de los 10
primeros términos de la progresión aritmética vale
a) 190.
b) 185.
c) no se puede calcular con estos datos.
2.- Sean { } n nN a ∈
y { } n nN b ∈
dos sucesiones numéricas, con lim an 1 / 2 n
→ +∞
y =−∞ → +∞
n n
lim b , entonces
el límite
bn n n
lima → +∞
a) es una indeterminación, que hay que resolver para saber cuánto vale.
b) vale + ∞.
c) vale − ∞.
3.- La igualdad ln( x 2 x 2 ) 0
2
a) es cierta sólo para x = − 1.
b) es cierta para todo valor de x ∈R.
c) nunca se verifica.
SOLUCIONES
1.- Resolviendo el sistema
⎩
a a 17 d 56
a a 4 d 17
18 1
5 1 se tiene a 1 = 5 y d = 3, de donde a 10 = 5 + 9 ⋅ 3 = 32 y
por lo tanto, 185 2
(a a ) 10 S
1 10 n =
= ⇒ respuesta b.
2.- El límite vale (^) ⎟ = = =+∞
⎠
−∞
e e 2
(^1) ln( 1 / 2 ) ⇒ respuesta b.
3.- Tomando exponenciales a ambos lados de la igualdad resulta x 2 x 2 1
2
respuesta a.
PROBLEMAS PROPUESTOS DEL TEMA 1
Bibliografía: SYDSAETER, K.-HAMMOND, P. J. (1996). Matemáticas para el Análisis Económico. Ed.
Prentice Hall.
1.- Realizar las siguientes operaciones con potencias sin utilizar la calculadora:
a) 6
13
− ⋅
. b)
13 0 ' 064
−
. c)
2 2 12 ( 3 4 )
− +.
2.- ¿Cuáles de las ecuaciones siguientes son válidas para todo x e y?
a) x
1 x
5
5 = (x ≠ 0). b) 3 y
x x 3 y
3
−
. c) 1 x
1 x
3
− (x ≠ 0).
d)
x 2 x^2 ( 2 ) = 2. e)
x y x y a =a +a
. f)
x y xy 2 ⋅ 2 = 2 (x ≥ 0, y ≥ 0).
3.- Resolver las siguientes ecuaciones en x:
a) 2 8
2 x =. b) 3 181
3 x 1
. c) 10 100
x 22 x 2
− + .
4.- Resolver las siguientes ecuaciones en x:
a) ln x= 3. b) ln [ x(x− 2 )] = 0. c) 0 x 1
xln(x 3 )
2
d) 3 4 8
x x 2 ⋅ =
. e) 3 ln x 2 lnx 6
2
x x 1 x 1 x 4 − 4 = 3 − 3
− + .
